Файл: Ковалев М.П. Динамическое и статическое уравновешивание гироскопических устройств.pdf

чается в следующем виде:

постоянный член, что указывает на ненулевое среднее значение

а". Это значение соответствует^ систематическому уходу (дрей­ фу) гироскопа вокруг оси вращения внешнего кольца. Скоростьдрейфа определяется формулой

02/[ sin ßo

[12{А" + С')4-АВ' sin2 Yi]- (2.53)

2/ ' 2 С п cos 7i cos2 ßo

Если yi= 0. T0 формула (2.53) сводится к тому же выраже­ нию, что и формула (2.45) при е= 0 , а именно, к выражению

22 Sinßp

(2.54)

Однако при безынерционных кольцах (Л"= 0 ' = С' = 0) пере­ кос yi оси вращения ротора в отличие от перекоса е оси вращения внутреннего кольца не обусловливает какого-либо систематического ухода.

Если имеет место только перекос у2 оси вращения Zt ротора

(e = Yi = 0), то уравнения движения гироскопа (2.26), (2.29) при­ нимают вид

Up —Спа cos(Y2+H) + a2 (Л sin (y2+ P) cos (Y + P)+

30

Выполняя те же действия, что и в предыдущих двух случаях, получим при прежних 'начальных условиях следующие составля­ ющие решения, соответствующие первой степени й:

где

C n cos (72 + ßo) .

. J

Приравнивая нулю коэффициенты при й, получим, как обыч­ но, систему двух дифференциальных уравнений, решая которую находим составляющие решения второго порядка малости. Не-' периодическая часть решения и в данном случае соответствует дрейфу системы вокруг оси X внешнего кольца, причем скорость дрейфа определяется формулой

0 2

При 72 = 0 эта формула, как и должно быть, сводится к выра­

жению (2.54). Формула (2.57) показывает, что при отсутст­ вии инерции колец (А' = С' = 0) перекос оси ротора у2 не приво­

дит к какому-либо дрейфу трехстепенного гироскопа.

2.5. ДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТЬ ВНУТРЕННЕГО КОЛЬЦА

Будем считать, что перекосы осей вращения ротора и внутрен­ него кольца отсутствуют (е = у і= у 2= 0 ), но внутреннее кольцо,

будучи статически неуравновешенным относительно точки подве­ са О, обладает динамической неуравновешенностью. Такая не­ уравновешенность имеет место, когда центробежные моменты инерции отличны от нуля.

Будем обозначать осевые и- центробежные моменты инерции внутреннего кольца как Іхх, Іѵѵ, IIZ, Ixy, IyZ) fzx, где ATZ — систе­ ма координат, связанная с этим кольцом; для моментов инерции ротора и внешнего кольца сохраним прежние обозначения. ,При использовании изложенной выше методики и выражений

31

представляющих составляющие момента количества движения внутреннего кольца, получим в прежних предположениях (отсут­ ствие трения в подшипниках, статическая уравновешенность всех элементов относительно точки подвеса) следующие уравнения движения трехстепенного гироскопа:

Используя прежний метод решения и прежние начальные ус­ ловия, получим следующие выражения составляющих решения, соответствующих первой степени Q:

(2.59)

ß ' = V - ( l —cos pt), Kp

где

C n COS ßn

p = — f— ;

<?= —a rctg ^ rj ;

K = V [IxIi-J'V

Л = A" 4- /„ 4 -(A -\- Ixx— Izz) cos2 ß0- 21zx sin ßo cos ß0;

/2= ^ 4- I yy\

y = / l.!/cosßo4 - / i/2 sinß0.

Выражения (1.75) описывают нутационные колебания гиро­ скопа при наличии динамической неуравновешенности внутрен­ него кольца.

Скорость дрейфа гироскопа, выявляющаяся при решении си­ стемы уравнений, соответствующей второй степени параметра Q, определяется формулой

где

32

При отсутствии динамической неуравновешенности внутрен­ него кольца (ІХу= Іѵ2=Izx = 0) формула (2.60), как это и должно

быть, сводится к формуле (2.54).

2.6. ВЛИЯНИЕ УПРУГОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ПОДВЕСА

Трехстепенный гироскоп, центр тяжести которого точно сов­ падает с пересечением осей карданова подвеса, называется аста­ тическим. Движение такого гироскопа состоит из медленной пре­ цессии, вызываемой приложенными к гироскопу внешними мо­ ментами, и нутации, представляющей высокочастотные собствен­ ные колебания с малой амплитудой. В отличие от прецессии ну­ тационные колебания могут совершаться и при отсутствии внешних моментов. Если элементы конструкции гироскопа абсо­ лютно жесткие, то при перпендикулярности внутреннего и внеш­ него колец частота нутации определяется формулой

где К — коэффициент жесткости оси ротора при изгибных вибра­ циях, а J — некоторая функция моментов инерции ротора и колец подвеса.

Существует критическая (резонансная) угловая скорость ро­

тора, при которой пу= ф. Эта скорость, определяемая из уравне­ ния

равна

г (2.63)

Резонансная корость фр возможна при соблюдении условия

При вращении ротора на гироскоп действуют силы, частота которых равна угловой скорости ротора. Это происходит вслед­ ствие некоторой ничтожно малой неуравновешенности ротора.

Если угловая скорость ротора станет равной значению (2.63), то на гироскоп будут действовать силы в такт с нутационными колебаниями, 'вследствие чего наступит резоінанс. При резонансе амплитуда нутационных колебаний возрастает и гироскоп стано­ вится непригодным для использования и может выйти из строя.

Во избежание резонанса параметры гироскопа нужно выби­ рать в соответствии с условием С2< А 0В0. Если это условие не соблюдается, резонанса можно избежать, обеспечив соответству­ ющую жесткость оси ротора. Действительно, при достаточно большом значении К резонанс может наступить только при очень

высоком значении скорости срр, лежащем за пределами возмож­ ного диапазона скоростей ротора <р. Недостаточная жесткость элементов конструкции ухудшает работу и двухстепенного гиро­ скопа.

Рассмотрим работу этого гироскопа более подробно. Движе­ ние двухстепенного гироскопа описывается уравнением

A(U2-\-$)-\-(A — C)(U1cosß — U3sin $){UXsin ß-f

+ £/3 cosß) —H (Uxcosß — U3 sin ß)= — ATß — /ß .

При A = C, U2=Uz = 0 и cos ßsH это уравнение принимает вид

сил вязкого трения; /(ß — восстанавливающий момент (момент, развиваемый пружиной). Входящий в правую часть уравнения момент HU\ выполняет роль внешнего возмущающего момента. Этот момент, называемый гироскопическим, возникает только при вращении вектора кинетического момента Н относительно инерциальной системы координат (т. е. при наличии прецессии) и представляет собой инерционное сопротивление, оказываемое ротором при изменении углового положения его оси относитель­ но инерциального пространства. Гироскопический момент пере­ дается со стороны ротора на связи (на кожух р_отора). Направ­

Т = Н и хsin (90° + ß) = HU уcos ß.

При H=TJ\, показанных на рис. 2. 6 , вектор гироскопического мо­

мента Г направлен в сторону положительной части оси Y.

В уравнении (2.65) гироскопический момент HU\ выполняет роль движущего момента. Собственные колебания гироскопа опи-

34