Файл: Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие.pdf

ускорения а направлен внутрь траектории. Если полное ускорение а будет направлено от нормали в направлении движения (рис. 97, а), то абсолютная величина скорости

где а — угол между направлением полного ускорения а и касательной к траектории.

Простейшим и наиболее важным примером криволинейного движе­ ния является случай, когда точка движется равномерно,

т. е. с постоянной скоростью, по окружности. Так переме­ щается каждая точка сверла и фрезы, токарного патрона, планшайбы карусельного станка, ротора электродвигателя.

На рис. 98 показаны траектория такого движения и ряд векторов скорости 0, соответствующих последовательным равным промежуткам времени. Все векторы скорости имеют одинаковую величину (их длина постоянна), но разное направление. Всякий раз, когда точка, двигаясь с постоян­ ной скоростью, описывает окружность, вектор скорости v равномерно поворачивается на 360°. Так как величина скорости не изменяется, то касательное ускорение отсутст­ вует: аТ = 0. Нормальное ускорение ан в каждый момент времени направлено перпендикулярно касательной к траек­ тории и, следовательно, всегда проходит по радиусу через

130

центр О окружности. Найдем величину нормального уско­ рения ан. Пусть точка за некоторое время At переместилась из места А траектории в место В (рис. 99). Скорость точки

Рис. 97. Составляющие вектора ускорения а при увеличении (а) и уменьшении (б) скорости v

в момент времени t0 равна vg, а в момент времени tx — vx. Эти векторы одинаковы по величине и направлены по каса­ тельным к окружности в местах А и В. Перенесем вектор v0

В и О, а величины векторов скорости v0 и 0Х одинаковы и равны v. Поэтому

Разделим обе части последнего равенства на А^:

~ Г ' "дТ "

Будем уменьшать промежуток времени At.

При этом отношении -д-" стремится к величине нормального ускорения с н , а отношение д ^ к величине скорости v,

так как скорость точки изменяется только по направлению и остается постоянной по величине (равномерное движение по окружности). Окончательно получим:

132

где величина нормального ускорения ан определяется по формуле (34).

В заключение отметим, что прямолинейное движение точки, как равномерное, так и неравномерное, является частным случаем криволинейного движения. Это хорошо видно на примере движения точки по окружности. Если бесконечно увеличивать радиус окружности, то траектория точки будет приближаться к прямой на все большем участке. При увеличении радиуса вектор нормального ускорения аа уменьшается и в пределе станет равным нулю. Останется только ускорение в направлении траектории, которая превратится в прямую линию.

§47. Вопросы для повторения и упражнения

1.Как направлена скорость точки, движущейся по криволинейной траектории?

2.Что называется касательным ускорением и что оно характе­

ризует?

3.Как определить величину и направление ускорения точки, дви­ жущейся по криволинейной траектории?

4.Как движется точка, если величина скорости постоянна, а ее направление изменяется с течением времени?

5.Две точки движутся с одинаковыми скоростями по концентри­ ческим окружностям. У какой точки больше центростремительное ускорение?

6.Искусственный спутник движется по круговой орбите на высоте 650 км и совершает один оборот вокруг Земли за 94 мин. Радиус Земли

скорости и ускорения конца стрелки. Постройте векторы скорости и

Глава восьмая ПРОСТЕЙШИЕ Д В И Ж Е Н И Я ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 48. Движение твердого тела и движение точки

В предыдущих главах мы изучили движение материаль­ ной точки. Рассмотрим теперь, как связать движение тела с движением составляющих его точек. Очень часто можно

133

определить перемещение, скорость и ускорение любой точки тела, если известны характеристики движения огра­ ниченного числа отдельных его точек. Это выполнимо в тех случаях, когда взаимное расположение отдельных точек тела при движении практически не изменяется, т. е. при движении тело не деформируется. Если деформации тела малы и не влияют на его движение, то ими можно прене­ бречь и рассматривать тело как недеформируемое. В этом случае говорят, что изучается движение абсолютно твер­ дого тела.

При изучении движения твердого тела ограничимся рассмотрением только плоских движений, при которых все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Подавляющее большинство механизмов, применяемых в технике, является плоскими механизмами. Они представ­ ляют собой сочленение твердых тел, совершающих плоско­ параллельное движение. Например, при обработке деталей на строгальных, фрезерных, шлифовальных станках полу­ чают плоские поверхности. Это означает, что детали станка, обрабатываемая заготовка и режущий инструмент должны совершать плоскопараллельные движения. Только в этом случае мы получим желаемый результат — обработанную плоскость изделия.

При движении твердого тела отдельные его точки пере­ мещаются различно, т. е. по разным траекториям, с раз­ личными скоростями и ускорениями. На рис. 57 показана схема кривошипно-шатунного механизма. Все точки кри­ вошипа перемещаются по окружностям различных радиусов. Все точки ползуна перемещаются по прямолинейным траек­ ториям. Движение шатуна будет более сложным. Его конец, совпадающий с центром шарнира А, перемещается по окруж­ ности, а конец, совпадающий с центром шарнира Б, — по прямой. Траектории всех остальных его точек представляют замкнутые кривые линии.

его точек по известным аналогичным величинам ограничен­ ного числа отдельных его точек.

§ 49. Поступательное движение твердого тела

В общем случае при движении твердого тела разные его точки могут совершать различные перемещения. В частном случае, когда все точки тела совершают одинаковые пере-

134