Файл: Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с.pdf

тельно немного [26]. В них также используются внешние итерации между вихревой функцией течения £ и функцией гидродинамического тока ф. Однако большинство из них рассматривает течения, в которых плотность и проводимость либо постоянны, либо все теплофизические параметры те­ чения непрерывны. В случае бездиффузионного описания по схеме идеальной жидкости в области течения будет иметься линия разрыва теплофизических параметров. На­ иболее подходят для этого случая методы численного рас­ чета, изложенные в работах [33, 34]. Существо этих методов заключается в использовании так называемых лагранжевоэйлеровых систем координат. Сетка получается криволиней­ ной и состоит из линийф = const и X = const. Картина рас­ пределения радиусов линий тока от итерации к итерации корректируется после нахождения значений тангенсов уг­ лов их наклона к оси течения из решения системы гидро­ динамических уравнений. В этом способе также организован внешний итерационный цикл, однако не между вихревой функцией £ и функцией тока ф, а несколько иным способом, в котором результатом является построение новой сетки криволинейных координат (ф; х). Использование сетки кри­ волинейных координат (ф; х) уменьшает трудности, связан­ ные с поперечным прохождением линий разрыва парамет­ ров в процессе счета. В этом случае сами линии разрыва включаются в координатную сетку. Когда возможно при­ менение аппроксимационных схем, не использующих точек за пределами линий разрыва параметров (обычно это схемы первого порядка), вполне приемлемыми способами числен­ ного счета оказываются различные виды прогонки в соче­ тании с методами установления или с методами дробных шагов [28—30].

Одним из возможных методов расчета разрывного тече­ ния в тех случаях, когда отсутствуют возвратные потоки, является метод «потенциализации»*. Кратко сущность его заключается в следующем. Если рассматривается МГД-

С. С. Преображенский. Идея необходимости балансировки градиента давления высказана В. П. Жуковым.

221

с произвольно заданной плотностью, то в двумерном цилин­ дрическом случае можно непосредственно перейти к криво­ линейным координатам (if; х), вводя функцию тока по соот­ ношениям

или заменяя

можно получить новую безразмерную систему уравнений, разрешенную относительно градиентов давлений:

p У 2 s ( d s / d t f )

где St — число Стюарта; Fr — число Фруда.

222

Как видно, написанная система имеет третий порядок относительно я(ф, х) по координате л; и второй — по коорди­ нате я)) и требует постановки трех граничных условий по х и двух — по ф.

Применение координат (ф; х) автоматически включает линии разрыва параметров в координатную сетку. Приме­ няя аппроксимационные схемы первого порядка по ф и произвольного порядка по х, можно, задавшись перво­ начальной реализацией распределения площадей трубок тока 5°(ф; х), составить для каждой из точек сетки с индек­ сами (і j) элементарные контурные интегралы

В вычисление каждого из этих контурных интегралов вой­ дут сеточные значения функции по некоторой аппрок­ симационной зоне. Задача заключается в создании такого численного процесса, чтобы по мере коррекции распреде­ ления сеточных значений функции от итерации к ите­ рации вся совокупность интегралов J ц стремилась к нулю в каждой точке. Фактически это соответствует «потенциализации» правых частей уравнений количества движения. В пределе, когда вся совокупность J равна нулю, удов­ летворяется уравнение Гельмгольца для вихря скорости и данная реализация будет являться решением. Один из способов организации процесса потенциализации следую­

значений функций s*y, входящих в его аппроксимационную зону:

где m — число точек, входящих в аппроксимационную зону интеграла J по оси х.

Частные производные типа dJij/(dsi+m- ;) численно можно определить, варьируя отдельные значения si+m; ;-

223

(при постоянных значениях остальных) и рассчитывая при этом изменения интеграла A J ijtm. Проделав эту процедуру для всех внутренних точек и считая значения граничных величин Sij закрепленными граничными условиями, по­ лучим алгебраическую систему уравнений, которую следует

величину Л/;/- Разрешить эту систему алгебраических урав­ нений можно различными способами, например с помощью матричной прогонки или метода скорейшего спуска. Можно применить сочетание итерационной схемы типа Зейделя с методом Ньютона. При переходе от одной линии тока к другой находится совокупность корректирующих значений Аstj только для той линии, которая расположена между предыдущей и последующей реализациями, например для

последовательно в том или ином направлении. При этом нет необходимости численно определять частные произ­ водные dJij/dsi+m■/_ 1 и dJij/dsi+m. j-+1, а требуется опре­ деление только dJ ij/dsi+m; j. В этом случае для каждой из линий тока с номером / матрица алгебраической системы уравнений

Asi+m,;

тö s i + m; /

менее громоздка, чем общая матрица но всему полю значе­ ний Stj.

Численные методы расчета тепловой части задачи в случае диффузионного описания процесса переноса тепла в приближении лучистой теплопроводности хорошо из­ вестны [27—30]. В том случае когда осевыми тепловыми потоками пренебречь нельзя, хорошо «работают» методы типа продольно-поперечной прогонки, установления и дроб­ ных шагов. В том случае, когда осевыми тепловыми пото­ ками удается пренебречь, возможно сочетание метода сквоз­ ного счета по оси х с поперечной прогонкой. Нелинейность уравнения, заключенная в том, что теплофизические пара­ метры р; ср; 7Эф — функции температуры, легко устраняет­ ся, если брать их значения либо на предыдущем итерацион­ ном слое, либо применять итерации на данном слое или на данной координатной линии.

В том случае, когда постановка задачи требует описания процесса теплопроводности излучением в строгом кинети­

224

ческом приближении с применением уравнения для интен­ сивности излучения / ѵ, задача значительно осложняется. В настоящее время практически неизвестны приемлемые численные методы расчета течений с оптически тонкими средами.

Кроме изложенных методов численного расчета динами­ ки, учитывающих в том числе и нелинейные эффекты, воз­ можно применение методов, основанных на способе линеа­ ризации полной системы уравнений. В этом случае возмо­ жен операторный метод решения этих уравнений примени­ тельно к временной переменной 136]. Однако, как правило, для получения всей совокупности динамических харак­ теристик элемента не удается перейти к описанию его в сосредоточенных параметрах. Иногда требуется опреде­ ление пространственной картины течения. В этом случае операторные выражения решения получаются трансцен­ дентными и плохо поддаются обращению.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Мегреблиан Р., Холмс Д. Теория реакторов. Пер. с англ. М.> Госатомиздат, 1962, с. 435.

4.Mann Е. IRE Trans. Nucl. Sei., 1956, р. 3, 12.

5.Жуков В. П., Креер Р. И. Динамика нейтронно-кинетических процессов в реакторе с циркулирующим горючим.—«Атомная энергия», 1971, т. 31, вып. 2, с. 134.

6.Жуков В. П., Креер Р. И. Эквивалентные системы уравнений кинетики для реактора с циркулирующим горючим. —• «Атом­ ная энергия», 1971, т. 31, вып. 2, с. 134.

7.Shepherd L. R., Cleaver А . V. The Atomic Rocket-3. — J. Brit.

9.Бассард Р., Делауэр Р. Ядерные двигатели для самолетов и ракет. Пер. с англ. М., Воениздат, 1967, с. 11.

10.Кесси К. О., Гросс Р. А. Вихревой газовый ядерный ракетный двигатель с удержанием топлива при помощи МГД-вращения газа. — «Ракетная техника и космонавтика», 1964, № 8, с. 127.

11.Джонсон К. П. Ядерный ракетный двигатель с магнитогидро­ динамической закруткой газообразной активной зоны. — «Ракетная техника и космонавтика», 1966, № 4, с. 78.

12. Ромеро Ж. Б. Удержание топлива в газовом вихревом ЯРД с магнитогидродинамическим вращением газа. — «Ракетная техника и космонавтика», 1964, № 6, с. 152.