Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

214

ДОСТАТОЧНЫЕ

УСЛОВИЯ

ОПТИМАЛЬНОСТИ

[Га. 5

следующим образом:

(х, u ) ^ D t,

если существует допустимая пара

( х ( т ) ,ы ( т ) ) е Ц д Т],

такая, что x ( t ) = x , u ( t) — u

(в точках разры­

ва

управления

для

определенности

будем

считать,

что

u(t) =

=

u(t— 0 )). Проекцию множества

Dt на пространство Е п обозна­

чим через Хи проекцию Dt на Ег — через

Vt.

Иначе говоря, если

х е Х и то существует пара

(^ (т ),и (т ))е О [^ ,Г ]), такая,

что x ( t ) = x

(конечно,

тогда

u ( t ) ^ V t).

Очевидно,

Xt^ G { t ) ,

Vt^V(t),

Dt^Xt'XVt, t0<c.t^T. Возьмем

функцию K {x,t),

определенную и

кусочно-непрерывную

при x ^ X t, t ^ t ^ T ,

обладающую

кусочно­

непрерывными ЧаСТНЫМИ

ПрОИЗВОДНЫМИ Х х = ( К х ', ....

Кхп), Ки и

составим

функции

R (х, и,

t) =

(К х (х,

t), f {х,

и,

t)) -f K t (х, 0

+

/° (х,

и, t),

Го (*) =

К (х, g

+ Ф0 (х),

гj (£) = — к (X,

Т)

+ Фх (х).

(5)

J (и) =

J (х (/), и (t)) —

[ Т

=

j R jx (/),

U (t), t) dt + п (x (Г)) +

r0 (х (t0)).

(6)

^ О

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим, что

~ d K

(Xd f '

^

{X (t), t);

f (X (0 ,

U {t),

t)) +

К , {X

(t), t) =

=

R ( x { f) ,u (t), t ) - f ° ( x

(f), u (f),

t)

(7)

всюду

на

отрезке

[ g

T],

за

исключением,

быть

может, конечного

числа

точек.

Так

как

K(x(t),t)

непрерывна

по

t, то,

интегрируя

тождество (7)

на [ д Т\, получим

т

т

т

§ R { x ( t ) , и (t),

t) [,it —

j >

(* (<), и (t), t) dt = ^ FdK(xJ

t>’ t] dt =

*0

to

tQ

= K ( x ( T ) , T ) - K ( x ( t 0),

g

=

= - g {x

(T))+ фх{x (70) - r0(x (t0)) + ф 0 (x (g),

что равносильно равенству (6).

^

Нетрудно

видеть, что

формула (6)

сохраняет

силу, если

K { x (t),t) абсолютно-непрервна

на [ g

Т]

и почти всюду на [ д Г]

имеющие простое конструктивное описание. Например, вместо

(8)

можно принять

Ятш (t) =

inf

inf R (x, и,

t), rlm|n =

xZG(t) u<BV(t)

=

inf

rt (x),

romIn=

inf

r0 (x),

(9)

х е с ( Г )

x e a ( t 0)

иногда можно даже

считать Rmln (t) =

inf

inf R(x, и, t), или

x,eE n

u£V(t)

Rmln= inf

inf R (x, u, t).

*x€ E n u £ E p

inf J

(х (t),

и (0) = / (х* (t), w* (t)) =

J (и*) = Г .

DUо ,Г]

Т е о р е м а

1. Для

оптимальности пары

(x*(t),u *(t))^ D [t0,T]

достаточно существования функции K(x,t),

такой, что формула (6)

верна для любой допустимой пары

(x(t),u (t))^ D [t0, Т] и,

кроме

того,

R (.к* (0, ч* (0, 0

=

Rmln (t),t0 < t < T ,

г, (х- (Т)) =

г1т1п,

(10)

Го (•*" (to)) ~

Гогп1т

где

гimin> Tomin

определяются

согласно (8) или

(9).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем

произвольную

пару

(x(t),u (t))^ D [t0,T\. Согласно формуле (6)

будем иметь

J (х (t), и (t)) -

J (х* (0,

и* (0)

— J (и) — J

(и') = J [ R ( x (t), и ( t ) , t ) ~

to

.

- 7 ? (x* (t),

и* (0,

0] dt +

гх (х (Т)) -

г, (.х* (Т)) + г0 (х (t0)) -

г

[Я (* (0 , и (t),t) — Rmin (/)] dt + r1 (x (T)) —

— г0 (*' & )) =

j

*0

Hmin “Ь Г0 (x (to))

I omln ^ ®

Отсюда следует

/ (« *)=

inf J (x(t),

и (t)). A

J(u) — J (uk) = J

[R (x (t), и (t),

t) — R (xk (t), uk (f), 01 dt +

*0

+

>\ {x (T))— r1 {xk (T)) +

r0(x (g ) — r0 (xk (g ) .

Так как правая часть этого

равенства по условию

теоремы

имеет

предел при k - * o o ,

то и левая часть имеет предел. Поэтому

J

(и) -

lim J

(,ик) =

f { - Rmin (t) +

R (x (0 , и (t), Щ \dt +

fe-»oo

J

*0

“1

( T ) )

^lmin

Г omln +

r o (x

(to )) ^

откуда J

(u) > lim J

(uk) при любых

(x (t), u(t)) £ D [ t 0, T\. Следова-

тельно,

У* =

inf J(u) >

lim У («*). Однако /(«*)

> У’

при

всех

k =

= 1, 2,

D [ i a,T]

k-*oo

У*.

Таким образом,

. . . ,

поэтому lim J

(uk) >

/г->оо

lim У (uA) — У*.

k—ЮО

Рассмотрим пример, иллюстрирующий теорему 2.

П р и м е р

2.

Пусть

требуется

минимизировать

функционал

У (и) =

| (х2 — ы2)

при условиях х = и,

|и |<

1, х (0) =

0.

о

Возьмем функции

I

г

я*

^

m

,

I

+ i, „Р„ _

< ( < _ т _

uk (t) =

- 11, Пр„ /Л ■ 1

t

ПТ | _1

,

fm

" Р Н

"I

. ,

^

m

,

1

« - -

- .

(0 =

+

при - f +

^ < « - 2 - + -i-.

fe

{k

2k

k

k

R = x2 — и2, Rmin (t) -

min min (x2 — u2) = — 1,

x&Ei lu«l

r0( x ) = 1 ,

rx(x) = — 1 .