Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

210

ДИНАМ И ЧЕСКО Е ПРОГРАММИРОВАНИЕ. ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА

[ Г л . 4

лось

получить

некоторое приближенное решение B (x,t)

задачи

(5),

(6). Если

эта функция получена разностным методом

(напри­

мер,

методами

§ 1, 2) на

какой-то дискретной сетке точек, то до­

определим ее

(например,

интерполяцией) во всех точках

области

приближенно реализуется

inf R ( x ,u ,t )

можем

принять

в

каче-

H£V«)

для

задачи

стве приближенного решения проблемы синтеза

(1.1—4). Это значит, чтТГ приближенное решение

(х(т),

ц (т))

зада­

чи (1) — (4)

будем определять из условий

*

ф = / (X(т), и (х (т), г), т), t <

т < Т;

х(() =

х,

-

-

Т.

(15)

х (т) 6 G (т),. и (т) =

и (х (т), т), t < т <

х £ Х о

_

(15) при_ t = t 0,

х = х 0,

найдем траекторию х(х)

и управление

и (т) = и(х,(т), т ) ,

Найденную пару (х (т),

и(т )) примем

в качестве приближенного решения задачи

(1.1— 4).

Спрашивает­

ся, какая при этом будет допущена погрешность?

Т е о р е м а 5.

Пусть

функция В (х, t) кусочно-непрерывна, ку­

сочно-гладка при x ^ G ( t ) ,

t o ^ t ^ T ,

и

В (х , Т )= ф ( х )

x ^ G (T )

(подчеркнем, что B(x,t)

не обязана

быть

решением

уравнения

(5 )). Пусть для

каждой

пары (х(т),

u ( x ) ) ^ D x(t,T)

функция

Б (х (т ),т )

переменной т

непрерывна и кусочно-гладка на отрезке

при всех x ^ G ( t ) , to^.t<.T. Тогда для любой фиксирован­

ной пары

{х(х), и(х) ) e D JY , 7] справедлива оценка

где

o < j ' ( * , « ( 0 ) - • / * '<

М «),

(16)

J*‘ =

inf

J ‘ (x ,u ( т))

DXU.T]

_

Г

_

_

ei (и) = J [Я (* (*),

и (т),

т) — Rmin (X)) dx,

t

Япцп(т )=

inf

inf

R(x,u, т);

y 6 G ( t ) u G K ( t )

0 J*° (х0» и (т)) J

е„ (х0, и),

(17)

§ 4]

Проблема синтеза. Оценка погрешности

211

где

J* =

inf inf До (лг, и (()),

е0 (х0, и) =

f [R (х (т),

и (т), г) —

х & Х а D x[ t „ T ]

£

— ^min W ] dx +

в (xQ, g —

inf В (x, g

,

имеем

т

J ‘ (х,

и (/)) — J t (х,

и(х)) =

j [R (х (т), и (т), т) —

t

— R {х (т), и (т), т)] dx < г( (и).

Так как вг(й) не зависит от

(x(x),u (x))^ D jt,T ],

то отсюда

сразу

получаем оценку (16).

Аналогично,

взяв

произвольную

допустимую

пару

(jc(t ) , u (t ) ) g D J 10,7 ]

при некотором х е 1 0,

с помощью

формулы

(10) получаем

(х0, и (т)) — До (х, и (т)) =

т.

= § [R (x (т),

и (т), x) — R (х (т),

и (т), т)] dx +

В (х0, t0) —

to

— В(х, g < е 0(х0, и),

откуда немедленно следует оценка

(17).

Д,

В тех случаях, когда конструктивное описание множества Х0

затруднительно, в выражении для

во(х,й)

вместо Х0 часто

берут

G(t0). Очевидно, при такой замене величина ео(х0,й)

может лишь

увеличиться.

Из полученных

оценок (16),

(17)

видно,

что

чем

ближе

Я (х (т),гГ (т),т)

к

# т 1п(т), В (х0, g

— к inf В (х,

t0),

тем

меньше

x£Xq

нению (5) по возможности

точнее, а функция u(x,i)

должна

по­

точнее реализовать

in fi?(x,

u,t). Тогда на парах (х (т ),« (т )),

оп-

ределяемых из (15

u6V(l)

Т\ (в частно­

)>при различных x ^ G (t) и f e [ g

сти, х = х 0, t = t 0),

погрешность в определении минимального зна­

чения функционала будет небольшой.

гочлена и числа кривых

{£*(£) } e G ( i ) и т. п. Постепенно уточняя

функции B (x,t), u(x,t),

вообще говоря, можно построить последо­

т

J {и) =

т

I [{а {t)>

х {t)) + ъ (“ W* 0] dt + (с, -V[Г])

о

при условиях

x = A ( t ) x + C ( u ( t ) ,t ) , О ^ г ^ Г ;

x(Q )=x0,u(t)<=V(t);

u(t)

кусочно-непрерывно,

где

известными

предполагаются мо­

мент

Т, матрица

A{t) порядка

пХп, л-мерные вектор-функцин

У к а з а н и е . Функцию B(x,t)

искать в

виде

многочлена

первой степени переменных х = (х\

..., хп) :В ( х ,

0 =

(ф(^),х).

= f /° (X (t),

и (/), t) dt +

Фх (x (T)) +

ф0 (X (*„))

■ (1)

^0

при условиях

X (t) =

f ( x (t), и (t), t), t0< t < T ,

(2)

x(t)eG (t),

t0 < t < T ,

(3)

u = u (t)eV {t),

f0 < f < 7 \

и it) кусочно-непрерывна,

(4)

где моменты tQ, T будем считать

известными,

Ф0(х) и Ф](д:) — за ­

в §

3.1; граничные условия при t— t0 и t = T включены в ограниче­

ния

G(t).

Пару (x(t), u{t)) назовем допустимой на отрезке

если управление u { t)^ V {t), а функция x(t)

непрерывна, кусочно­

гладка на

удовлетворяет условиям

(2), (3). Множество

всех допустимых

пар

(x(t), u(t)),

обозначим

через

D[tQ, Г]. В пространстве

Е пу,Етвведем множество Dt точек

(х, и)