Файл: Э. А. мАркАрьян, Г. П. ГерАсименко, с. Э. мАркАрьян экономический анализ хозяйственной деятельности.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.04.2024
Просмотров: 139
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Глава 3. Анализ эффективности производственных (реальных) инвестиций
459
что платежи в ней производятся не в конце, а в начале платежного пе(
риода. В результате различие между рентами сводится к количеству периодов начисления процентов. Сумма членов ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы ренты постнумерандо в (1 + r) раз,
поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо n
(1 r)
1
FV CF
(1 r),
r
+
−
=
× +
(3.32)
или
FV = CF
× S
rin
(1 + r).
(3.33)
Пример 27. Гражданин Н. в течение трех лет намерен ежегодно вкладывать по 20 тыс. руб. в облигации с купонной доходностью 10 %
по схеме пренумерандо. Чему будет равна сумма к получению в конце периода?
Решение.
3
(1 0,1)
1
PV 20
(1 0,1) 72,8 0,1
+
−
=
× +
=
тыс. руб.
или FV = 20
× 3,310 × 1,1 = 72,8 тыс. руб.
Современная величина ренты пренумерандо рассчитывается ана(
логично, т.е. рассчитывается современная величина обыкновенной рен(
ты, которая умножается на соответствующий множитель наращения.
Формула расчета:
n
1 1: (1 r)
1
PV CF
(1 r),
r
−
+
−
=
× +
(3.34)
или
PV = CF
× a rin
× (1 + r).
(3.35)
Пример 28. Организация через пять лет желает иметь на счете
10 млн руб. Ежегодные ассигнования на эти цели полагаются в разме(
ре 2 млн руб. по схеме пренумерандо. Какая сумма потребовалась бы организации для накопления на счете 10 млн руб., если бы она помес(
тила в банк на пять лет под 18 % годовых?
Решение.
5 1
1
(1 0,18)
PV 2
(1 0,18) 7,4 0,18
−
+
=
× +
=
млн руб.
или РV = 2
× 3,127 × 1,18 = 7,4 млн руб.
Рентные платежи и начисления процентов могут осуществляться несколько раз в год.
460
РАЗДЕЛ III. ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
Пример 29. Организация создает фонд развития, помещая в банк сумму в размере 1200 тыс. руб. ежегодно. Взносы в банк производятся по схеме пренумерандо:
а) ежеквартально равными частями проценты банком начисляют(
ся один раз в конце года.
Формулы расчета:
1) наращенной суммы (величины фонда):
n
1: p
1: p
(1 r)
1
FV CF
(1 r) ;
p [(1 r)
1]
+
−
=
× +
+
−
(3.36)
2) современной стоимости потока платежей:
n
1: p
1: p
1 1: (1 r)
PV CF
(1 r) ;
p [(1 r)
1]
−
+
=
× +
+
−
(3.37)
б) ежеквартально равными частями, проценты банком также на(
числяются ежеквартально.
Формулы расчета:
1) наращенной суммы (величины фонда):
mn
(1 r : )
1
FV CF
(1 r : m);
r
+
−
=
× +
2) современной стоимости потока платежей:
mn
1 1: (1 r : m)
PV CF
(1 r : m);
r
−
+
=
× +
Необходимо определить величину фонда развития в конце пято(
го года и современную стоимость потока платежей при условии, что проценты банком начисляются по ставке 16% годовых.
Решение.
1. Расчет наращенной суммы (величина фонда):
а)
5 1: 4 1: 4
(1 0,16)
1
FV 1200
(1 0,16)
9062,6 4 [(1 0,16)
1]
+
−
=
× +
=
+
−
тыс. руб.;
б)
20
(1 0,16 : 4)
1
FV 1200
(1 0,16 : 4) 9290,1 0,16
+
−
=
× +
=
тыс. руб.
2. Расчет современной стоимости потока платежей:
а)
5 1: 4 1: 4 1 1: (1 0,16)
PV 1200
(1 0,16)
4315,0 4 [(1 0,16)
1]
−
+
=
× +
=
+
−
тыс. руб.;
1 ... 43 44 45 46 47 48 49 50 ... 55
Глава 3. Анализ эффективности производственных (реальных) инвестиций
461
б)
20 1 1: (1 0,16 : 4)
PV 1200
(1 0,16 : 4) 4240,1 0,16
−
+
=
× +
=
тыс. руб.
Пример 30. Фирма создает фонд развития путем ежегодных по(
мещений в банк сумм в размере 2 млн руб. под 16% годовых. Взносы в банк производятся равными частями один раз в год в середине года.
Формулы расчета:
1) наращенной суммы (величины фонда):
n
1: 2
(1 r)
1
FV CF
(1 r) ;
r
+
−
=
× +
(3.38)
2) современной стоимости потока платежей:
n
1: 2 1 1: (1 r)
PV CF
(1 r) .
r
−
+
=
× +
(3.39)
Необходимо определить величину фонда к концу пятого года и современную стоимость потока платежей.
Решение.
1. Расчет наращенной суммы (величины фонда):
5 1: 2
(1 0,16)
1
FV 2
(1 0,16)
14,8 0,16
+
−
=
× +
=
тыс. руб.
2. Расчет современной стоимости потока платежей:
5 1: 2 1 1: (1 0,16)
PV 2
(1 0,16)
7,1 0,16
−
+
=
× +
=
тыс. руб.
Денежные пото
Денежные пото
Денежные пото
Денежные пото
Денежные потоки в виде серии платежей
ки в виде серии платежей
ки в виде серии платежей
ки в виде серии платежей
ки в виде серии платежей
произвольной величины
произвольной величины
произвольной величины
произвольной величины
произвольной величины
В инвестиционной деятельности большинства организаций часто встречаются денежные потоки в виде платежей произвольной вели(
чины, осуществляемые через равные промежутки времени. Типичны(
ми случаями возникновения таких потоков являются капиталовложе(
ния в долгосрочные активы, поступления выручки от реализации продукции, выплаты дивидендов по обыкновенным акциям и др.
В связи с этим возникает проблема определения временно´й цен(
ности неравных денежных потоков.
Наиболее распространенный вид переменных рент — это ренты с постоянным изменением их членов. Рассмотрим годовую ренту, ког(
да платежи изменяют свои размеры во времени с постоянным относи(
тельным приростом. Поток таких платежей здесь следует в геометри(
462
РАЗДЕЛ III. ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
ческой прогрессии и состоит из членов CF, CFq, CFq
2
, …, CFq n–1
(где q — знаменатель прогрессии, характеризующий темп роста). Если этот ряд представляет собой ренту постнумерандо, то формула наращения такой ренты будет выглядеть как:
n n
q
(1 r)
FV CF
q (1 r)
− +
=
− +
(3.40)
Пусть q = 1 + k, где k — темп прироста (снижения) платежей. Тог(
да формула наращения примет вид n
n
(1 k)
(1 r)
FV CF
k r
+
− +
=
−
(3.41)
Расчет современной стоимости потока платежей с равным темпом изменения производится по формуле n
1 k
1 1 r
PV CF
r k
+
⎛
⎞
− ⎜
⎟
+
⎝
⎠
=
−
(3.42)
Пример 31. Условия ренты постнумерандо: CF = 4 млн руб., n =
= 10 лет; r = 16% годовых. Платежи увеличиваются каждый год на 10%
(k = 0,10). Необходимо определить общую сумму платежей по истече(
нии срока и современную стоимость потока платежей на начало срока.
Решение.
1. Расчет общей суммы платежей:
10 10
(1 0,10)
(1 0,16)
FV 4 121,1 0,10 0,16
+
− +
=
=
−
млн руб.
2. Расчет современной стоимости потока платежей:
10 1 0,10 1
1 0,16
PV 4 27,6 0,16 0,10
+
⎛
⎞
− ⎜
⎟
+
⎝
⎠
=
=
−
млн руб.
Если платежи производятся не один, а несколько раз в год пост(
нумерандо, проценты начисляются один раз в год. В этом случае фор(
мулы расчета будут иметь вид:
а) общей суммы потока платежей (ренты):
np n
1: p
(1 k)
(1 r)
FV CF
,
(1 k) (1 r)
+
− +
=
+
− +
(3.43)
Глава 3. Анализ эффективности производственных (реальных) инвестиций
463
б) современной стоимости ренты:
np n
1: p
(1 k)
1: (1 r)
1
PV CF
,
(1 k) (1 r)
+
×
+
−
=
+
− +
(3.44)
где
Р — количество платежей в году.
Пример 32. Условия ренты постнумерандо. CF = 4 млн руб., n =
10 лет; r = 16% годовых.
Платежи увеличиваются с каждым полугодием на 10% (К = 0,10).
Необходимо определить наращенную сумму платежей за весь период ренты и современную стоимость потока платежей на начало срока.
Решение.
1. Расчет общей суммы ренты:
10 2 10 1: 2
(1 0,10)
(1 0,16)
FV 4 463,2
(1 0,10) (1 0,16)
×
+
− +
=
=
+
− +
млн руб.
2. Расчет современной стоимости ренты:
10 2 10 1: 2
(1 0,10)
1: (1 0,16)
1
PV 4 105,4
(1 0,10) (1 0,16)
×
+
×
+
−
=
=
+
− +
млн руб.
Современная стоимость неравных денежных потоков за n перио(
дов времени определяется по формуле n
t
1 2
n
2
n t
t 1
CF
CF
CF
CF
PV
,
(1 r) (1 r)
(1 r)
(1 r)
=
=
+
+ +
=
+
+
+
+
∑
где
CF
t
— денежный поток в период времени t.
Пример 33. Рассматривается предложение о вложении средств в инвестиционный проект сроком на 5 лет, в котором в первый год пред(
полагается получить доход 30 млн руб., во второй — 35 млн руб., в тре(
тий — 40 млн руб., в четвертый — 32 млн руб. Поступление доходов происходит в конце каждого года (постнумерандо), процентная став(
ка прогнозируется в размере 15%. Определить современную величину денежных потоков.
Решение.
2 3
4 30 35 40 32
PV
(1 0,15) (1 0,15)
(1 0,15)
(1 0,15)
=
+
+
+
=
+
+
+
+
= 26,1 + 26,5 + 26,3 + 18,3 = 97,2 млн руб.
464
РАЗДЕЛ III. ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
В практике инвестиционного анализа различают ренты с конеч(
ным числом членов, т.е. ограниченные по срокам ренты, и бесконеч(
ные, или бессрочные, ренты. К бессрочным относятся ренты, рассчи(
танные на 50 и более лет. Такой вид ренты для противопоставления аннуитету называют перпетуитетом (perpetuity).
Для оценки бессрочного аннуитета или перпетуитета использует(
ся формула
PV = CF : r.
(3.45)
Приведенная формула используется для оценки целесообразно(
сти приобретения ренты. В этом случае известен размер годовых по(
ступлений, а в качестве коэффициента дисконтирования обычно при(
нимается гарантированная процентная ставка (например, процент,
предлагаемый государственным банком).
Пример 34. Определить текущую стоимость бессрочной ренты при ежегодном поступлении 560 тыс. руб., если предусматриваемый бан(
ком процент по срочным вкладам равен 16% годовых.
Решение.
PV = 560 : 0,16 = 3500 тыс. руб.
Таким образом, если рента предлагается по цене, не превышаю(
щей 3500 тыс. руб., она представляет собой выгодную инвестицию.
3.2. МЕТОД ЧИСТОЙ СОВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ
В последнее время в качестве основного измерителя эффективно(
сти инвестиционных проектов большое распространение получил ме(
тод расчета чистой современной стоимости (net present value – NPV).
Суть этого метода состоит в том, чтобы найти разницу между инвести(
ционными затратами и будущими доходами, выраженную в скоррек(
тированной во времени денежной величине.
При разовой инвестиции расчет чистой современной стоимости можно представить формулой
NPV = PV – IC,
(3.46)
где
PV — современная стоимость денежного потока на протяжении эконо(
мической жизни проекта;
IC — сумма инвестиций на начало проекта.
Величину PV можно определить по формуле n
t t
t 1
CF
PV
,
(1 r)
=
=
+
∑
(3.47)
Глава 3. Анализ эффективности производственных (реальных) инвестиций
465
где r — норма дисконта;
n — число периодов реализации проектов;
CF
t
— чистый поток платежей в периоде t.
Подставив в формулу (3.46) вычисления PV, получим n
t t
t 1
CF
NPV
IC.
(1 r)
=
=
−
+
∑
(3.48)
Если величина ставки процента непостоянна (изменяется от пе(
риода к периоду), то NPV следует определять по формуле n
t t
t 1
i i 1
CF
NPV
IC,
(1 r )
=
=
=
−
+
∑
∏
где t
i
1 2
t i 1
(1 r ) (1 r ) (1 r ) ... (1 r ).
=
+
= + × +
× × +
∏
Если рассчитанная таким образом чистая современная стоимость потока платежей имеет положительный знак (NPV > 0), это означает,
что в течение своей экономической жизни проект возместит первона(
чальные затраты (инвестиции) IC и обеспечит получение дохода. От(
рицательная величина NPV показывает, что заданная сумма дохода не обеспечивается и проект убыточен (NPV < 0). При NPV = 0 проект только окупает произведенные затраты, но не приносит дохода.
При прогнозировании доходов по годам необходимо учитывать все виды поступлений и выплат как производственного, так и непроиз(
водственного характера, которые могут быть связаны с данным проек(
том. Например, амортизационные отчисления, высвобождение оборот(
ных средств, поступления от ликвидации либо продажи оборудования по окончании проекта должны включаться в доходы соответствующих периодов.
В тех случаях, когда имеет место денежный поток с равными по(
ступлениями в течение периода реализации проекта, величину PV
можно определить по формуле n
n;r
1 (1 r)
PV A
A
r
−
− +
=
= × α
(3.49)
Тогда
NPV = A
× α
n;r
– IC,
(3.50)
где
А — величина единовременного платежа;
α
n;r
— коэффициент приведения годовой ренты.
466
РАЗДЕЛ III. ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
Экономический смысл коэффициента приведения r
;
n
α заключа(
ется в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего мо(
мента величина ренты (аннуитета) с регулярными равными денежны(
ми поступлениями в течение n лет с заданной процентной ставкой r.
Значения этого коэффициента табулированы (см. приложение 4).
В основу расчета табулированных значений коэффициента приведе(
ния заложена формула i
n n
n r t
t 1 1
1 (1 r)
r
(1 r)
−
=
− +
α =
=
+
∑
(3.51)
Пример 1. Организация собирается вложить средства в приобре(
тение новой технологической линии, стоимость которой вместе с дос(
тавкой и установкой составит 60 млн руб. Ожидается, что сразу после пуска линии ежегодные поступления после вычета налогов составят
20 млн руб. Работа машины рассчитана на 5 лет. Ликвидационная сто(
имость линии равна затратам на ее демонтаж. Принятая норма дис(
конта составляет 12%. Определить экономическую эффективность проекта с помощью показателя чистой современной стоимости (NPV).
Решение:
NPV = 20
× 3,605 – 60 = +12,1 млн руб.
Рассмотрим теперь пример, когда инвестиции имеют разовый ха(
рактер, а годовые поступления не равны между собой, т.е. наблюдает(
ся переменная рента.
Пример 2. Изучается предложение о вложении средств в четы(
рехлетний инвестиционный проект, в котором предполагается полу(
чить доход за первый год — 20 млн руб., за второй — 25 млн руб.,
за третий — 30 млн руб. Поступления доходов происходят в конце соответствующего года, а процентная ставка прогнозируется в разме(
ре 15 %. Является ли это предложением выгодным, если в проект тре(
буется сделать капитальные вложения в размере 50 млн руб.?
Формула расчета:
n t
t t 1
CF
NPV
IC.
(1 r)
=
=
−
+
∑
Решение:
2 3
20 25 30
NPV
50
(1 0,15) (1 0,15)
(1 0,15)
=
+
+
−
=
+
+
+
= 17,4 + 18,9 + 19,7 – 50 = 56 – 50 = +6 млн руб.
Проект можно принять.
