Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf

между любыми ее компонентами

равен одному и тому же

числу Q, то

0ЛГ|1,2,...,ЛГ-1 — Q

N — 1

(1.94)

+ ( N — 2 )б

1

не требуется.

важ­

Наряду с множественным коэффициентом корреляции

ное значение

имеет

частный

коэффициент корреляции

Qiv, jv—111,2...... n- 2

между

t.у и tN- 1

при фиксированных

t\ =

= .v'i;...; tN _ 2 — xN_2. Выражение для него имеет вид [1]

QjV,iV—1|1,2...,jV—2=

буу.лг—1|2,3,...,Л '-2 ~~ 6лГ|1,2.....IV—2 9/У -1|1,2,...,/У —2

(1 .9 5 )

1

(1

ejv|l,2....Дг—2) (1 — бдг—111,2,...,/V—2)

Соотношение (1.95)

является рекуррентным и позволяет, вычис­

лив частный коэффициент корреляции

Qn .n - 111'

Q/VJV-l

(1.96)

ных величии t{ и tj

коэффициент корреляции qh^ [ —1,1], то в со­

вокупности tN= (t 1 ,

t2, ..., Cv) это

свойство может

не

выпол­

няться. Пусть, например, при N>2

коэффициенты

корреляции

между любыми двумя компонентами равны одному

и тому же

значению q, а матрица ||а,ц|| положительно определена.

Тогда

согласно работе [1]

р е [—1| (N—1),

1].

6l|2,3,...,/V =

* (1

6i,2)0 6?i3|2)-"(l

6i,/v|2... л'- i) -

(^-97)

Рассмотрим

теперь

некоторые типовые

распределения

слу­

Пусть непрерывный случайный вектор tN имеет вектор

сред­

них jlljv= (pi,..., щу) и ковариационную

матрицу ||a,-j||.

Тогда

распределение tN называется //-мерным

н о р м а л ь и ы м,

если

его функция распределения имеет вид

где

|crij’|

— определитель матрицы ||cr,’-i|l, обратной к ||а,ц||;

_

N

IV

Q{yiv) =

^ 2 я11(У1—ъ ) { У 1 —Ну);

i=l /=1

e'i — элементы

матрицы

||crij’||,

определяемые из

соотноше­

ния

(1.88).

Запишем выражение (1.98) в виде

F ( x JV)=

Xi- - *1.,

y i = T7n

) =

\

°i

'

= ^ { / ' n )= P ( — с о < 2 ; < Л ; , V i — l , N ) ,

где

Gi

полагается

большим нуля,

a

z*= (U—\ц)!ай h{=

= (Xi—\ii)loi;

/ziY=

(Л ь Л2>. . . ,

Л лг).

Случайные

величины

имеют средние значения,

равные

нулю, и дисперсии, равные единице.

Найдем ковариацию Oij между г,- и 2 ,-. По определению

»/,= f

j

yiyjf{yi,yj)dyidyjt

где /(у,-,

ijj) — совместная плотность

распределения

tji

и у,.

Из соотношения (1.98)

следует, что

/ ( УпУ})-■

■ехр

й + у) — ^аУлУ]

(1.99)

2л V

1

вЬ

2(1-0?,)

где Qij — коэффициент корреляции

между

t\ и tj,

и,

следова­

тельно,

<j

----о-

\

\

У1У]ЫР

у] + у) ~ ^QiiViUJ dy-Myj=

2л V 1-

Q?,

J

20 - е ? /)

J

— во — со

СО

2

= "^Г f

l-ef^+ Q /yiT /Jexp^—

111

\ У?ехР ( ----7Г

e x p (-

dMyi+ 1 i-eJyX

2л

-

I

ГТ77

hl

!‘n

N

exp

F u

= F(hN)= -

le j

\

\

n

^ - . d - 100)

(2л)Л/3 •>

J

где

| q« | — определитель

матрицы

||д^||,

обратной

к

корреля­

ционной матрице ||д,7||;

,у

N

&(Улг) = V

V егуУ/У/,

//;=

-Л;/~- — при i= T jV .

jmJ

JmU

°i

i=\

)~\

—►

Вычисление вероятности попадания случайного

вектора tN

Л'г ,

xi\,

т. е. определение величины

в выпуклый многоугольникП|х,-,

/=1

Р {xi < t[ < х], v i = \ , N ) ,

осуществляется

с

помощью соотношений

(1.98)

или

(1,100)

и (1.57).

интерес

некоторые частные случаи

функции

Представляют

F (л'лО — F ( h N ) =

j" © (г /) F "

У /

q +

h

d у

(I. ЮП

l

I — 0

или F (xN)= F (fiN)=

1---- ^

[ F

у / 2 ( 1 — Q)— h

iJidy.

(1.102)

1 я

.)

/ q

Здесь

—c©

ll

y ^ F 1* -1(]/ 2y) e - "a;

a(z) =

- ^

e--''72;

F( / i ) =

\

v\y)dz. (i. 103)

у 2л

J

ния (1.101)

и (1.102), как и (1.100), определяют функцию рас­

пределения

наибольшей

из

компонентов вектора

zx ={z\,

z2, ..., zx ). В двумерном

случае (N—1)

можно показать, что

справедливы соотношения [46, 63]:

/Г (//1,Л2) = / Г (Л1)/7 (Л2)Ч -f 'b(h1,fi2,y)dy;

(1.104)

о

F (А,, /,,) = f <fl|> + f (|‘а) -

T [7г., я».) -

T(lh , а,„) - Ь;

(1. 105)

V ,

V!

С;„

(1. 106)

лАшА

Здесь

v= l

d F ( h l t ho)

__

d^F ( h l t ho)

У(/ >1, КУ) =

д х {д х 2

dQi о

1

h \ + Ло — 2Л1/г2у

(1. 107)

ехр

2(1 -if-)

2л т^С— у2

Т

1

Г

е х р [— Л2 (1 +

х 2)/2] dx — функция Оуэна

1 + а-2

(табулирована в работе [63]);

Но—

/г iQ! о

h\ — /ioQ12

ЛЛа

h-2Т 1

QJ 2

hi \

1 — 0J2

FW(li) — производная

v-ro порядка

от

функции

Лапласа

(1.103). В выражении (1.105) принимается

Ь = 0, если

h\ho>§,

или если hlh2 = 0,

но

h\ + h2^ 0 . В

противном случае

прини­

мается 6 = 0,5.