Файл: Кравченко Р.Г. Основы кибернетики учеб. пособие.pdf

Г л а в а 2

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМ

Понятие различия. При рассмотрении характеристик функ­ ционирующих динамических систем высказывалось положение, что каждая система такого рода имеет множество возможных состояний. Под с о с т о я н и е м системы понималось точно оп­ ределенное условие или свойство, которое может быть опознано, если повторится снова. Последовательность состояний опреде­ ляла траекторию, или л инию п о в е д е н и я с и с т е м ы . При этом не раскрывались сущность и характер происходящих изме­ нений в системе, что не позволяло изучить режимы поведения системы.

Необходимо рассмотреть некоторые общетеоретические во­ просы, являющиеся основой для изучения возможных направле­ ний функционирования кибернетических систем.

Фундаментальным понятием кибернетики при описании функ­ ционирующих динамических систем является понятие р а з л и ­ чия. Это понятие означает, что либо две системы ощутимо раз­ личны, либо одна система изменилась с течением времени, пе­ рейдя от одного состояния к другому.

Влюбой динамической системе переход от одного состояния

кдругому происходит постепенно и непрерывно (бесконечно ма­ лыми шагами), например рост животного или проведение весен­ них полевых работ. Однако рассмотрение процесса перехода от одного состояния к другому сталкивается со значительными трудностями. Поэтому во всех случаях условимся, что измене­

ния происходят конечными шагами во времени и что всякое раз­ личие также конечно. Например, можно рассматривать растение в фазе колошения, в фазе молочно-восковой спелости, в фазе полной спелости.

Всистеме «бригада» в период уборки можно различать ска­ шивание и укладку в валки, подбор валков и обмолот, очистку зерна, стогование.

Вкибернетике принято называть некое исходное состояние, на которое оказывается действие в целях трансформации, пере­

вода его в другое состояние, о п е р а н д о м (операнд — то, что испытывает действие). Действующий фактор называют о п е р а ­

39

Например, нагревается вода, превращается в пар. Вода — операнд, тепло — оператор, новое состояние — пар.

Происходящие в описанных случаях изменения можно опи­ сать формулой

вода -> пар

Эти изменения называются пере ходом. Переход опреде­ ляется двумя состояниями и указанием, какое из них изме­ няется в другое состояние (стрелка).

Исследование одиночных переходов не позволяет получить дополнительные сведения о характере трансформаций, происхо­ дящих в системе, понять смену состояний системы, установить четко различия между системами и между состояниями одной системы.

Чтобы иметь возможность вести более широкое исследование систем, раскроем содержание понятия «преобразования», а также укажем возможные виды преобразований.

Преобразования, виды преобразований. Один и тот же опера­ тор может воздействовать на различные операнды, вызывая пе­ реход в каждом из них, получение образов.

Так, оператор «энергия солнечных лучей», действуя на зерно, помещенное в почву, стимулирует его произрастание и превра­ щение в растение. Дальнейшее действие этого оператора стиму­ лирует рост растения и его цветение. Из фазы цветения расте­ ние переходит в фазу плодоношения. Это вызывает ряд пере­ ходов:

зерно (семя) -»растение

растение^фаза цветения растения

фаза цветения растения^фаза плодоношения растения.

Такое множество переходов для некоторого множества опе­ рандов есть п р е о б р а з о в а н и е .

Преобразования ясно показывают один из основных методи­ ческих приемов кибернетики. Исследуя переходы,изучается,что проис ходит , а не п о ч е м у это происходит. Даже знание оператора во многих случаях несущественно: важно то, что под действием определенного оператора (без выяснения существа действия) операнд превращается в образ. Следовательно, глав­ ным является, в какой образ под действием оператора превра­ щается операнд.

Преобразования, происходящие в системе, относятся к раз­ личным видам. Для показа этих видов воспользуемся общей формой описания системы.

Известно (задано) множество операндов, каждый из кото­ рых представляет одну букву латинского алфавита — а, Ь, ..., и. Избранный оператор воздействует на операнд так, что каждая

40

При рассмотрении этого преобразования устанавливаем, что множество образов не содержит новых элементов по сравнению с множеством операндов. Каждый элемент нижней строки встре­ чается среди элементов верхней строки. Такое преобразование

данного преобразования. Естественно, что если изменится мно­ жество операндов (или оператор), то может и не быть замкну­ того преобразования. Н е з а м к н у т ы м преобразованием при­ нято считать такое, когда среди множества образов имеются элементы, не встречающиеся среди множества операндов.

Так, незамкнутым является преобразование

| а Ь . . . и \ b с . . . k

Замкнутым преобразованием можно моделировать действие, которое имеет определенную длительность и циклически повто­ ряется. Наоборот, незамкнутое преобразование (его множество последующих состояний содержит и другие состояния по сравне­ нию со множеством исходных состояний) моделирует деятель­ ность, развитие которой от определенного состояния неизвестно, сведения о нем заканчиваются.

Взависимости от характера переходов, т. е. соответствует ли одному исходному состоянию (операнду) одно или несколько последующих состояний (образов), различают преобразования однозначные и неоднозначные.

Втом случае, когда каждому операнду соответствует только

один образ, будет о д н о з н а ч н о е преобразование (последую­ щее состояние полностью определено предыдущим состоянием).

41

Если каждому элементу из множества операндов соответ­ ствует один и только один элемент из множества образов, но не каждому образу соответствует один и только один операнд, та­ кое преобразование является од н о.з н а ч н ы м л ишь в одну с т о р о н у (в ранее приведенном примере образу b соответст­ вует исходное состояние a n d ) .

Однозначным преобразованием возможно моделировать раз­ витие детерминированных систем.

В тех случаях, когда в системе какому-либо исходному со­ стоянию соответствует несколько последующих состояний, при­ чем возникновение какого-либо последующего состояния яв­ ляется случайным событием с определенной вероятностью по­ явления, будет н е о д н о з н а ч н о е преобразование. Например,

ниями в одном переходе использованы в исключающем смысле. Например, операнд а перейдет или в образ b или в образ с. То, что будут именно эти образы, а не другие, истинно, ибо сумма вероятностей их появления равна 1 .

Неоднозначными преобразованиями можно моделировать развитие систем со случайным действием вероятностных систем.

Различают еще один вид преобразований-—т о ж д е с т в е н ­ ные преобразования. При этом преобразовании не происходит никаких изменений, и каждый образ совпадает со своим опе­ рандом. Если все операнды различны, то это преобразование

Компактные способы записи преобразований. Часто при за­ писи преобразований применяют более укрупненные формы, ясно показывающие их взаимоотношения. Одной из таких форм является запись в виде определенной формулы. Обозначим опе­ ранд через символ п, образ — через п', тогда при любом п спра­ ведливо будет отношение п-^п'.

Чтобы выяснить характер перехода, введем коэффициент k, который покажет, как будут совершаться преобразования под действием оператора. Это может быть прибавление или умень­ шение операнда на величину k (n'=n + k\ п '—п—k), или же

умножение (n'= kn) или деление Ы — пk

другое, более сложное действие, раскрывающее функциональную зависимость множества операндов и множества образов при пре­ образовании в данной системе.

42