Файл: Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2024
Просмотров: 219
Скачиваний: 0
а) в уравнениях (4.5) и (4.9) (предполагаемых неза висимыми) величины х„, хн, /„ заменяются величинами, составляющими столбец фн;
б) система уравнений (4.5) (относительно сри и а)зн) разбивается на две подсистемы: (4.30), содержащую г (II „) уравнений с каким-либо из старших отличных от нуля ми норов матрицы 11 н, и подсистему
Паи Фн+ Пзні|5„ = 0; |
(4-31) |
|||
в) к уравнениям (4.9) (относительно <ри и я|)н) прибав |
||||
ляются произвольные |
линейные |
комбинации |
уравнений |
|
системы (4.31), получается система вида |
|
|||
°И Фи Н Ga і|)„— А (ГІ,ИФи+ П8Ні|зи) = 0, |
(4.32) |
|||
где А — матрица ѵ х |
(п — г (П,,)); |
пд = т + |
||
г) уравнения ((4.30), |
(4.32)) |
дополняются |
||
-+- b — V уравнениями |
вида |
|
|
|
|
|
Яд Фи--0 |
|
(4.33) |
до линейно независимой |
системы т + b + г (Пн) уравне |
ний относительно срп и фн; д) с помощью эквивалентных преобразований системы
((4.30), (4.32), (4.33)) из нее исключаются величины, сос тавляющие столбец 4 іі (это возможно в силу невырожден ности матрицы Ищи в силу первого из соотношений (4.28)].
Полученная в результате описанной процедуры система т + b уравнений относительно ср„ эквивалентна системе вида (4.25) и потому может служить основой для составления различных схем регулятора, решающих задачу синтеза.
О в о з м о ж н о с т я х у п р о щ ен и я сх е м ы р е г у л я т о р а ( т . е .
о м и н и м а л ь н о в о зм о ж н о м зн а ч е н и и ч и сл а Ь в н у т р ен н и х
к о о р д и н а т р е г у л я т о р а ). Из описанной выше процедуры составления системы уравнений регулятора следует:
а) при т > V b может быть взято равным нулю (т. е. регулятор, решающий задачу синтеза, может быть построен без внутренних координат);
б) при т = V b может быть взято равным нулю в том и только в том случае, когда матрица А, входящая в (4.26), выбрана так, чтобы матрицы —5 + С0М Р и С0М„ [где С0 определяется согласно (4.26)] не имели нулевых столбцов; для существования матрицы А с^указанньшГсвойством не-
130
обходимо и достаточно, чтобы каждый из столбцов матрицы
|
был независим от столбцов матрицы |
-ІД |
г |
Пцгг\ |
|
П НЗг |
М,-р, М ГИ, МзР, МзП— блоки матрицы М |
в представлении
в) если т = ѵ и хотя бы один из столбцов матрицы Мп за висит от столбцов матрицы ¥ пг, то минимальное значение Ь,
скоторым может быть решена задача синтеза, равно 1. Таким образом, регулятор, обеспечивающий заданные
соотношения (4.9), всегда может быть построен с не более чем одной внутренней координатой.
О в о з м о ж н о с т и п о ст р о е н и я р е г у л я т о р а с н ев ы р о ж д ен н о й
м а т р и ц е й R0. Среди различных возможных схем регулятора, решающих задачу синтеза, в настоящее время более пред почтительны для реализации схемы с невырожденной мат рицей R0 и, в частности, так называемые схемы прямой передачи, не содержащие внутренних координат и имею щие диагональную матрицу R0. (Для схем с вырожденной матрицей R0 возникают трудности с обеспечением грубости системы объект — регулятор по отношению к отклонениям параметров; о понятии грубости см., например, [10, 11].) Для существования среди схем регулятора, решающих за дачу синтеза, схемы с невырожденной матрицей R0 (а сле довательно, и схемы прямой передачи) необходимо и доста точно, чтобы ранг матрицы Ra (Ч^,,. МП) был не меньше
г (Пн) + V.
О с и н т е з е р е г у л я т о р а , о с у щ е с т в л я ю щ е г о за д а н н ы е с т а т и ч еск и е со о т н о ш ен и я в за м к н у т о й с и с т е м е . Во многих слу
чаях целью синтеза регулятора может быть выполнение за данных линейных соотношений между координатами систе мы и воздействиями в установившихся режимах. Эта задача также может решаться изложенным выше методом, но при этом под Xj, цк, ßr понимают установившиеся, постоянные во времени значения соответствующих величин, а коэффи циенты соотношений (4.5)—(4.9) являются элементами чис лового поля WQ. (Соотношения с коэффициентами из W0 будем называть статическими.)
5* |
J3J |
Однако задача синтеза регулятора по заданным стати ческим соотношениям имеет следующую особенность: звенья, составляющие регулятор, не обязательно должны быть де тектирующими (в статике), и в соответствии с этим система (4.7) уравнений регулятора не обязана иметь единичные эле менты на главной диагонали матрицы Д0. Действительно, введение в схему регулятора интегрирующего звена, опи сываемого уравнением вида
J |
|
РУ = 2 Vj(p) z}. |
(4.34) |
/= 1 |
|
[где Vj (0) Ф оо и хотя бы одно из Vj (0) отлично от нуля, обозначения см. (4.6)], позволяет в статике получить равен ство
J
2 V0(0)z; = 0 |
(4.35) |
/= і |
|
(при условии существования у замкнутой системы единст венного устойчивого положения равновесия). Поэтому любая совместная система статических соотношений вида (4.7) может быть реализована с помощью статических [описывае мых уравнениями вида (4.6) с Vj (0) Ф оо] и интегрирующих [описываемых уравнениями вида (4.34) ] звеньев.
Необходимое и достаточное условие разрешимости задачи синтеза с выполнением статических соотношений (4.9) — совместность статических соотношений (4.16) и (4.21) [или выполнение (4.28)], но b здесь всегда может быть выбрано равным нулю. Система статических соотношений для регу лятора по-прежнему имеет общий вид (4.25), но с коэффи циентами из поля W0. При этом матрица R 0' может теперь иметь нулевые столбцы. Для реализации статических соот ношений (4.25) с помощью статических и интегрирующих звеньев эти соотношения должны быть заменены соотно шениями аналогичного вида с коэффициентами из поля W, принимающими при р — 0 значения соответствующих коэф фициентов статической системы (4.25) (соотношения с коэф фициентами из W назовем динамическими). При этом нули на главной диагонали матрицы TR '0 заменяются ненуле выми элементами поля W. При любом выборе динамической системы уравнений регулятора, удовлетворяющей этим условиям и условию устойчивости замкнутой системы, обеспечено выполнение в статике заданных соотно шений (4.9).
132
Таким образом, общий вид динамических уравнений регу лятора, обеспечивающих выполнение в установившемся режиме соотношений типа (4.9)
|
|
f |
f * |
Фи = О, |
|
|
|
(4.36) |
где R — матрица v х |
R, |
т + b + |
|
|
|
|
||
(нп + |
s„) с элементами из |
|||||||
поля W, |
удовлетворяющая |
условию |
R (0) = |
G „— GHII |
||||
С0 — решение |
уравнения (4.16); матрицы |
G„, |
G„, ІІ„, Г1П |
|||||
соответствуют |
статическим |
соотношениям |
(4.5) и |
(4.9); |
||||
Яд — матрица |
(т + Ь — v) х (п„ + |
т + |
b + |
s„) |
с эле |
|||
ментами |
из W; Г — невырожденная |
матрица |
(т + b) X |
|||||
X (т + |
Ь) с элементами из |
W. |
|
|
|
|
~( |
в |
\ |
должна иметь единичные эле- |
При этом матрица Г |
_ |
|
|
V |
|
) |
|
менты на главной диагонали клетки, соответствующей коор
динатам (р„, ßr). Выбор матриц R и /?д должен обеспечи вать устойчивость замкнутой системы объект — регулятор.
Минимальное количество интегрирующих звеньев в схеме регулятора при т = ѵ, Ь = 0 равно числу столбцов матрицы Мп, зависящих от столбцов матрицы ЧгпГ; при
т+ Ь — ѵ >0 без интегрирующих звеньев можно обойтись. Динамическая система уравнений регулятора всегда
может быть составлена так, чтобы матрица коэффициентов при рк в (4.36) была невырожденной; поэтому для любой си стемы статических соотношений вида (4.9), удовлетворяющей (4.28), задача синтеза разрешима с помощью регулятора со схемой прямой передачи. При этом, если матрица RÖ ста тической системы (4.25) вырождена, динамическая система уравнений регулятора будет содержать передаточные функ ции с нулевыми полюсами, реализуемые интегрирующими устройствами; минимальное количество звеньев регулято ра с такими передаточными функциями равно количеству столбцов матрицы R о, линейно зависящих от остальных ее столбцов, и, следовательно, не меньше ѵ — г (Rn) + г (П„).
О синтезе регулятора без дифференцирующих звеньев. Поскольку решение рассмотренной здесь задачи синтеза всегда оказывается не единственным, на систему (4.7) урав нений регулятора могут накладываться дополнительные условия. В частности, может быть выдвинуто требование отсутствия в синтезируемой схеме регулятора дифференци рующих звеньев, т. е. звеньев со степенью числителя пере
133
даточной функции, большей степени ее знаменателя. При использовании регулятора со схемой прямой передачи это требование накладывает дополнительные ограничения на значения элементов матриц Р, Q, S, которые входят в соот ношения (4.9). Использование же схем с перекрестными связями между звеньями регулятора и, может быть, с внут ренними координатами позволяет выполнить это требование без ограничений на матрицы Р, Q, S. Действительно, назо вем степенью элемента из W разность степеней его числите ля и знаменателя и обозначим N максимальную из степеней элементов матрицы С„ — С0ПИ (при фиксированном выборе
П„гг и А). |
Тогда, выбирая Ь > |
ѵ — т, степени элементов |
||
/ |
Цр |
Пн ß |
\ |
N, а степени остальных эле |
матрицы \м |
в |
I равными |
ментов матрицы Дд не превышающими N, обеспечим нали чие в каждом столбце матрицы Ro элемента с максимальной степенью; поэтому выбором Г можно будет добиться неполо жительности степеней всех элементов матрицы/? (см. далее).
О |
з а д а ч е с и н т е з а р е г у л я т о р а д л я си с т е м с р а с п р е д е л е н |
ны ми п а р а м е т р а м и . До сих пор коэффициенты соотношений (4.5) —(4.9) считались элементами поля Подробно-рациональ ных функций. Расширим теперь класс рассматриваемых в задаче синтеза уравнений объекта и замкнутой системы так, чтобы включить в него встречающиеся на практике виды си стем с распределенными параметрами. Будем считать синте зируемый регулятор состоящим из конечного числа линей ных детектирующих звеньев с импульсными переходными функциями по каждому входу, относящимися к классу обоб щенных производных регулярных оригиналов. Каждое из таких звеньев по-прежнему описывается уравнением вида (4.6) , но передаточные функции Vj теперь — элементы класса U0 функций V комплексного переменного р при Re р > s аналитических и удовлетворяющих условию
|
|
\Ѵ ( р )\< А \р \", |
(4.37) |
|||
где А, |
п, s — константы, зависящие от функции V (А ^ |
0). |
||||
Коэффициенты |
соотношений |
(4.5) — (4.9) |
будем считать |
|||
элементами класса U |
функций F (р), мероморфных |
при |
||||
Re р > |
s (где |
s может |
быть |
различным для разных коэф |
фициентов) и удовлетворяющих условию (при тех же Re р):
А_ ехр (т_ Re р) s=7 | К (р) | sg; А+ехр (т+ Re р), |
(4.38) |
где А . , т± — константы, зависящие от функции F (А± ^ 0); |
|
нижнюю грань чисел т+, которые могут входить |
в (4.38), |
134