O 1 1 X

МОДЕЛЬ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА


 х = ( х₁, х₂, …, х_п ), (22)

Функции полезности
На множестве потребительских наборов Х определена функция
и ( х ) = и ( х₁ , х₂ , …, х_п ) , (23)
Свойства функции полезности в предположении о ее дифференцируемости.
1. u /x_i = u_i 0, i = 1, 2, …, n. (24)

2. ² u / x²_i = u^_ii < 0, i = 1, 2, …, n, (25)
Предельная полезность любого товара уменьшается с ростом его потребления. Это утверждение называется законом Госсена
3. ² u / ( x_ix_j ) = u^_ij > 0, i  j, ( i, j = 1, 2, …, n ). (26)
Это свойство означает, что предельная полезность каждого продукта увеличивается с ростом количества другого продукта.
Несколько видов функций полезности, удовлетворяющих принятым допущениям.
а) Неоклассическая:
,  > 0, + < 1. (27)
б) Квадратическая:
(28)
в) Логарифмическая функция:
(29)


Линии безразличия

u ( x₁ , x₂ ) = const . (30)


Основные свойства линий безразличия.
1. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются. Это следует из вида их определения (30).

9. 
   Линии безразличия убывают. Рассмотрим уравнение этой линиив виде
   

x₂

---

=  ( x₁ ) , (31)
которое можно получить из (30).

d x₂ / d x₁ = - u^₁ / u^₂(32)
3. Линии безразличия выпуклы вниз. Действительно, вторая производная функции (31), согласно правилу дифференцирования частного, вычисляется по формуле:
d ( d x₂ / d x₁ ) / d x₁ = d² x₂ / = - ( u^₁₁ u^₂ - u^₂₁ u^₁ ) / ( u^₂ )².

Характерный вид линий безразличия функции полезности показан на рис. 2.

Из формулы (32) следует важное приближенное равенство
-x₂ /x₁ u₁ / u₂.
Пример 1.
Если предельная полезность первого товара равна 6, а второго товара – 2, то при уменьшении потребления первого товара на единицу нужно увеличить потребление второго товара на 3 единицы при том же уровне удовлетворения потребностей.


Рис. 2

Х₂



С₁₂₃₄





C₄
C₃
C₂

C₁




X₁


Бюджетное множество

Поскольку граница G определяется соотношением px = I, то бюджетное множество В описывается системой следующих неравенств:
, , (33)
или в развернутой форме:
х_i i=1,2,…,n), p₁x₁+p₂x₂+…+p_nx_n I (34)

Для случая набора из двух товаров бюджетное множество представляет собой треугольник в системе координат х₁Ох₂, ограниченный координатными осями и прямой р₁х₁+р₂х₂= I (рис.3).

Рис. 3

X₂

I/p₂













p₁x₁ + p₂x₂ = I

1   2   3   4

---

O I/p₁ X₁

Задача потребительского выбора
(35)
Формальный вид задачи потребительского выбора – ищется точка максимума (35) функции полезности на бюджетном множестве
(36)

Рассмотрим задачу потребительского выбора для случая набора для двух товаров: найти набор такой что
(37)
Поиск оптимального набора можно интерпретировать графически как последовательный переход на линии безразличия более высокого уровня полезности (рис.4)- вправо-вверх - до тех пор, пока эти линии имеют общие точки с бюджетным множеством.
(38)
(39)

.
Последнее уравнение в (39) называется уравнением связи.


Рис. 4


Х₂









х^

---

₂




O x^₂ X₁

Решение задачи потребительского выбора

Функция Лагранжа
(40)
где  - неопределенный множитель Ланранжа. Экономический смысл этого множителя: если цены и доход  меняются в одно и то же число раз , то функция полезности, а значит, и решение задачи потребительского выбора не изменится. Далее ищется точка максимума функции L: все три частные производные этой функции приравниваются к нулю, т.е. получаем систему трех уравнений:
L / х₁ = u^₁ - p₁ = 0,

L / х₂ = u^₂ - p₂ = 0,

L /  =p₁x₁ - p₂x₂ – i = 0.

И




сключив из этих уравнений неизвестную , получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными x₁ и x₂ :
(41)

Решение (x₁*,x₂*) системы уравнений (41) является решением задачи потребительского выбора.

В многомерном случае (39) также используется метод Лагранжа имеет вид:




(42)

Далее, согласно условиям максимума , составляется система из (n+1) уравнений относительно (n+1) неизвестных и :
(43)




Исключая из этих уравнений неизвестную , получаем систему n уравнений относительно n неизвестных – координат точки условного максимума :

---

Решение этой системы уравнений – точка условного экстремума - является решением общей задачи потребительского выбора.

Функции спроса

Решение задачи потребительского выбора называется точкой спроса. Эта точка спроса зависит от цен и дохода I. Иными словами, точка спроса является функцией цен и дохода, т.е. функцией спроса. В свою очередь, функция спроса представляет собой вектор-функцию п + 1 аргумента (в общем случае п цен р₁, р₂,…, р_п, и дохода I), состоящую из п компонент:
х^ = х^ (р₁, р₂,…, р_п, , I),
Таким образом, функция спроса – это набор п функций, каждая из которых зависит от п + 1 аргумента:
х^₁ = х^₁ (р₁, р₂,…, р_п, , I),
х^₂ = х^₂ (р₁, р₂,…, р_п, , I),
……………………………(45)
х^_п = х^_п (р₁, р₂,…, р_п, , I.
Функции (45) называются функциямиспроса соответствующих товаров.

Пример 2.

Для набора из двух товаров на рынке, известных ценах на них р₁ и р₂ и доходе I найти функции спроса, если функция полезности имеет вид u ( x₁ , x₂ ) = x₁^0,5 x₂^0,5 .

Решение.

Дифференцируя данную функцию полезности, получаем
u^₁ = 0,5 x₂^0,5 / x₁^0,5, u^₂ = 0,5 x₁^0,5 / x₂^0,5.
Далее, подстановка в формулы (41) приводит к системе уравнений:
x₂ / x₁ = p₁ / p₂ ,

p₁

---

Смотрите также файлы

• Прокурорский.docx

• Учебного модуля мдк Для того, чтобы разработать программную систему, приносящую реальные выгоды.docx

• Бизнеспланирование Группа Кн18М611 Студент В. А. Панина москва 2022.docx

• Учебное пособие донецк2010.pdf

• Практическое занятие по темам 46 в практическом занятии по темам 46 предполагается проверка качества знаний, полученных после изучения лекционного материала, посредством решения задач.docx