Файл: Кравченко Р.Г. Основы кибернетики учеб. пособие.pdf

Преобразования можно представить также в матричной форме.

Составим таблицу, число столбцов которой равно числу опе­ рандов плюс 1, строк — числу образов плюс 1. Если преобразо­ вание не конечно (в том случае, когда преобразование от опре­ деленного состояния неизвестно), то число строк и столбцов равно тому количеству операндов и образов, о котором имеются сведения.

Выпишем операнды в горизонтальную верхнюю строку, воз­

в верхнем левом углу обычно указывают направление преобра­ зований.

Дано преобразование

АС D\

Т: I с с а )

Запись его в матричной форме:

1 А С D

с 1 1 0

А0 0 1

Приведенный пример относится к системе с детерминирован­ ным действием, смоделированной однозначным преобразо­ ванием.

В матричной форме можно также записать неоднозначное преобразование. В таком случае каждый из возможных обра­ зов записывается в отдельной строке таблицы, а на пересечении с предшествующим ему операндом вместо единицы записывается вероятность преобразования в данный образ.

43

числении высказываний, либо при исчислении событий, опреде­ ляется также следующим.

Среди событий есть достоверные и невозможные; высказыва­ ния могут быть тождественно истинными или тождественно лож­ ными. Одно событие может быть связано с другим, последую­ щим, т. е. между ними возможна причинно-следственная связь; также и высказывания могут вытекать одно из другого, т. е. между ними возможна логическая связь.

Между событиями и высказываниями тоже существует (воз­ можна) некоторая связь; каждому событию может быть сопо­ ставлено некоторое высказывание, а высказывание можно истол­ ковывать как утверждение об осуществлении некоторого со­ бытия.

Такое исчисление было создано Дж. Булем и впоследствии развито С. Н. Бернштейном и особенно А. И. Колмогоровым.

Таким образом, Булева алгебра —это алгебраическая си­ стема, аксиомы которой выражают то общее, что роднит собы­ тия и высказывания. Причинно-следственная связь событий или логическая связь высказываний описывается формулами, имею­ щими вид неравенств. Например, неравенство х< у выражает большую достоверность события у по сравнению с событием х, и это же неравенство может выражать большее правдоподобие высказывания у сравнительно с высказыванием х.

Это же можно выразить тем, что каждая логическая перемен­ ная, отражающая событие или высказывание, может приобре­ тать два противоположных значения, которые обычно равны О или 1 (можно так это интерпретировать: 1 — событие произошло, высказывание истинно, 0 — событие не произошло, высказыва­ ние ложно). 1 и 0 можно рассматривать как наибольший и наименьший элементы Булевой алгебры. Кроме сказанного, каж­ дый элемент должен иметь дополнение, которое можно истолко­ вать как событие, противоположное данному, или как отрицание данного высказывания.

Сведение математики к логике состоит в том, что в матема­ тических и других рассуждениях постоянно встречаются повест­ вовательные предложения, образованные из другого предложе­ ния путем включения слова «не» или с помощью слов «и», «или», «если..., то», наконец, «тогда, и только тогда, когда». Эти

Соединение двух предложений в сложное с помощью связки «и» называется к о н ъ ю н к ц и е й этих двух предложений.

Соединение двух предложений в сложное с помощью связки «или» называется д и з ъ ю н к ц и е й двух предложений.

45

И м п л и к а ц и е й (или условным предложением) называется сложное предложение, построенное из двух простых с помощью связки «если.. то».

Применение связки «тогда, и только тогда, когда» для обра­ зования сложного предложения из простых называется экви - в а л е н ц и е й (или биусловным предложением).

Если применять для связок следующие символы: — для «не», А для «и», V для «или», -> для «если..., то» и <—> для «тогда, и только тогда, когда», то можно показать эффективным обра­ зом связную структуру сложного предложения.

Так, если Р и К — предложения, то:

—Р—отрицание предложения Р;

РД К —конъюнкция;

Р\ / К —дизъюнкция; Р-+К—импликация; Р<—*К—эквиваленция.

При составлении сложного предложения из двух простых (это сложное является также высказыванием, если его компо­ ненты тоже высказывания) следует обращать особое внимание на истинные значения простых компонентов (что представляет каждое из простых высказываний — истинность или ложность), так как от этого зависит истинность сложного предложения.

Как уже упоминалось, каждая логическая переменная может приобретать два противоположных значения. При наличии п логических переменных им можно придать противоположные значения 2” разными способами. Так, двум логическим пере­ менным {п = 2 ) значения 0 и 1 можно придать 2 2 способами, т. е. четырьмя способами. Представим это в виде таблицы для двух переменных Xi и х2:

Таким образом, логической функцией п логических перемен­ ных называется какое-либо однозначное придание одного из двух возможных значений логически зависимой переменной (на­ пример, у) состояниям логически независимых переменных хи

Х2, • • -, Х п .

Так, используя основные зависимости Булевой алгебры, че­ тырем состояниям двух логически независимых переменных Xi и х2 можно придать 16 различающихся логических функций. Для лучшего понимания этих функций независимые переменные Xi и х2, которыми можно выражать определенные события, бу­ дем принимать как два простых предложения (высказывания), соединяемые в сложное предложение (высказывание).

46

Рассмотрим Из всех шестнадцати функций только две —■ конъюнкции и дизъюнкции. Выбор этих комбинаций в качестве основы алгебры изучения систем и построения логических сетей объясняется прежде всего тем, что с их помощью легко и достаточно наглядно представлять все построения.

Система, реализующая логическую функцию конъюнкции, обеспечивает появление на ее выходе правильной реакции

подтверждение о том, что создание таких предприятий будет экономически выгодно. Вводим две независимые переменные: х,

3.Решение о создании отрицательное, так как, несмотря на наличие капиталовложений, эффективность нулевая.

4.Решение о создании положительное, так как есть капита­ ловложения и доказана экономическая эффективность создания таких предприятий.

Заметим, что ноль на выходе конъюнктивной системы не означает, что реакция не появилась. В данном случае пони­

47