Файл: Выделить и формально описать наиболее существенные связи экономических объектов.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.05.2024
Просмотров: 42
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
x1 + p2 x2 = I .
Из первого уравнения следует, что затраты денежных средств на оба вида товаров должны быть одинаковыми, т.е. p1 x1 = p2 x2 . Следовательно, из второго уравнения получаем, что функции спроса имеют вид:
x*1 = I / 2p1 , x*2 = I / 2p2 .
Иными словами, в данном случае расход на каждый товар составляет половину дохода потребителя, а количество приобретенного товара равно затраченной на него сумме, поделенной на цену товара.
Модель Р. Стоуна
Модель потребительского спроса с функцией полезности мультипликативного вида (неоклассическая)
xi > ai , ai > 0, i = 1, 2,,…,n (46)
Для приобретения минимального набораа необходимо, чтобы доход был больше стоимости этого набора, т.е.
(47)
Добавив к целевой функции (46) бюджетные ограничения, получим задачу потребительского выбора (36), называемую моделью Р. Стоуна. Приравняв нулю частные производные функции Лагранжа L по всем переменным, получим систему п + 1 уравнений:
Из соотношений первого вида получаем выражения для неизвестных хi :
(48)
у
множим каждое из уравнений (48) на λpi и просуммируем их по i ; получаем:
Отсюда отношение u (x ) / λ с учетом условия связи имеет вид:
Подставляя это выражение в (26.27), получаем в окончательном виде формулы для функции спроса:
(49)
Полученные функции спроса легко интерпретировать по последовательности действий:
Частный случай модели Стоуна.
(50)
В этом случае из (26.28) получаем:
(51)
Уравнение Слуцкого.
Функции спроса (45). При неизменной величине функции полезности в точке локального рыночного равновесия
u(x1*,x2*,…,xn*) = const (52)
(на гиперповерхности уровня этой функции) приращение функции xi* , обусловленное изменением только величины цены pj , равно:
Поделив обе части на и переходя к пределу при получаем:
(53)
П оскольку I= p1x1* + p2x2* + …+ pnxn* , то при изменении цены pj на величину приращение дохода I составит:
(54)
Как следствие из (52) получаем, что
(55)
Так как дифференциал от функции (52) равен нулю, имеем соотношение:
(56)
В точке локального рыночного равновесия, в силу (26.23), имеем соотношения пропорциональности первых производных функции полезности и соответствующих цен:
После подстановки этих соотношений в (44) и сокращения обеих частей на сомножитель , получаем:
(57)
После деления соотношения (57) на p j и предельного перехода при p j 0 получаем, что
Подстановка этих уравнений в (55) приводит к формулам:
т.е. в точке рыночного равновесия относительное изменение дохода, вызванное изменением цены на товар, равно количеству этого товара. Подставляя это формулы в формулы (26.32), окончательно получаем:
(58)
Поскольку первое слагаемое в правой части представляет собой действие эффекта изменения цены при неизменном доходе на компнсационную добавку величины продукта, то это слагаемое называется компенсационным. Само же уравнение Слуцкого получается при переносе второго слагаемого в другую часть и используется в следующей форме:
(59)
Экономический смысл уравнения Слуцкого (59).
Левая часть уравнения (59) представляет собой “отклик” точки спроса при неизменном доходе на изменение цены j-го товара. Второе слагаемое в правой части описывает действие эффекта дохода: это произведение, в котором одним из сомножителей является “отклик” точки спроса на изменение дохода I, а другим – величина спроса на j-й товар. Первое слагаемое в правой части (59) интерпретируется следующим образом: при изменении цены j-го товара на p j при неизменных остальных ценах и доходе изменяются точка спроса и максимальная полезность; изменим доход так, чтобы значение максимальной полезности осталось неизменным – это и является компенсацией.
К уравнению Слуцкого присоединяется ряд соотношений, которые получаются в процессе его вывода. Перечислим их, поскольку они носят четкий экономический характер. Часть их мы приводим ниже без вывода. Итак, в точке локального рыночного равновесия (45) справедливы следующие соотношения.
p
1 x*1 + p 2 x*2 + … + p n x*n = 0 .
Это уравнение связывает прежние цены с приращениями товаров, что придает сложный характер изменению спроса: спрос на одни блага растет, на другие он падает.
(60)
Это соотношение означает, что при увеличении цен компенсация дохода должна быть положительной, а при уменьшении цен - отрицательной, что достаточно очевидно.
.
(61)
3
Это означает, что при повышении цены спрос на товар падает даже при компенсации дохода.
4. (62)
Это уравнение показывает, что часть слагаемых суммируется со знаком плюс, а часть-со знаком минус. Товар называется “ценным”, если при повышении дохода спрос на него растет, в противном случае товар является малоценным. Из (62) следует, что не все слагаемые отрицательны, т.е. существуют ценные товары. Например, высококачественные продукты и предметы роскоши являются ценными, маргарин-малоценным. При повышении дохода употребление высококачественного масла возрастает.
5. (63)
ЭЛЕМЕНТЫ УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ В ЭКОНОМИКЕ
Оптимизация портфелей банка
Математическая постановка задачи оптимального планирования системы портфелей банка заключается в следующем. Требуется найти неизвестные векторы активов и пассивов банка – соответственно
A = ( A1 , A2 , … , An ) и L = ( L1 ,L2, … , Ln ),(64)
максимизирующее линейную форму прибыли системы портфелей:
(65)
В рамках сформулированной задачи можно выделить управление активами банка, суть которого выражается в следующем. Нужно максимизировать целевую функцию
MA = p fM ( rM , rA , rB , … , W ) max дохода , (66)
При формировании портфеля активов встает еще одна задача, имеющая противоположную цель, - минимизация риска, т.е. на допустимом множестве решений имеется такое, чтобы помимо цели (66) целевая функция удовлетворяла бы также условию:
риска. (67)
Портфельный анализ
Метод, применяемый для выбора наиболее желательного портфеля, использует кривые безразличия. Иными словами, для инвестора существует функция полезности, зависящая от двух аргументов – ожидаемой доходности портфеля rp и стандартного отклонения (меры риска) р:
(68)
Все портфели, лежащие на одной линии безразличия или линии уровня функции (68)
(69)
я
вляются равноценными для инвестора. Линии безразличия отражают отношение инвестора к рику и доходности портфеля и представляют собой кривые в координатах (рис. 4). Инвестор считает любой портфель, лежащий на линии безразличия выше и левее, более привлекательным, чем портфели, лежащие на линии безразличия, которая ниже и правее.
Из первого уравнения следует, что затраты денежных средств на оба вида товаров должны быть одинаковыми, т.е. p1 x1 = p2 x2 . Следовательно, из второго уравнения получаем, что функции спроса имеют вид:
x*1 = I / 2p1 , x*2 = I / 2p2 .
Иными словами, в данном случае расход на каждый товар составляет половину дохода потребителя, а количество приобретенного товара равно затраченной на него сумме, поделенной на цену товара.
Модель Р. Стоуна
Модель потребительского спроса с функцией полезности мультипликативного вида (неоклассическая)
xi > ai , ai > 0, i = 1, 2,,…,n (46)
Для приобретения минимального набораа необходимо, чтобы доход был больше стоимости этого набора, т.е.
(47)
Добавив к целевой функции (46) бюджетные ограничения, получим задачу потребительского выбора (36), называемую моделью Р. Стоуна. Приравняв нулю частные производные функции Лагранжа L по всем переменным, получим систему п + 1 уравнений:
Из соотношений первого вида получаем выражения для неизвестных хi :
(48)
у
множим каждое из уравнений (48) на λpi и просуммируем их по i ; получаем:
Отсюда отношение u (x ) / λ с учетом условия связи имеет вид:
Подставляя это выражение в (26.27), получаем в окончательном виде формулы для функции спроса:
(49)
Полученные функции спроса легко интерпретировать по последовательности действий:
-
В начале приобретается набор а необходимых количеств товаров.
-
Затем рассчитывается оставшаяся сумма денег.
-
Это сумма денег распределяется пропорционально весам “ценности” i товаров.
-
Поделив распределенные на приобретение каждого товара суммы денег на соответствующие цены этих товаров, получаем приобретаемое сверх минимума аi количество i-го товара.
Частный случай модели Стоуна.
(50)
В этом случае из (26.28) получаем:
(51)
Уравнение Слуцкого.
Функции спроса (45). При неизменной величине функции полезности в точке локального рыночного равновесия
u(x1*,x2*,…,xn*) = const (52)
(на гиперповерхности уровня этой функции) приращение функции xi* , обусловленное изменением только величины цены pj , равно:
Поделив обе части на и переходя к пределу при получаем:
(53)
П
оскольку I= p1x1* + p2x2* + …+ pnxn* , то при изменении цены pj на величину приращение дохода I составит: (54) Как следствие из (52) получаем, что
(55)Так как дифференциал от функции (52) равен нулю, имеем соотношение:
(56)
В точке локального рыночного равновесия, в силу (26.23), имеем соотношения пропорциональности первых производных функции полезности и соответствующих цен:
После подстановки этих соотношений в (44) и сокращения обеих частей на сомножитель , получаем:
(57)
После деления соотношения (57) на p j и предельного перехода при p j 0 получаем, что
Подстановка этих уравнений в (55) приводит к формулам:
т.е. в точке рыночного равновесия относительное изменение дохода, вызванное изменением цены на товар, равно количеству этого товара. Подставляя это формулы в формулы (26.32), окончательно получаем:
(58)
Поскольку первое слагаемое в правой части представляет собой действие эффекта изменения цены при неизменном доходе на компнсационную добавку величины продукта, то это слагаемое называется компенсационным. Само же уравнение Слуцкого получается при переносе второго слагаемого в другую часть и используется в следующей форме:
(59)
Экономический смысл уравнения Слуцкого (59).
Левая часть уравнения (59) представляет собой “отклик” точки спроса при неизменном доходе на изменение цены j-го товара. Второе слагаемое в правой части описывает действие эффекта дохода: это произведение, в котором одним из сомножителей является “отклик” точки спроса на изменение дохода I, а другим – величина спроса на j-й товар. Первое слагаемое в правой части (59) интерпретируется следующим образом: при изменении цены j-го товара на p j при неизменных остальных ценах и доходе изменяются точка спроса и максимальная полезность; изменим доход так, чтобы значение максимальной полезности осталось неизменным – это и является компенсацией.
К уравнению Слуцкого присоединяется ряд соотношений, которые получаются в процессе его вывода. Перечислим их, поскольку они носят четкий экономический характер. Часть их мы приводим ниже без вывода. Итак, в точке локального рыночного равновесия (45) справедливы следующие соотношения.
-
Уравнение (57):
p
1 x*1 + p 2 x*2 + … + p n x*n = 0 .
Это уравнение связывает прежние цены с приращениями товаров, что придает сложный характер изменению спроса: спрос на одни блага растет, на другие он падает.
-
Из уравнения (54) с учетом (57) получаем:
(60)
Это соотношение означает, что при увеличении цен компенсация дохода должна быть положительной, а при уменьшении цен - отрицательной, что достаточно очевидно.
. (61)
3
Это означает, что при повышении цены спрос на товар падает даже при компенсации дохода.
4. (62)
Это уравнение показывает, что часть слагаемых суммируется со знаком плюс, а часть-со знаком минус. Товар называется “ценным”, если при повышении дохода спрос на него растет, в противном случае товар является малоценным. Из (62) следует, что не все слагаемые отрицательны, т.е. существуют ценные товары. Например, высококачественные продукты и предметы роскоши являются ценными, маргарин-малоценным. При повышении дохода употребление высококачественного масла возрастает.
5. (63)
ЭЛЕМЕНТЫ УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ В ЭКОНОМИКЕ
Оптимизация портфелей банка
Математическая постановка задачи оптимального планирования системы портфелей банка заключается в следующем. Требуется найти неизвестные векторы активов и пассивов банка – соответственно
A = ( A1 , A2 , … , An ) и L = ( L1 ,L2, … , Ln ),(64)
максимизирующее линейную форму прибыли системы портфелей:
(65)
В рамках сформулированной задачи можно выделить управление активами банка, суть которого выражается в следующем. Нужно максимизировать целевую функцию
MA = p fM ( rM , rA , rB , … , W ) max дохода , (66)
При формировании портфеля активов встает еще одна задача, имеющая противоположную цель, - минимизация риска, т.е. на допустимом множестве решений имеется такое, чтобы помимо цели (66) целевая функция удовлетворяла бы также условию:
риска. (67)
Портфельный анализ
Метод, применяемый для выбора наиболее желательного портфеля, использует кривые безразличия. Иными словами, для инвестора существует функция полезности, зависящая от двух аргументов – ожидаемой доходности портфеля rp и стандартного отклонения (меры риска) р:
(68)
Все портфели, лежащие на одной линии безразличия или линии уровня функции (68)
(69)
я
вляются равноценными для инвестора. Линии безразличия отражают отношение инвестора к рику и доходности портфеля и представляют собой кривые в координатах (рис. 4). Инвестор считает любой портфель, лежащий на линии безразличия выше и левее, более привлекательным, чем портфели, лежащие на линии безразличия, которая ниже и правее.