Файл: Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие.pdf

Луна перемещается по круговой орбите, искусственные спутники Земли тоже движутся по криволинейным траек­ ториям.

Подавляющее большинство машин-двигателей и машинорудий имеет вращающиеся детали. Это роторы электро­ двигателей, паровых и газовых турбин, гидравлических турбин, коленчатые валы двигателей внутреннего сгорания; детали исполнительных механизмов и механизмов, передаю­ щих движение от двигателей к машинам-орудиям (шпиндели металлорежущих станков, зубчатые колеса и валы коробок передач главного движения и механизмов подач), и др. Каждая точка таких деталей перемещается по криволиней­ ной траектории.

Продолжим рассмотрение движения точки М, находя­ щейся на ободе катящегося колеса (см. рис. 78). Как было показано выше, вектор перемещения AS не совпадает с участ­ ком криволинейной траектории, заключенным между на­ чалом и концом вектора AS. Например, путь, пройденный

будет меньше по величине. Разность длины дуги МгМ'.г и хорды MiM'z уменьшится. Продолжая уменьшать величину промежутка времени А/, мы, в конце концов, получим прак­ тическое совпадение перемещения AS с малым участком траектории в окрестности точки Мх. При неограниченном уменьшении промежутка времени направление вектора перемещения AS будет стремиться к направлению каса­ тельной к траектории в рассматриваемой точке в сторону движения (направление МХК на рис. 91). Вспомните, как летят искры при заточке инструмента на абразивном круге. Раскаленные частицы делают видимым направление пере­ мещения. Частицы, вырванные из металла и круга, про­ должают двигаться в направлении перемещения, которое имело место в момент времени, когда произошло мельчай­ шее местное разрушение материала (по касательной к на­ ружной поверхности круга).

Перейдем к определению скорости точки пр_и криволи­ нейном движении. Разделим перемещение AS точки на время А^, в течение которого оно произошло. Отношение

4f- зависит от промежутка времени А^. Если мы будем

123

нейшего дробления промежутка At мы заметим, что отношение -д-р перестает изменяться с уменьшением At. Это произойдет тогда, когда перемещение AS точки за время

At будет очень мало отличаться от участка траектории. При неограниченном уменьшении промежутка времени At величина отношения -д-j- стремится к значению v скорости

точки в данный момент времени, к значению мгновенной скорости. Направление вектора скорости всегда совпадает с направлением вектора перемещения. Поэтому вектор скорости касателен к траектории и направлен в сторону движения точки (рис. 91, б).

Аналогичным образом была определена скорость при прямолинейном движении (см. § 39).

124

На рис. 92 показаны векторы скорости точки М через каждые 0,2 с для колеса, катящегося со скоростью v0 = = 2 м/с.

§ 46. Ускорение криволинейного движения точки

При изучении движения точки М, находящейся на ободе катящегося колеса, мы установили, что величина и направ­ ление ее скорости непрерывно изменялись с течением вре­ мени. Это хорошо видно, если построить векторы скорости, показанные на рис. 92, откладывая их из одной точки.

Получим последовательность векторов, изображенную на

довательных изменения скорости Av будут все меньше и меньше отличаться друг от друга как по величине, так и по направлению (рис. 93, б).

Разделим вектор изменения скорости Av на величину промежутка времени At. Получим новый вектор:

Av

а ^ = ~АТ-

Величина этого вектора показывает, насколько измени­ лась величина скорости за промежуток времени At. Направ­ ление этого вектора совпадает с направлением вектора

126

не будут отличаться друг от друга. Поэтому среднее уско­

всегда совпадает с направлением вектора изменения ско­ рости Av.

Обратите внимание на полученный существенно новый, очень важный результат: вектор ускорения не обязательно направлен по траектории. Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости Av,

Рис. 94. Составляющие вектора изменения скорости Av при криволи­ нейном движении в случае увеличения (а) и уменьшения (б) скорости

а не скорости v. Другими словами, изменение направления скорости означает, что точка движется с ускорением. Даже в том случае, когда точка движется с постоянной по вели­ чине скоростью, но по криволинейной траектории, она имеет ускорение.

Из рис. 93 хорошо видно, что вектор Av образует неко­ торый угол с направлением движения (с направлением ско­ рости у). Представим вектор изменения скорости Ад в виде двух составляющих: Дут в направлении скорости и Дун в направлении, перпендикулярном к скорости.

На рис. 94, а, б, показаны векторные диаграммы для произвольного криволинейного движения за малый про­ межуток времени А^ . Составляющую вектора изменения скорости в направлении движения обозначим Avr, а состав­ ляющую в направлении, перпендикулярном к скорости, обозначим Ava. Согласно правилу сложения векторов имеем:

Av = А У Т + А У Н .

127

По определению среднего ускорения точки за промежу­ ток времени At можно написать:

диаграммы скорости по рис. 94, а сплошными линиями —

совпадает с направлением Аит , а направление вектора а с р . н —

ния. Направление вектора ат совпадает с направлением изменения скорости Аух за очень маленький промежуток времени. В свою очередь, вектор Айт может быть направлен или по скорости v в направлении движения (см. рис. 94, а),

128

или против скорости v в сторону, обратную движению (см. рис. 94, б). Вспомните также, что скорость v в данный момент времени всегда направлена по касательной к траек­ тории в сторону движения и через время At изменяется на

скорости с течением времени увеличивается и точка вдоль траектории движется ускоренно (рис. 95, а). Если направ­ ления а т и скорости v противоположны, то величина ско­ рости с течением времени уменьшается и точка вдоль траектории движется замедленно (рис. 95, б).

стремится к составляющей а„ мгновенного ускорения. Направление вектора а н совпадает с направлением изме­

ной к траектории. Поэтому составляющая вектора ускоре­

Линию, перпендикулярную касательной к кривой и проведенную через точку касания, в математике называют

сущность ускорения а н . Так как вектор скорости совпадает по направлению с касательной к траектории движения, то нормальная составляющая ускорения всегда должна быть направлена в ту сторону, куда поворачивается касатель­ ная, т. е. внутрь траектории. С этой стороны траектории находится точка О — центр, из которого можно провести дугу, практически совпадающую с траекторией на очень маленьком участке в окрестности точки М (рис. 96).

Полное ускорение а точки при криволинейном движении найдем суммированием составляющей вектора в направле­ нии траектории ат и составляющей вектора в нормальном