Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf

Здесь if — случайная величина, равная числу предметов /-н кате­ гории в выборке п.

На основе метода производящих функций можно показать,

Используя его, находим

где D = ' £ d i. i- 1

Г. Многомерное отрицательное гипергеометрическое распределение

Пусть теперь ti — число предметов, извлекаемых по одному из совокупности N до тех пор, пока не будет извлечено dj пред­

м

где V,- > d;■ k = V (vt. — di). i=i

Выражение дает возможность вычислить вероятность того, что для извлечения d{ предметов первой категории, d2— второй и т. д. потребуется лщ гг, • •. извлечений. Это эквивалентно собы­

чина, представляющая собой число извлечений до появления

k предметов нулевой категории. Функция распределения tM имеет вид

37

A-,., v / = l , T I ) = V P ( / = ^ ) -

A’ =0

•r/Vf

= 2 ••

1.1.12. Полиномиальное распределение

Пусть проводятся п испытаний по схеме Бернулли, т. е. в каж­ дом из п независимых испытаний возможен один из двух исхо­

th=(t), tk), где ti — возможное число отказов г-го вида

в п испытаниях. Компоненты вектора th линейно зависимы, так как t\-r ... +th + to = n, где to — возможное число успехов в п испытаниях. Тогда согласно работе [23]

ft

где v0 -

/=1

Функция распределения tk имеет вид

где x.'о =

i=1

Отсюда видно, что справедливо следующее интересное тож­ дество:

38

При вычислении функции полиномиального распределения часто оказывается удобным известное соотношение

1. 1.13. Отрицательное полиномиальное распределение

Пусть теперь tQ— случайная величина, равная числу испыта­ ний до получения т0 успехов, a ti — число появляющихся при этом отказов — событий А {. Тогда отрицательным полиномиаль­ ным распределением называется выражение [38]

=2 p ^/ = v/. v i = l , k ) ,

»1”0

к

где х 0— т0-|- ^ х г •

1.1.14. Некоторые сведения из теории случайных функций

Пусть (Я, В, Р) — вероятностное пространство. Случайной функцией td ) называется конечная вещественная функция, кото-

39

распределения F (х>). Совокупность tN—(/,, ..., tN) величин tt

имеет совместную функцию распределения Т(хдг). Совокупно­

сти случайных векторов Cv соответствуют семейству конечномер-

*—►

ных распределений F(xN) для разных N и всех возможных зна­

нарной , если совместные распределения случайных величин

и называются соответственно средним значением, дисперсией и нормированной корреляционной функцией.

В работе [34] показано, что при выполнении некоторых усло­ вий регулярности случайная функция /(Н), где — непре­ рывный аргумент, может быть аппроксимирована случайным

вектором /jv= ( / i, /2, ■• ■, Cv)> где /; = /(£,-) при /= 1, N — дискрет­ ные значения |. При этом свойства /.v<=/?<'V), описываемые функ­

цией распределения F(xN), те же, что и у случайной функции. Этот существенный для последующего изложения результат условно представим в виде

ние (1.124), может быть сформулировано на основе анализа со­ ставляющей дисперсии случайной функции t, обусловленной точностью прибора, с помощью которого фиксируются реализа­ ции [36].

40