Файл: Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп.pdf

2.8.39. F
ось
= mg;
F
пр
= mg/4, одна пружина сжата, другая растянута.
2.8.40. m = M r/(R − r).
2.8.41. T = 3mg.
2.8.42
∗
. ∆S = (N l/µ)α(t
2
− t
1
) tg ϕ.
2.8.44. F = µmg(
√
2 − 1).
Глава 3
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
§ 3.1. Малые отклонения от равновесия
3.1.1. f = −2F x/l.
U = F x
2
/l.
v = x
0
p2F/(ml).
3.1.2. F = −kx.
U = kx
2
/2.
3.1.3. а. k = mv
2 0
/x
2 0
б. F = −kx, U = kx
2
/2, k = m(v
0
/x
0
)
2
Нет, не зависит.
3.1.5. F = −mgx/l.
U = mgx
2
/(2l).
3.1.6. v = x
0
pg/l.
3.1.7. n =
pR/r.
3.1.8
∗
. m = 2qEx
2 0
/(lv
2 0
).
3.1.9. U =
mg
R − r x
2 2
3.1.10
∗
. U =
1 4πε
0

qQ
L + x
+
qQ
L − x
−
2qQ
L

≈
qQ
2πε
0
L
3
x
2
l = v pπε
0
L
3
m/(qQ).
3.1.11. m = 2(k cos
2
α)x/g.
3.1.12. а. F = −
2mg
R
x.
б. R
0
=
R
√
3
F
0
= −
6mg
R
0
x.
3.1.13. v =
∆m m
p gR/2.
3.1.14
∗
. Ω = ϕ
0
l
L
p g/h.
3.1.15. v
1
= x
0
r
(1 + y
0
/x
0
)
g l
,
v
2
= y
0
r
(1 + x
0
/y
0
)
g l
3.1.16. mg(1 + x
2 0
/l
2
) > F > mg(1 − x
2 0
/2l
2
).
3.1.17. x
0
= R
p2∆/(3N).
§ 3.2. Период и частота свободных колебаний
3.2.1. а. Положение равновесия груза находится на уровне центра колеса, F = −mΩ
2
x.
T = 2π/Ω. Скорость будет той же по модулю, но изменит направление на противоположное,
смещение изменит знак.
б. Ω =
pk/m, R = x
0 3.2.2. T = 2π
p∆l/g.
3.2.3. Период уменьшится вдвое.
3.2.4. Для случаев а, в: T = 2π
pm/(k
1
+ k
2
);
для б: T = 2π
pm(1/k
1
+ 1/k
2
). От расстояния между стенками не зависит.
3.2.5. l = 24,4 см.
3.2.6. T = 2π
pl/(g sin α).
296

♦
3.2.7. а. F = mg[(T
0
/T )
2
− 1].
♦
б. F = mg p(T
0
/T )
4
− 1, cos ϕ = (T /T
0
)
2
, здесь ϕ —
угол отклонения от вертикали нового положения равновесия.
3.2.8. r ≈ 30 км.
3.2.9. ∆t
1
= 2 мин; ∆t
2
≈ 7 с.
3.2.10. F = mω
2
l/2.
3.2.11. ω =
pqQ/(πε
0
ml
3
).
3.2.12. t = 42 мин.
3.2.13. t = 42 мин.
3.2.14. ω =
p2µg/l.
3.2.15
∗
. t = 22 с.
3.2.16
∗
. T = 2π

l
2
g
2
+ a
2
− 2ag cos α

1/4 3.2.17
∗
. T =
2π
Ω
p l/(R + l).
3.2.18. ω =
pk/m − Ω
2 3.2.19. ω =
pg(Ml − mx)/(Ml
2
+ mx
2
).
3.2.20. ω
2
= g/l + k/4m. Квадрат частоты возрастает на k/4m.
3.2.21. M = m(g/ω
2
R − 1).
3.2.22. а) ω
2
⊥
= g/
√
R
2
− l
2
,
б
∗
). ω
2
k
= g
√
R
2
− l
2
/R
2 3.2.23. ω =
pk/(2m).
3.2.24. ω =
pg/(2R).
3.2.25. ω =
pk/µ, где µ = m
1
m
2
/(m
1
+ m
2
).
3.2.26. ω
HD
/ω
H
2
=
√
3/2.
3.2.27
∗
. ω
2
/ω
1
=
p11/3.
3.2.28. T = 2π
pl(M + m)/(Mg).
3.2.29. а) t =
π
2
p m/(2k).
б) t =
3π
2
p m/(2k).
3.2.30. I = I
0
[(T /T
0
)
2
− 1].
3.2.31
∗
. ω =
p6k/m.
3.2.32
∗
. ω
1
=
pMg/(ml), ω
2
= 2ω
1
= 2
pMg/(ml).
3.2.33. T = 2π
pl/(2g).
3.2.34
∗
. T = 2π
pH/g.
3.2.35. ω =
pg/H.
3.2.36
∗
. ω =
q k/[m + πρlR
4
/r
2
].
3.2.37
∗
. m ≈ 900 т.
§ 3.3. Гармоническое движение
3.3.1. v = −Aω sin ωt, a = −Aω
2
cos ωt, F = −mω
2
x = −Amω
2
cos ωt, k = mω
2 3.3.2. а) x = 5 sin(3,13t).
б) x = 5 cos(3,13t). Смещение измеряется в миллиметрах, вре- мя — в секундах.
3.3.3. T = 0,06 с.
3.3.4. t = π/(4ω).
3.3.5. T = π
pl/g (1 + 1/
√
2 ).
3.3.6. T = π(
pR/g + pr/g ).
3.3.7
∗
. t = π/2
pl/g; не изменится.
3.3.8
∗
. t = π
pm/(2πR∆p).
3.3.9. Фокусируются на расстояниях l = π(n + 1/2)v
0
pm/k, где n — целое число.
297

3.3.10. Число пересечений равно целой части величины l
πv
0
p g/R.
3.3.11. T = (4/3)π
pl/g.
3.3.12. l = A cos[π(1 − T /T
0
)].
3.3.13. t =

π + 2 arctg r
mg
2k(H − h)

p m/k.
3.3.14. t =
π
2
p l/(µg) при v =6
√
µgl, t =
v
0
µg
+
p l/(µg) arccos v
0
v при v >
√
µgl, где v
0
=
p v
2
− µgl.
3.3.15
∗
. w = 2R/(πA) при A R, w = 1/3 при A = 2R. Увеличится.
3.3.16. u =
d
2πn p
k/m, где n — целое число.
3.3.17. t = T /4 + τ /2.
3.3.18. а) x =
mg k
(cos ωt − 1).
б) x =

mg k
+ l

(cos ωt − 1).
Ось x направлена верти- кально вверх, начало отсчета — в начальном положении.
3.3.19. v =
mv m + M
cos s
k m + M
t,
x =
mv pk(M + m)
sin s
k m + M
t.
3.3.20. С момента первого удара шарика о стенку в течение полупериода происходит сжатие и возвращение пружины в недеформированное состояние. Затем происходит второй удар в момент, когда пружина не деформирована, после чего шарики начинают двигаться с постоянной скоростью v. Период T = 2π
pm/(2k).
3.3.21
∗
. v
1
=
m
1
m
1
+ m
2
v

1 +
m
2
m
1
cos ωt

,
v
2
=
m
1
m
1
+ m
2
v(1 − cos ωt).
3.3.22. F
макс
= 2F ; τ = T /2.
3.3.24
∗
. A =
s
A
2 0
+
F
2
k
2
−
2A
0
F
k cos ωt
0
. При t
0
= π(2n + 1)ω, где n — целое число,
амплитуда наибольшая; при t = 2πn/ω — наименьшая.
3.3.25
∗
. x
0
= u pm/k.
3.3.26
∗
. При u > µg pm/k сразу начнутся гармонические колебания с амплитудой A =
µmg/k, при меньших u установятся колебания с амплитудой A = u pm/k.
3.3.27
∗
. µ = kl/(4M gn).
3.3.28. BC = g(M + m)/(M ω
2
).
3.3.29. F = −mω
2
x = −mω
2
A cos(ωt + ϕ), наибольшее по модулю значение силы mω
2
A
достигается в момент времени t = (πn − ϕ)/ω, где n — целое число.
3.3.30. При ω
2
A > g груз подскакивает, а его отрыв от поверхности мембраны происходит выше ее среднего положения.
3.3.31. A = F /(mω
2
).
3.3.32. h = A + g/(2ω
2
) + ω
2
A
2
/(2g) при ω
2
A > g.
3.3.33
∗
. A = (g/ω
2
)
√
π
2
n
2
+ 1, где n — целое число.
3.3.34
∗
. При амплитуде A 10
−11
см ускорение торца пластинки много больше уско- рения g = 0,8 м/с, которое может обеспечить трение, поэтому груз практически остается на месте, почти не влияя на частоту. При амплитуде A < 10
−11
см груз движется вместе с торцом и влияет на частоту заметным образом. v макс
= πg/(2ω) ≈ 1,57 · 10
−6
м/с.
3.3.36
∗
. u ср
= πv
0
tg α/(2µ).
§ 3.4. Наложение колебаний
3.4.1. Будет происходить наложение гармонических колебаний по горизонтали и вертика- ли с частотами ω
1
=
p2k
1
/m и ω
2
=
p2k
2
/m. При k
1 6= k
2
прямолинейное движение возможно только по вертикали и горизонтали.
298

3.4.2. Телу. отклоненному от положения равновесия на расстояние r, нужно в направле- нии, перпендикулярном направлению отклонения, сообщить скорость v = ωr, где ω =
pk/m.
T = 2π/ω.
3.4.3. а. Траектория — эллипс с полуосями A и v/ω. Пределы изменения расстояния от v/ω
до A.
б
∗
. Траектория — эллипс с полуосями s
1 2

A
2
+
v
2
ω
2
±
q
(A
2
+ v
2
/ω
2
)
2
− 4(xv/ω)
2

3.4.4. 2ϕ = π/6.
3.4.5
∗
. При 2ϕ = πn, где n — целое число, на экране виден отрезок; при 2ϕ = ±π/2+2πn —
окружность. Длина полуосей эллипса равна A
√
2 cos ϕ и A
√
2 sin ϕ.
3.4.6. Эллипс с осями по вертикали и горизонтали.
3.4.7. Отрезок, расположенный по диагонали экрана, превратится в вытянутый по этой диагонали эллипс, полуоси которого постепенно сравняются по длине. Затем появится окруж- ность, которая начнет превращаться в эллипс, вытянутый вдоль другой диагонали экрана,
и т. д. Через время 2π/Ω весь цикл повторится.

3.4.17
∗
. x макс
=
v(ω
1
+ ω
2
)[l(ω
2 1
− ω
1
ω
2
+ ω
2 2
) − g]
ω
1
ω
2
[l(ω
2 1
+ ω
2 2
) − 2g]
, L =
g
2
l(ω
1
ω
2
)
2 3.4.18. k = m(ω
2
− ω
2 0
)/2.
3.4.19. A
1,2
= (A ± B)/2;
ω
1,2
= 2π/τ ± π/T .
§ 3.5. Вынужденные и затухающие колебания
♦
3.5.1. См. рис.
♦
3.5.2. См. рис.
♦
3.5.3
∗
. См. рис. Если удары следуют друг за другом через промежутки времени T
0
, то амплитуда
A
n
=
q
[v
0
/ω + np/(mω)]
2
+ x
2 0
Если через промежутки T
0
/2, то амплитуда
A
n
=
q
[v
0
/ω + p/(mω)]
2
+ x
2 0
для нечетных n,
A
n
=
q v
2 0
/ω
2
+ x
2 0
для четных n,
ω = 2π/T
0 300

3.5.5. Около 63 см.
3.5.6. Выбоины на дороге со стороны въезда расположены реже, чем со стороны выезда.
3.5.7. До изменения курса и скорости катера происходила резонансная раскачка.
3.5.8. С ростом амплитуды увеличиваются потери за период. Когда они сравняются с приростом энергии из-за удара, дальнейшая раскачка прекратится.
3.5.9. N = bv
2 3.5.10
∗
d dt
kx
2 2
+
mv
2 2

= −bv
2
, отсюда m dv dt
= −kx − bv.
♦
3.5.11. См. рис. а: после одиночного толчка происходит постепенное затухание колебаний;
рис. б: при периодических толчках первоначально происходит раскачка колебаний, а затем,
когда прирост энергии порядка pv сравнивается с потерями за период, имеющими порядок bv
2
T , колебания устанавливаются.
3.5.14. При γω
0
≈ 1.
3.5.15. Скорость осциллятора меньше в n
2
, n
3
раз его начальной скорости.
3.5.16. За τ
2
энергия уменьшится вчетверо. За время τ
2
/2 энергия уменьшится вдвое.
♦
3.5.17. См. рис.
3.5.19. γ = 10 2
с
−1
, ω = π · 10 3
с
−1
. Погрешность при замене ω на ω
0
квадратично зависит от малой величины γ/ω
0 3.5.20. а. γ ≈ 10
−2
с
−1
б. γ
0
= γ/4.
3.5.21
∗
. а. Q = ω
0
/(2γ), n = Q/(2π).
б. Примерно в 50 раз при Q = 10 8
и только в
1,5 раза при Q = 10 9
3.5.22
∗
. v макс
=
p m
2 1 − exp(−2πγ/ω)
v макс
≈ 2p/m при
2πγ/ω 1;
v макс
≈ 2ωp/(2πγm)
при
2πγ/ω 1.
3.5.24. A = F
0
/(mω
2
).
3.5.26. а. A = F
0
/[m(ω
2
− ω
2 0
)], ω
0
=
pk/m. б. A = F
0
/[m(ω
2 0
− ω
2
)], ω
0
=
pk/m.
3.5.27
∗
. A = F
0
/[m(ω
2
− ω
2 0
)]. Величины B и ϕ подбираются так, чтобы в момент времени t = 0 выполнялись начальные условия x(0) = x
0
, v(0) = v
0 3.5.28
∗
. x
0
= F
0
/[m(ω
2 0
− ω)], v
0
= 0, тогда B = 0.
3.5.29
∗
. Дополнительное ускорение, связанное со свободными колебаниями, умноженное на массу осциллятора, равно дополнительной внутренней силе.
3.5.30. Проведем рассуждения на примере колебаний тела, прикрепленного к пружине.
Вынужденные колебания этого тела с частотой, меньшей собственной частоты, можно пред- ставить себе как свободные колебания на той же пружине тела с добавочной массой. Силу со
301

стороны этой массы можно рассматривать как вынуждающую. Она направлена против упру- гой силы, а значит, в направлении смещения. Вынужденные колебания с частотой, большей собственной частоты, можно представить себе как свободные колебания того же тела с при- крепленной к нему добавочной пружиной. Силу упругости со стороны этой пружины можно рассматривать как вынуждающую. Она направлена против смещения.
♦
3.5.32
∗
. См. рис. x(t) =
2F
0
m(ω
2 0
− ω
2
)
sin
ω − ω
0 2
t

sin
ω + ω
0 2
t

3.5.33
∗
. x(t) ≈
F
0
t m(ω + ω
0
)
sin
ω + ω
0 2
t

3.5.34
∗
. x(t) ≈
F
0
t
2mω
0
sin ω
0
t.
♦
3.5.35
∗
. При |ω − ω
0
| γ первоначально возникшие биения постепенно переходят в вы- нужденные колебания из-за уменьшения по закону e
−γt слагаемого, изменяющегося с частотой
ω
0
. При ω = ω
0
первоначальная раскачка колебаний с линейно возрастающей амплитудой плав- но уменьшается и устанавливаются вынужденные колебания. Характерное время установления равно времени затухания свободных колебаний τ = 1/γ, когда их амплитуда уменьшится в e раз.
3.5.36. а. F = −2Aγmω
0
sin (ω
0
t − ϕ).
б. A = −F
0
(2γmω
0
); в ω
0
/(2γ) раз.
3.5.37. γ = F
0
/(2x
0
ωm).
3.5.38. ω
0
= 550 с
−1
, γ = 50 с
−1
, Q = 5,5.
3.5.39. Около 10 5
с.
3.5.40. v = ω
0
λ/(2π).
3.5.41
∗
. Скорость частиц спустя времяt после вылета v =
F
0
mω
(1 − cos ωt); их средняя скорость v ср
= F
0
/(mω); наибольшая скорость V
макс
= 2F
0
/(mω) достигается этими частицами на расстоянии
F
mω
2
π(2n + 1) от источника, где n — целое число.
302

Скорость частиц, испущенных в момент времени t = π/ω, v =
F
0
mω
(cos ωt − 1); их средняя скорость v ср
= F
0
/(mω); наибольшая скорость v макс
= 2F
0
/(mω) достигается этими частицами по другую сторону от источника на том же расстоянии.
Скорость частиц, испущенных в момент t = π/(2ω), v =
F
0
mω
sin ωt; их средняя ско- рость v ср
= 0; наибольшая скорость этих частиц v макс
= F
0
/(mω) достигается на расстоянии
F
0
/(mω
2
) от источника.
3.5.42
∗
. Циклоида; средняя скорость v ср
= F
0
/(mω) направлена по оси x. Если при t = 0
v x
= −F
0
/(mω), а v y
= 0, то частица будет двигаться по окружности радиуса r = F
0
/(mω
2
).
§ 3.6. Деформации и напряжения. Скорость волн
3.6.1. F /k;
(N − 1)F /k.
3.6.2. Увеличится на 10
−14
м.
3.6.3. k = ES/L,
F = ES(∆L/L).
3.6.4. k = Ea.
♦
3.6.5. См. рис. l = 3 мм.
3.6.6. От 10 8
до −0,5 · 10 8
Па.
3.6.7. F = 5 · 10 4
Н.
3.6.8. На 1,2 · 10
−4
м.
3.6.9. ∆l = mal/(2ES).
3.6.10. w = Eε
2
/2 = σ
2
/(2E).
3.6.11
∗
. A
мин
=
π
2 6
Ea
4
l
3.6.12
∗
. ν = k/(k + 2k
0
).
3.6.13
∗
. ν = k/(k + 2k
0
).
3.6.14. Увеличивается. ν = 0,5.
3.6.15. κ = 3(1 − 2ν)/E.
3.6.16. Возрастает примерно на 30 м. Плотность воды больше на 50 кг/м
3
. Энергия в единице объема 2,5 · 10 6
Дж/м
3 3.6.17. Горизонтальная составляющая силы натяжения нити равна F ; по наклону негори- зонтального участка нити находятся вертикальные составляющие силы натяжения, по ним —
требуемые силы.
303

♦
3.6.18. См. рис. Силы, приложенные к точкам изгиба 1, 2, 3: F
1
= −F
0
b/L, F
2
= F
0
(b/L +
b/l), F
3
= −F
0
b/l.
3.6.19. u = −cε.
3.6.20. а. dp/dt = −ρc
2
ε.
б. F = F
0
ε; c =
pF
0
/ρ.
3.6.21. а. ε = −b/L, w = Eb
2
/(2L
2
); u = −cε = cb/L.
б. c =
pE/ρ.
3.6.22. а. dp/dt = ρcuS = −ρc
2
εS.
б. σ = −Eε, c =
pE/ρ.
3.6.23. 5 км/с. Мысленно выделим тонкий стержень в листе стали. Его поперечным сме- щениям «мешают» соседние участки листа. Жесткость такого стержня больше, чем стержня со свободной боковой поверхностью.
3.6.24. 550, 1400 и 340 м/с.
3.6.25. c
2
= ρ(P − P
0
)/[ρ
0
(ρ − ρ
0
)].
3.6.26
∗
. При сжатии, плавно убывающем к фронту волны, скорость звука больше у более удаленных участков, возмущения среды догоняют друг друга. В случае разрежения у дальних участков скорость звука меньше, они отстают, возмущение расплывается.
♦
3.6.27
∗
. См. рис. Скорость частиц и высота подъема уровня воды в бегущей волне связаны соотношением u/c = ∆h/h. Приравниваем скорость изменения импульса разности сил давления;
ρhcu = ρgh∆h. Отсюда c =
√
gh.
3.6.28. c =
ωl
2 arcsin(ω/2ω
0
)
. При ω ω
0
c = ω
0
l, ω
0
≈ 0,5 · 10 14
Гц.
§ 3.7. Распространение волн
3.7.1. p = ρcbS.
3.7.2. а. q p
= ∆ρc
2
б. v =
∆ρc
ρ
l
L
; x =
∆ρ
ρ
l.
3.7.3. P (t
0
− r/c), где r — расстояние до датчика.
3.7.4. Плотность потока импульса q p
= ρcu(x
0
− ct).
3.7.5. F = 1400 Н.
3.7.6. u = F /(S
√
Eρ), ε = −F /(SE); ρ
0
= ρ[1 + F /(SE)]. Импульс p = 0,5F τ , p
0
= F τ ;
энергия W = 0,5F
2
τ /(S
√
Eρ), W
0
= F
2
τ /(S
√
Eρ).
3.7.7. A = 12,5 · 10 3
Дж, K/A = 0,25.
304

♦
3.7.8. См. рис.; u =
c
1
c
2
c
1
+ c
2
F
⊥
F
k
, c
1
=
q
F
k
/ρ
0 1
, c
2
=
q
F
k
/ρ
0 2
3.7.9. Вертикальные силы F
1,3
= (ρv
2
− F )b/L и F
2
= 2(F − ρv
2
)b/L. При v →
pF/ρ силы,
действующие на струну, стремятся к нулю — струна «не противится» изгибу. Если силы со стороны колечек тем или иным образом фиксированы, то при v →
pF/ρ неограниченно растут деформации струны.
3.7.10. Скорости волн «изгиба» и возмущения совпадут, что приведет к резкому увели- чению амплитуды волн в шине. Это в свою очередь может привести к разрыву шины.
3.7.11. Скорость лодки и скорость волны, которую возбуждает лодка в реке, совпали.
3.7.13. Плоский фронт. Направление распространения образует угол α с нормалью к границе раздела сред (sin α = c/v).
3.7.14. α
1
= α, sin α
2
= (c
2
/c
1
) sin α.
3.7.15. Шум двигателей распространяется медленнее фронта ударной волны, создаваемой сверхзвуковым самолетом.
3.7.16. sin α
0
= c
1
/c
2 3.7.17. Изменится направление только преломленной волны:
sin α
2
=
c
2
sin α
1
c
1
+ v sin α
1
,
где c
1
и c
2
— скорости звука в неподвижном воздухе и воде, v — скорость потока воздуха, α
1
—
угол падения.
3.7.18. а. Более удаленные от берега участки фронта волны движутся с большей ско- ростью, чем менее удаленные. Поэтому угол между фронтом волны и берегом вблизи с´
амого берега уменьшается.
♦
б. См. рис.
♦
3.7.19. На границе раздела глубин возможно полное внутреннее отражение.
♦
3.7.20
∗
. См. рис., на котором показаны «звуковые лучи», которые ортогональны к волно- вым поверхностям; в направлении ветра звук идет почти вдоль поверхности Земли, а в проти- воположном направлении уходит от нее.
3.7.21. ν = ν
0
/(1 − v/c).
3.7.22. ν
1,2
= ν
0
(1 ± v/c); ν
3
= ν
0
[1 − (v/c) cos α].
20 305