Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.06.2024

Просмотров: 158

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

С потребностями геофизики, а именно, гравитационной и магнит­ ной разведки, связано возникновение и другой обратной задачи - теории потенциала. Общая ее формулировка заключается в следующем: вне некоторой области, ограниченной поверхностью 3 , задан потен­ циал Юбъемных масс, простого слоя, либо магнитный), порожденный телом с некоторой плотностью, лежащим внутри S% требуется опреде­ лить положение, форму и плотность тела. К такой постановке приво­ дит геофизическая задача об определении положения и формы, а так­ же плотности (либо намагниченности) тела, лежащего в однородной среде.

Рассмотрим простейшую математическую модель, связанную с об­ ратной задачей ньютоновского потенциала. Пусть в безграничном трех­

мерном пространстве

аг= (сг*, хг-

аг3)

внутри поверхности

3

нахо­

дится тело с плотностью fffl.

 

Обозначим носитель

функции

р(х)

(то есть множество точек, где

р(^4°

)

через

 

. Поле

потен­

циала тяготения

к(х)

, создаваемое

этим телом,

удовлетворяет

дифференциальному уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hu=

doo(c^acl

и}=

- 47гр(т).

 

 

(.13)

Обратная задача заключается в отыскании такой

функции

р(зс)

с носителем,

содержащимся внутри 3,

что

потенциал

тяготения,

со­

здаваемый

телом

с плотностью

р(х)

, принимает в точках вне

по­

верхности

S

заданные

значения. Так как

решение уравнения

(13)

находится в явном виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«

Ч

Ш

 

•

 

 

 

 

 

то исследование этой обратной задачи сводится к исследованию ин­ тегрального уравнения первого рода ( 1 4 ) , при заданной функции ц(х) для точек х , лежащих вне 3. Отметим, что эта задача не имеет единственного решения без дополнительных ограничений. Свя­

зано это с тем, что тела, имеющие разную плотность и разный носи­ тель этой плотности, могут создать одно и то же поле тяготения (например, тело с малым носителем и большой плотностью и тело с большим носителем и меньшей плотностью). Поэтому обычно считают заданной либо плотность тела (и тогда задача сводится к отыска­ нию носителя), либо заданным носитель при неизвестной плотности. Первая теорема единственности для обратной задачи ньютоновского потенциала в предположении, что плотность тела постоянна и зада-

14

на,

была установлена

п.с,Новиковым [Ю8] . в дальнейшем исследова­

нием обратной задачи теории потенциала занимались А.Н.Тихонов

[153] , Л.Н.Сретенский

[143-145] , В.К.Иванов [54 - 56] , М.М.Лаврен­

тьев

[74,76]

, И.М.Рапопорт [120,121] , А.И.Прилепко [ I I 4 - I I 8 ] ,

В.Н.Страхов

[150,151]

, работами которых теория обратной задачи

потенциала была существенно продвинута. В настоящее время разра­ ботаны и численные методы решения этих задач. В математическом отношении, так как решения соответствующих прямых задач находят­ ся в ввде интегралов, исследование обратных задач сводится к ис­ следованию интегральных уравнений первого рода.

Некоторые вопросы астрофизики и квантовой механики привели в следующей задаче: дан спектр дифференциального оператора второго

порядка

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

-

-

t

 

+

< 2 ( x )

 

 

 

 

 

( I 5 )

требуется найти

этот

оператор.

Более точно,

в регулярном

случае

конечного

отрезка

[а,Ь]

она

ставится следующим

образом;

извест­

ны собственные

числа

Л к

дифференциального

оператора

(15)

с кра­

евыми условиями вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у 7а) -A-yft) =0,

 

 

 

 

 

(16)

 

 

 

 

 

уЧЬ) +

НуШ = О,

 

 

 

 

 

(17)

причем h

,И

-

действительные

числа; требуется,

зная набор

соб­

ственных

чисел

 

Л„

,

найти

 

<j/ac)

на

отрезке

[а,Ы.

Напомним,

что

собственными функциями дифференциального оператора

L

при усло­

виях ( 1 6 ) , (.17)

называются ненулевые решения уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

Ly^?tff

 

 

 

 

 

 

 

 

(18)

удовлетворяющие

условиям

( 1 6 ) ,

(18) . Те значения

Я

, при которых

существуют эти собственные функции, носят название собственных

значений

(или

чисел)

оператора

L

. В курсах

по спектральной

тео­

рии дифференциальных операторов доказывается, что в случае, когда

функция

непрерывна на конечном отрезке

[а, Ь],

собственные

числа задачи (16)-(18) являютоя вещественными, они расположены

 

дискретно и имеют точку сгущения на

бесконечности (см. [90,105,152]).

Таким образом, требуется по бесконечной последовательности чиоел

Я„ найти функцию одного переменного

Эта

задача получила

название обратной задачи Шгурма-Лиувилля. Числа

Я„

содержат

в

себе интегральную информацию об этой функции. Оказывается, что

в

15

случае, когда функция ^(сс) четна относительно середины отрезка [а.,6], ее можно однозначно найти но собственным числам задачи (16У-

(18) .

Если не она

таковой

не является, то ее можно найти по двум

спектрам, связанным с задачей ( 1

6 ) - ( 1 8 ) ; а

именно,

если задать

дополнительно спектр

этой

задачи

с условием

( 1 7 ) ,

в котором

Н

заменено на число

И±^Н.

Первые подобные теоремы были получены

В.А.Аыбарцумяноы

[ 6 ]

и Г.Боргом

[27J . Позднее В.А.Марченко

по­

казал,

что,в общем случае,

обратную задачу Штурма-Лиувилля

ра­

зумно

ставить по-другому,

так как одного спектра недостаточно

(особенно в нерегулярных случаях) для восстановления дифференци­ ального оператора. В постановке В.А.Марченко обратная задача фор­ мулируется следующим образом: дана спектральная функция дифферен­ циального оператора (15); требуется найти этот оператор. В регу­ лярном случае, который мы рассматривали выше, задание спектраль­ ной функции эквивалентно заданию наряду с собственными числами А п , нормировочных коэффициентов

* » = J

dx,

( I 9 )

a.

 

 

связанных с собственными функциями

^„(х,Л„)

задачи (16) - (18),

при этом произвольные множители собственных функций фиксируются

о помощью условий

 

 

 

ynlaX)

= i,

^ / а , Л „ ) = А .

(20)

В.А.Марченко показал

[ 9 4 , 9 5 ] , что спектральная

функция единствен­

ным образом определяет дифференциальный оператор (15) . Полное ре­

шение обратной задачи Штурма-Лиувилля в постановке

В.А.Марченко,

с выяснением необходимых и достаточных условий для

спектральной

функции, дано И.М.Гельфандом и Б.М.Левитаном [ 4 2 ] . В несколько другой постановке эту же задачу исследовал М.Г.Крейн [66-70] . Ряд результатов в связи с обратной задачей Штурма-Лиувилля получен и в работах В.А.Марченко [9б] , Л.Д.Фаддева [162,163] , Л.А.Чудова [166,167] и других авторов. Подробное изложение обратной задачи Штурма-Лиувилля содержится в монографиях М.А.Наймарка [105] , Б.М.Левитана [8б] , а также в постановке с данными рассеяния в мо­ нографии З.С.Аграновича и В.А.Марченко [ i ] .

Одной из важнейших в прикладном отношении задач является так­ же обратная задача электромагнитной разведки. Взаимодействие элек-

-тромагнитного поля со средой описывается уравнениями Максвелла,з которые входят в качестве коэффициентов магнитная восприимчивость,

16

диэлектрическая характеристика среды и электропроводимость.Элек­ троразведка заключается обычно в том, что измеряется электричес­ кое и магнитное поле на поверхности Земли и вне ее, либо естест­ венное, либо создаваемое с помощью специального источника элект­ ромагнитных колебаний. Требуется по этим измерениям определить неизвестные коэффициенты, входящие в уравнения Максвелла и харак­ теризующие электромагнитные свойства среды. В математическом от­ ношении эта задача исследована сравнительно слабо, имеются резуль­ таты для случаев, когда среда представляет собой систему однород­ ных слоев [40] , либо свойства ее зависят только от одной коорди­ наты [37,38,154,155,165]. На практике геофизики обычно использу­ ют метод палеток, заключающийся в подборе из имеющегося атласа такой среды, которая давала бы электромагнитное поле, близкое к наблюдаемому. Результаты, получаемые таким образом, в большой степени зависят от интерпретатора и являются довольно грубыми.Поэтому актуальной является разработка методов численного решения обратной задачи электроразведки.

Выше мы привели примеры некоторых важнейших прикладных задач, приводящих к обратным задачам для дифференциальных уравнений, пе­ речень их можно было бы увеличить, с течением времени число об­ ратных задач для дифференциальных уравнений возрастает. Важность этих задач приводит к необходимости рассматривать теорию обратных задач как самостоятельную математическую дисциплину. В дальнейших разделах нашего курса мы подробно познакомимся с различными обрат­ ными задачами для дифференциальных уравнений и методами их иссле­ дования.

§ 2 . Некоторые основные понятия функционального анализа.

Для целей дальнейшего изложения курса нам понадобятся некото­ рые понятия функционального анализа. Я приведу их здесь в том ми­ нимальном объеме, который нам потребуется. Подробно познакомиться

сданным вопросом можно по книгам [64,65,91,142] .

Вкурсах математического анализа рассматриваются такие поня­ тия как множество точек числовой прямой, множество точек п-мер­ ного евклидова пространства. Элементами этих множеств являются либо вещественные числа, либо п. -мерные наборы веществачных чисел. В функциональном анализе рассматриваются множества, элементами которых являются функции одного или нескольких переменных. Если для такого ьзожасгва определенно какш-либо образом понятие схо-

димости последовательности элементов, то множество называется функциональным пространством. Зачастую для элементов множества можно ввести понятие расстояния между элементами этого множества, которое является обобщением понятия расстояния между точками в обычном числовом пространстве. С помощью этого расстояния можно затем ввести понятие предельного перехода и тем самым превратить

множество в пространство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение I . Множество X

называется метрическим простран­

ством, если каждой паре его элементов х

и

у

поставлено

в

соот­

ветствие

неотрицательное число

р

fay),

удовлетворяющее

следую­

щим условиям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

/>(х,у)=о

тогда и только

тогда,

когда

^ = у ;

 

 

 

2)

J)fry)=jOlfX)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

fiiy,

 

1) > j)(<3c,%)

 

 

 

(неравенство

треуголь­

ника) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число

pfcy)

называется расстоянием между элементами

х

и

^ . В том случае,

когда задано

ffayl

для любых

пар

х, у

мно­

жествах

 

, говорят также, что на множестве

X

задана

метрика.За­

дать метрику для одного и того же множества можно по-разному.

 

Определение

2 . Элемент X метрического

пространства

X

назы­

вается пределом последовательности элементов ос±,хг,

 

 

х п , . . .

 

из множества М^Х,

если pi^n,oc)—*

о

при п-~<~= , то

есть,если

для любого положительного числа

е

найдется такой

номер WTfi)

,

что при всех

n>Jf(£)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предельный для последовательности

{т„7,

o:neJU, n-i,г,

з,...

 

элемент

х

может либо принадлежать

множеству

Ж , либо не при­

надлежать

ему.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

3. Если множество Л1СХ

содержит

в себе

все пре­

дельные элементы, построенные для всевозможных сходящихся после­

довательностей

из

элементов М

, го

оно называется замкнутым мно­

жеством.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

4 . Множество JU^X

называется открытым, если

его

дополнение Х^-М

до пространства

X

замкнуто.

 

Примеры метрических

пространств.

 

 

 

I .

Рассмотрим множество X

-всевозможных

непрерывных на

от­

резке

[ 0

, 1 ] функций xd)

. Если ввести для

его элементов рас­

стояние

по формуле

 

 

 

 

 

 

 

18

Смотрите также файлы