Файл: Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.04.2024
Просмотров: 285
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
§ 3.8. Наложение и отражение волн
3.8.1. В первом случае (см. рис. а к задаче 3.8.1) кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия U = 2E. Во втором случае (см. рис. б к задаче 3.8.1) кинетическая энергия K = 2E, а потенциальная равна нулю.
♦
3.8.2. Разбегающиеся волны деформации с ε = −0,5 · 10
−3
♦
3.8.3. См. рис.
♦
3.8.4. См. рис. P = 2ρcωA cos ωt. Длина волны λ = 2πc/ω. Вблизи стенки — узел скорости и пучность давления. Первый узел давления отстоит от стенки на расстоянии λ/4.
3.8.5. См. рис. в условии задачи. В «неперевернутой» волне смещений знак деформации противоположен знаку деформации падающей волны.
♦
3.8.6. A = v
0
/2ω. На конце стержня — пучность скорости и узел давления. Первый узел скорости отстоит от конца стержня на расстоянии λ/4 (см. рис.).
3.8.7. При отражении волны от внутренней поверхности стекла в нем возникает область высокого напряжения (растяжения).
3.8.8
∗
. u = 2P/(ρc) = 250 м/с; l = cτ /2 = 1 см.
3.8.9
∗
. l =
1 2
L −
c
ω
arcsin
σ
σ
0
=
L
2
1 −
1
π
arcsin
σ
σ
0
l = L/2 при σ
0
σ, l = L/4 при
σ
0
≈ σ.
3.8.10. P = ρcu = 3,9 · 10 4
атм. Сила, приложенная к торцу стержня со стороны стенки,
порождает в нем волну сжатия. Доходя до свободного торца, она от него отражается. Отра- женная волна является волной растяжения. При наложении друг на друга отраженной волны и волны, порождаемой действием силы со стороны стенки, деформация исчезает, а скорость участков стержня меняет знак. Когда фронт отраженной волны доходит до стенки, весь стер- жень оказывается недеформированным и контакт его со стенкой прекращается. Время контакта
τ = 2l/c = 4 · 10
−4
с.
306
3.8.11. v l
= v, v
L
= v|1 − 2l/L|.
3.8.13
∗
. v
1
= 0, v
2
= vl
1
/l
2 3.8.14.
u отр u
пад
=
√
ρ
1
E
1
−
√
ρ
2
E
2
√
ρ
1
E
1
+
√
ρ
2
E
2
,
u пр u
пад
=
2
√
E
1
ρ
1
√
E
1
ρ
1
+
√
E
2
ρ
2 3.8.15. D ≈ 4ρ
1
c
1
/ρ
2
c
2
≈ 1,1 · 10
−3 3.8.16. При наличии прокладки коэффициент прохождения волны, принимаемой датчи- ком, увеличивается от 0,25 до 0,41. Появляются вторичные сигналы («эхо-сигналы»), следую- щие друг за другом с интервалом 2l/c, мощность которых убывает в геометрической прогрес- сии. При высокой частоте следования сигналов «эхо-сигналы» налагаются друг на друга, тогда подбором толщины прокладки можно добиться почти полного прохождения или отражения сиг- нала.
3.8.17. n =
ρ
1
c
1
− ρ
2
c
2
ρ
1
c
1
+ ρ
2
c
2
2
, L = 2lc
1
/c
2 3.8.18
∗
. L = 2lc
1
/c
2
. n = 1. Нет.
3.8.19. l
1
= 1,25 мм, l
2
= 2,5 мм.
§ 3.9. Звук. Акустические резонаторы
3.9.1. λ = c/ν = 6,6 м.
3.9.2. l = c/4ν = 82,5 см.
3.9.3. c = 2l/ν.
3.9.4. v
1
= 6,8 см/с, v
2
= 6,8 · 10
−8
м/с, x
1
= 0,11 мм, x
2
= 1,1 · 10
−11
м, P
1
= 3 · 10
−4
атм,
P
2
= 3 · 10
−12
атм.
3.9.5
∗
. I > 3 кВт/м
2 3.9.6
∗
. F = 2L
2
ρcv. При ω c/L происходит почти полное выравнивание давления в струе воздуха, поэтому излучение звука слабое.
3.9.7. E = 2πR
2
ω
2
A
2
ρc. Амплитуда давления в волне обратно пропорциональна расстоя- нию до центра шарика.
3.9.8
∗
. а. Две разбегающиеся волны: скорости u =
F
0 2Sρc cos ω
t ∓
x c
(отсчет координаты x начинается в сечении, где расположен источник действия силы F ) и деформации ε ∓ u/c.
б. Между источниками силы возникает стоячая волна:
u =
F
0
Sρc cos ω
t −
l
2c
cos
ωx c
;
вне источников — две разбегающиеся волны:
u =
F
0
Sρc cos
ωl
2c cos ω
t −
x c
(отсчет координаты x начинается в точке, расположенной посередине между источниками си- лы F ). Если на расстоянии l умещается четное число полуволн — мощность результирующей волны максимальная, если умещается нечетное число полуволн — мощность результирующей волны равна нулю.
3.9.9
∗
. При l = (1/4 + n)λ; при l = (3/4 + n)λ, λ = 2πc/ω.
3.9.10. L = 2λ, c = Lω/4π.
3.9.11
∗
. а. Узлы напряжений находятся на расстояниях от свободного конца, кратных λ/2.
F
0
=
σ
0
S
sin(2πL/λ)
307
♦
б. См. рис.; ω = 2πnc/(2L), где n — целое число, c = ωλ/(2π) — скорость звука. Можно.
3.9.12. ν
n
= n · 2500 Гц. На расстоянии 25 см от его концов.
3.9.13. Уменьшатся в два раза.
3.9.14
∗
. A =
A
0
| sin(ωL/c)|
τ =
2π
ω| sin(ωL/c)|
3.9.15. ν = c/(2L) = 8,25 Гц.
3.9.16. При изменении высоты столба воздуха, находящегося в сосуде, меняются его ре- зонансные частоты. Звук усиливается при уменьшении разности между частотой камертона и одной из резонансных частот столба воздуха.
3.9.17. 50, 250, 450 м и т. д.
3.9.18. ν
(1)
0
= 300 Гц;
ν
(2)
0
= 150 Гц.
3.9.19. Чтобы набор собственных частот инструмента был как можно богаче. Тон пони- жается с увеличением размера.
3.9.20. В звучание голоса вносят вклад собственные колебания воздуха. Соответствующие длины волн в гелиево-кислородной среде будут неизменны, а частоты возрастут при росте скорости звука. Общий тон голоса повысится. Частота же колебаний камертона не изменится,
1 ... 32 33 34 35 36 37 38 39 ... 44
той же частоты будет и звук.
3.9.21. F = 4l
2
ν
2
µ = 144 Н.
3.9.22. Около пучностей смещений на расстоянии l/6 или l/3 от конца струны.
3.9.23. Из-за трения между рукой и стержнем возникнут большие потери энергии. Они наименьшие для середины стержня, где имеется узел скоростей, наибольшие — для его концов,
где пучность скоростей.
3.9.24
∗
. Основные потери энергии связаны с переходом волны из одной среды (сапфир) в другую (воздух). Коэффициент прохождения
D = 4ρ
возд c
возд
/ρ
сапф c
сапф
= 0,7 · 10
−4
(см. задачу 3.8.15). Потери увеличатся примерно в 10 4
раз.
3.9.25
∗
. Мощность проходящей волны составляет одну и ту же долю от мощности пада- ющей независимо от того, идет звук из воздуха в воду или из воды в воздух, при этом доля эта весьма малая. Иное дело — давление. При отражении звуковой волны в воздухе на границе с водой образуется пучность давления, поэтому в проходящей в воду волне давление почти в два раза больше, чем давление в падающей звуковой волне. (Рассматриваем только нормальное падение волны на границу двух сред; в других случаях качественно картина та же.) Когда же звуковая волна падает на границу раздела из воды, то на этой границе образуется узел давле- ния, и в проходящей в воздух волне давление почти равно нулю. Это приближенное объяснение основано на том, что ρc для волны и воздуха отличаются во много раз (примерно в 330 раз).
Можно точно рассчитать изменение давления. Давление в проходящей волне в первой среде
P
пр1
=
2ρ
1
c
1
ρ
1
c
1
+ ρ
2
c
2
P
пад2
,
где P
пад2
— давление падающей волны во второй среде. При переходе из воды в воздух давление уменьшается примерно в 150 раз.
308
3.9.26
∗
. M =
√
mk
ω
ctg ω
r m k
Глава 4
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ
§ 4.1. Давление в жидкости
4.1.2. F
1
= 2000
√
2 Н.
F
2
= 0.
4.1.3
∗
. P =
4
√
3
F
a
2 4.1.4. Да.
4.1.5. F = 2πr
2
P .
4.1.6. F = π(R
2
− r
2
)P .
4.1.7
∗
. σ =
(R − ∆)
2
R
2
− (R − ∆)
2
P .
♦
4.1.8
∗
. Сила F
1
, действующая на единицу длины окружности поперечного сечения сосис- ки, меньше силы F
2
, действующей на единицу длины периметра ее продольного сечения.
4.1.9. На расстоянии l =
d
2 1
− d
2 3
d
2 1
+ d
2 2
+ d
2 3
a влево от центра палки.
4.1.10. h = 727 см.
4.1.11. F
н
= 4392 Н;
F
в
= 4314 Н;
F
б
= 4353 Н; F = 78 Н.
4.1.12
∗
. F = (1/12)ρga
2
(3
√
3 h −
√
2 a) + (1/4)P a
2
√
3.
4.1.13
∗
. Составляющие силы, параллельная и перпендикулярная дну сосуда:
F
k
= a
3
(ρ − ρ
0
)g sin α,
F
⊥
= a
3
ρ
0
g
ρ
ρ
0
cos α +
1 2
sin α +
h a
+ P a
2 4.1.14. x = H − (R
2
/r
2
)(1 + a/r)(ρ/ρ
0
− 1)h.
4.1.15. h = 85 см.
4.1.16. h = 10,1 м.
4.1.17
∗
. m = πR
3
ρ/3.
4.1.19
∗
. A = πr
2
h +
1 2
l r
2
R
2
ρgl.
♦
4.1.20
∗
. Давление P
r можно найти из условия равновесия выделенного на рисунке тонко- го цилиндрического объема: сила притяжения этого объема к центру планеты, равная произ- ведению массы объема на ускорение поля тяжести в центре объема, уравновешивается силой давления, действующей на нижнее сечение,
P
r
=
2 3
πγρ
2
(R
2
− r
2
),
P
0
=
2 3
πγρ
2
R
2 4.1.21. В направлении ускорения сосуда.
4.1.22. β = α − arctg µ.
♦
4.1.23
∗
. Давление P (x) можно найти из условия, что сила давления на внутреннее основа- ние выделенного на рисунке тонкого цилиндрического объема равна mω
2
y, где y — расстояние от центра цилиндра до оси вращения, m — масса выделенного объема:
P (x) = ρω
2
[(R − x)
2
− R
2
/4]/2.
♦
4.1.24. y =
1 2
ω
2
g x
2 20
∗
309
§ 4.2. Плавание. Закон Архимеда
4.2.1. P = mg/S + P
0 4.2.2. h = H(ρ − ρ
1
)/(ρ
2
− ρ
1
).
4.2.3. H = (m − ρ
1
hS)/[S(ρ
2
− ρ
1
)].
♦
4.2.4
∗
. Если при малом повороте параллелепипеда вокруг оси, проходящей через точку O,
момент сил, действующих на параллелепипед, будет направлен в сторону, противоположную направлению поворота, его положение устойчиво. Это условие выполняется при a
b
>
r
6
ρ
ρ
0
(1 − ρ/ρ
0
).
4.2.5. A = 34.
4.2.6. V = 147 см
3 4.2.7. ρ = 1,5 г/см
3 4.2.8. ρ
0 1
/ρ
0 2
= ρ
1
/ρ
2 4.2.9
∗
. x = 4m/[π(d
2 1
+ d
2 2
)].
4.2.10. F = 0,8 · 10
−3
Н.
4.2.11. F = (2/3)πr
3
ρg(1 + 2r/l).
4.2.12. F = 1,2 · 10
−2
Н.
4.2.13. ρ = 2/3 г/см
3 4.2.14. F = mg/
√
3.
4.2.15
∗
. а. F = ρgR(H + L/2)
2
б. F = ρgL(H + R)
2
/2.
4.2.17. m = 520 г.
4.2.18
∗
. m = (4/3)π(R
2
+ r
2
)
3/2
ρ.
4.2.19
∗
. m
1
= ρa
3
(6 + 5 tg α + tg
3
α)/24;
m
2
= ρa
3
(6 − 5 tg α − tg
3
α)/24.
4.2.20
∗
. T =
√
3 mg/72.
4.2.21. а. Q = 1 кДж. б
∗
. Q = πr
2
ρghH
1 +
1 2
h
H
ρ
ρ
0
1 −
r
2
R
2
4.2.22. Q = (4/3)πR
3
ρgH = 410 Дж, ρ — плотность воды.
4.2.23. A = 2,5 · 10 6
Дж.
4.2.24
∗
. а. Сможет.
ρ[г/см
3
] =
1 +
∆
2R − 2H − 2∆ + l
1 −
∆
l
4.2.25
∗
. F = (4/3)πr
3
(R − r)ρω
2 4.2.26. ω =
p(g tg α)/[R − (l + r) sin α].
4.2.27. F ≈ (m
1
− m
2
)ω
2
R/2.
§ 4.3. Движение идеальной жидкости
4.3.1. 28,5; 27,0; 25,6 м/с. На двенадцатый этаж.
310
4.3.2. ∆T = 2ghρS.
4.3.3. N = ρV [gh + V
2
/(2S
2
)].
4.3.4. а. Из-за разницы давлений в сечениях 1 и 2 на жидкость, находящуюся между этими сечениями, в направлении ее движения действует результирующая сила давления, б´
ольшая силы, действующей со стороны участка A.
б. F = ρv
2
S
1
(1 − S
2
/S
1
)
2
/2.
♦
4.3.5. Давление в сосуде P
с
= P
0
+ ρgx, давление в трубке P
т
= P
0
+ ρg(x − H).
4.3.6. F =
√
2 (P + pv
2
)S.
4.3.7. v =
p2F S/[ρ(S
2
− s
2
)].
4.3.8. x = 5l.
4.3.9. h =
1 2g
"
v
2
−
mg
ρvSN
2
#
4.3.10
∗
. a =
ρ − ρ
0
ρ + ρ
0
r
2
/(R
2
− r
2
)
g,
∆P =
ρR
2
ρ(R
2
− r
2
) + ρ
0
r
2
ρ
0
gh.
4.3.11
∗
. Размеры продольного сечения струи увеличатся в 2 раза. Скорость подобных участков в струе увеличится в
√
2 раз. Поэтому сброс увеличится в 2
√
2 раза.
4.3.12
∗
. Струи будут подобны. Все размеры струи при понижении уровня воды уменьшат- ся в H/h раз, скорость подобных участков в струе уменьшится в pH/h раз. Поэтому скорость понижения уровня уменьшится в (H/h)
2
pH/h = (H/h)
5/2
раз.
♦
4.3.13. Из закона сохранения энергии следует, что скорость выделенных на рисунке участ- ков 2, 3 струи на плоскости будет равна скорости участка 1 v, а из закона сохранения импульса следует, что h
1
= h(1 + cos α)/2,
h
2
= h(1 − cos α)/2.
♦
4.3.14
∗
. Нужно перейти в систему отсчета, в которой пластины движутся вдоль своих плоскостей. В этой системе пластины будут двигаться как две встречные струи, изображенные на рисунке а. Их движение над и под плоскостью OO
0
повторяет движение струи, рассмотренной в задаче 4.3.13. Затем нужно вернуться в прежнюю систему отсчета (б).
v
1
= v tg
α
2
, v
2
=
v ctg
α
2 311
♦
4.3.15
∗
. Конус; cos α = (R
2
− r
2
)/(R
2
+ r
2
).
4.3.16
∗
. Задача сводится к задаче 4.3.15, если перейти в систему отсчета, в которой встречные скорости брони и струи металла будут равны по модулю. v = 1 км/с.
♦
4.3.17
∗
. h = l cos(t pg/l ). P = xρg/2 в вертикальной части трубки. P = yρg/2 в горизон- тальной части трубки.
4.3.18
∗
. a = g(s/S)
2 4.3.19. E = P V .
4.3.20
∗
. v =
s
2 3
P
ρ
(R
3
/r
3
− 1), ρ — плотность воды.
4.3.21
∗
. Если атмосферное давление не в состоянии сообщить воде скорость, равную ско- рости кромки винта v, то за кромкой может появиться полость; v > 14 м/с.
§ 4.4. Течение вязкой жидкости
♦
4.4.1. Сила, с которой слои жидкости действуют друг на друга через единицу площади поверхности раздела AA
0
, F = η
dv dx
. При стационарном течении результирующая сила, дей- ствующая на слой жидкости между любыми поверхностями раздела AA
0
и BB
0
, равна нулю.
Поэтому градиент скорости везде одинаков и равен v
0
/h, а скорость на расстоянии x от непо- движной плоскости равна v
0
x/h, 0 < x < h, F = ηv
0
/h.
4.4.2. v =
P
2η
x(h − x), 0 < x < h;
Q =
P
12η
h
3 4.4.3
∗
. а. Q =
h
3
ρg
3η
sin α.
б. α ≈ 8 · 10
−8
рад.
4.4.4
∗
. v = 2mg∆
2
/(πr
2
hη).
♦
4.4.5. а) Результирующая сила давления на торцы выделенного цилиндрического объема жидкости P · πx
2
уравновешивается силой вязкого трения 2πxlη
dv dx
. Поэтому dv dx
= −
xP
2lη
, 0 <
x < R.
б
∗
). v =
P
4ηl
(R
2
− x
2
). Объем жидкости, перетекающей в единицу времени, Q =
πR
4
P
2
/(8ηl).
312
4.4.6. t = T .
4.4.7
∗
. t = 32ηl/(ρgd
2
sin α).
♦
4.4.8. а) Момент сил, действующих по цилиндрической границе раздела между слоями жидкости, не зависит от радиуса цилиндра x, так как только в этом случае результирующий момент сил, действующих на жидкость между двумя цилиндрическими поверхностями, равен нулю и жидкость движется стационарно. Поэтому
M
x
= −x · 2πx · ηx dω
ж dx
= M,
dω
ж dx
= −
M
2πηx
3
,
r < x < R.
б
∗
. ω
ж
M
4πη
1
x
2
−
1
R
2
,
ω
M
4πη
1
r
2
−
1
R
2
4.4.9. F = P
2
S
2
− P
1
S
1
− ρv
2 1
S
1
(1 − S
1
/S
2
).
§ 4.5. Поверхностное натяжение жидкости
4.5.3. r ≈ 0,5 см.
4.5.4. F = 2(σ
1
− σ
2
)l.
4.5.5. σ = k(2πR − l)/(2R).
4.5.6. а. A ≈ 2V σ/∆.
б. n ≈ 4.
4.5.7. a = 2,1 см.
4.5.8. σ = rρgh/2.
4.5.9. Меньше 0,2 см/с
2
♦
4.5.10
∗
. На рисунке изображены силы, действующие на участок пластины единичной дли- ны (двойные стрелки), и силы, действующие на участки боковой поверхности жидкости еди- ничной длины (жирные стрелки): F
x
— искомая сила, mg — сила тяжести, действующая на пластину, F
0
= ρgxl и F
k
= ρgx
2
/2 — силы, вызываемые отрицательным давлением жидкости,
σ — поверхностное натяжение. Из условия равновесия боковой поверхности жидкости следует,
что
F
k
= ρgx
2
/2 = σ − σ cos θ,
cos θ = 1 − ρgx
2
/(2σ).
Из условия равновесия пластины имеем
F
x
= F
0
+ mg + 2σ sin θ = mg + ρgx(l + 2
q
σ/ρg − x
2
/4 ).
313