Файл: Арховский В.Ф. Основы автоматического регулирования учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 113
Скачиваний: 1
теории автоматического регулирования принят этот амплитуд ный признак показателя качества, двигатели летательных аппа ратов требуют введения и временного признака качества. Назо вем его «временем перерегулирования» и обозначим на рис. 6.1 через !п, где /л — длительность полуволны, превышающей *вых(»о). При колебаниях в системе, имеющих постоянную (или маломеняющуюся) линейную частоту соо, этот период будет равен /п~1/2<.оо. В ряде систем регулирования, например, температу ры, этот параметр является одним из основных.
Рис, 6.1. Показатели качества переходного процесса: а—апериодического; б— апериодически-колебатедыюго
4. К о э ффи ц и е н т з а т у х а н и я. Этим параметром харак теризуется степень затухания колебаний переходного процесса в системе. Коэффициент затухания у определяется как относитель ная разность двух соседних ошибок перерегулирования у = (6ni—
---6у2) /бп1- |
к а ч е с т в а . |
Рассмот |
5. И ит е г р а л ь:н ы й п о к а з а т е л ь |
||
ренные выше четыре показателя качества |
характеризовали пе |
|
реходный процесс или по амплитуде (6У, |
бп) или по |
времени |
(/у, t„). Однако в ряде случаев переходный процесс как в меха нических, так и в электрических узлах можно охарактеризовать обобщенным критерием качества. В основу критерия положено количественное определение близости прохождения кривой пере
ходного процесса хвых(£) от идеальной хвых(оо) |
за время от |
t = 0 до t = o o (или хотя бы до t—ty). |
|
Для переходных процессов с апериодической |
формой интег |
ральный критерий качества можно выразить в виде интеграла разности двух процессов (реального и идеального):
t>ty
f '[*.ых(0 —- W hJ*# - ^0
Для переходного процесса с апериодически-колебательной формой (см. рис. 6.1, б) эта зависимость будет давать неверное
132
значение интегрального критерия качества, так как подынтег ральное значение имеет разные знаки при различном значении времени t, что приводит к заниженным значениям интегрально го критерия качества . Этот недостаток легко исключить, обес печив условие постоянства знака подынтегрального выражения разности сигналов. Возможны два варианта реализации данного
Рис. 6.2. Равнозначность интегральных коэффициентов качества /<^ разных процессов
условия: подынтегральное выражение берется по модулю, тогда интегральный критерий качества имеет вид:
Ч
К j |
j"' | -^ В Ы Х ( О |
-^ В Ы Х .П Д I |
|
fо |
|
или подынтегральное выражение возводится в квадрат, тогда имеем*
*Г |ГКь,Х( 0 “ ^вых.ид]2^ - ^0
Из выражений следует: чем меньше значение интегрального кри
терия качества |
/С|, тем реальный процесс (форма реального |
процесса) ближе |
к форме идеального (за период времени от |
t — t0 до t^ ty ) . Так, отработка системой регулирования темпера туры газа, например, за турбиной при разных формах переход ного процесса регулирования (рис. 6.2), но с одинаковым интег ральным показателем качества (заштрихованные области для трех случаев равны) за время t ^ t y вызовут одинаковое измене ние температуры за турбиной.
6.2. ДИАГРАММЫ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
При качественной оценке переходных процессов регулирова ния с использованием диаграмм на расшифровку переходного процесса затрачивается небольшое время. Поэтому использо вание диаграмм переходных процессов создает удобство при
133
сравнительном или предварительном исследовании качества ре гулирования. Диаграммы переходных процессов могут быть по строены в основном для процессов, описываемых уравнениями первого, второго и третьего порядков.
1. Первая диаграмма оценки переходных процессов и устой чивости для систем регулирования третьего порядка была пред ложена п построена русским ученым И. А. Вышнеградским в 1874 г. В разд. 5.4.4 были рассмотрены условия замены уравне-
Рис. 6.3. Диаграмма переходных процес сов Вышнеградского
ния 3-го порядка с четырьмя коэффициентами |
(a3s3 + a2s2 + «is-l- |
|
+ а0=0) уравнением 3-го порядка |
с двумя |
коэффициентами |
s*3 + ff25*2+ £is* + 1 =0, где Bz= |
a,2j[a0Vr{aBja2f], £ i = ax/[a0X |
X V (<vM-
Задавая различные значения коэффициентов В 2 и B t и ана лизируя при этом корни характеристического уравнения и форму
переходного процесса, можно построить диаграмму, |
которая и |
приведена на рис. 6.3, в функции коэффициентов В 2 |
и Bi. Две |
кривые а и б являются границами областей, в которых переход ные процессы однотипны. В области I переходный процесс апе риодический, так как все три корня имеют отрицательные и дей ствительные значения. В области II переходный процесс носит монотонный (но не описываемый апериодическим уравнением) характер. В области III переходный процесс колебательно-апе риодический, так как хотя все корни отрицательны, но два из них имеют иррациональную часть. В области IV переходные про цессы имеют форму расходящейся синусоиды, так как один из корней имеет положительное значение. Линия б характеризует переходный процесс как незатухающие гармонические колеба-
134
мня. Такой процесс характерен при двух иррациональных кор нях (третий корень равен нулю).
Для пользования диаграммой достаточно вычислить В2 и В j п подставить их значения на координатные оси диаграммы. Да лее по точке пересечения определяют устойчивость и общий вид переходного процесса только устойчивой системы. Эту диаграм му в дальнейшем будем сокращенно обозначать ДПП-3, т. е. диаграмма переходных процессов для систем третьего порядка.
Пример 6. 1. Характеристическое уравнение переходной функции системы регулирования имеет вид:
|
T 3S3~f~ T 2S~-l- Т iS ~i~/i = О , |
|
|
где 7'з=0,8с3; |
7’2=0,2с2; Т ^ О Д с1 и £=0,1. |
Определить |
устойчивость системы |
по диаграмме |
переходных процессов. В |
соответствии |
с методикой, изло |
женной в разд. |
1.6.2, вычисляем коэффициенты |
|
В 2 = Т21 [/еуг(7'3/л)2] =0,2/[0,1 ^ (0,8/0,1)=] =0,5;
В ^ Т ^ к У Ы к ] =0,4/ [0,1^ 0Ж Т ] =2.
Система неустойчива, так как координата точки с данными Bi = 2; В 2= 0 ,5 на диаграмме (см. рис. 6.3) находится на кривой, соответствующей неустойчиво му переходному процессу (вид незатухающих колебаний).
2. Вторая диаграмма переходных процессов предназначена для оценки качества переходных процессов, описываемых урав нениями 2-го (и 1-го) порядков*. Диаграмма построена при за мене уравнения 2-го порядка с тремя коэффициентами (a2s2 + + ais + a0 = 0) уравнением 2-го порядка с двумя коэффициентами
(T2s2+ T 1s + l = 0 , где T2 = a2la0, T1= ai/a0).
Для анализа системы достаточно наибольшую из двух по стоянных Г2 или Г, приравнять единице, а меньшую — разделить на большую. Например, если Т\>Т2, тогда Г1п=1 = Гь а Т2ц = Т21Т\. Полученные (приведенные) значения Т1п и Т2а нано сят на диаграмму и определяют устойчивость и форму переход ного процесса как устойчивой, так и неустойчивой системы. В ряде устройств с обратными связями для повышения внутрен него 1Коэффициента усиления используются аналогично интегри рующему звену (см. об этом в разд. 5.2.2) неустойчивые элементы, имеющие характер возрастающих кривых. Поэтому на диаграмме приведены переходные процессы как устойчивых, так и неустойчивых систем. В последующих разделах эту диаграмму будем сокращенно обозначать ДПП-1-2 — диаграмма переходных процессов для систем первого и второго порядка.
Пример 6.2. Определить форму переходного процесса системы регулиро вания, описываемой уравнением
k
W c (s) =
Т2s 2 + Т iS + 1
где £ = 5 ; Т2——0,4с2; 7’|= О&с..
* Диаграмма предложена и составлена В. Ф. Арховским.
135
Характеристическое уравнение |
имеет следующий вид: Tis 2+ T is + 1 = 0 . |
|
Так как |Т'з |> I T'i |■ тоГ2п = — 1; |
Т 1п= |T t |/| Г2|=0,2/0,4=0,5. |
Переходный |
процесс имеет в начальном периоде времени затухающий характер |
(до t m T i), |
Рис. 6.4. Диаграмма переходных процессов систем первого и второго порядка
в последующем периоде t > T \— вид возрастающей кривой. Это обусловлено тем, что один корень характеристического уравнения отрицательный, другой— положительный.
6.3. |
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ, ИХ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ |
Как |
элементы и звенья системы, так и системы автоматиче |
ского регулирования исследуются, анализируются и оценивают ся с помощью характеристик, отображающих изменение ампли туды и фазы синусоидального сигнала при его прохождении че рез систему или по форме выходного сигнала при подаче на вход, например, ступенчатого сигнала. Основные характеристи ки, следовательно, содержат параметры: амплитуду, фазу, часто ту и время. Взаимосвязь этих параметров может быть выраже на с помощью трех характеристик. На рис. 6.5 приведены эти характеристики. Первая, как было отмечено в разд. 3.5.3, называ ется амплитудно-частотной (АЧХ), вторая — фазо-частотной (ФЧХ). Третья характеристика называется амплитудно-фазово частотной (АФЧХ). АФЧХ эквивалентна обеим АЧХ и ФЧХ, только частота в АФХ откладывается не по оси абсцисс, как в АЧХ и ФЧХ, а по кривой. По.АЧХ и ФЧХ можно легко по строить АФЧХ и по АФЧХ—АЧХ и ФЧХ.
Кроме частотных характеристик, существуют временные ха рактеристики (рис. 6.5, г). Временные характеристики очень удобны и наглядны, как было выше показано, для оценки каче
136
ства переходного процесса. Однако они несут в себе меньше по лезной информации, чем АЧХ и ФЧХ, а также АФЧХ.
Поэтому по переходной характеристике очень трудно постро ить частотные характеристики.
Рис. 6.5. К вопросу об эквивалентности частотных и временных характеристик:
а—АЧХ; б—ФЧХ; в—АФЧХ; г—временная характери стика
Рис. 6.6. Построение временной характеристики по АЧХ:
а—АЧХ; б—временная характеристика
Переходную характеристику построить по частотной относи тельно легко *. Предположим, что АЧХ имеет вид, приведенный
* Сказанное относится к линейным системам. Аналитический анализ не линейных систем в большом ряде случаев невозможен без применения вычис лительных машин (см. гл. VII).
137
Таблица 6.1
X
i |
0,0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0 ,9 |
1,0 |
0 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
1 |
0,31 |
0,34 |
0,37 |
0,40 |
0,43 |
0,46 |
0,49 |
0,52 |
0,55 |
0,58 |
0,60 |
2 |
0,57 |
0,63 |
0,68 |
0,73 |
0,79 |
0,83 |
0,88 |
0,92 |
0,96 |
0,99 |
1,02 |
3 |
0,76 |
0,83 |
0,90 |
0,96 |
1,01 |
1,06 |
1,10 |
1,13 |
1,15 |
1,1/ |
1,18 |
4 |
0,86 |
0,94 |
1,01 |
1,06 |
1,11 |
1,14 |
1,16 |
1,16 |
1,16 |
1,14 |
1,12 |
5 |
0,90 |
0,98 |
1,04 |
1,09 |
1,11 |
1,12 |
1,11 |
1,08 |
1,05 |
1,02 |
0,99 |
6 |
0,90 |
0,98 |
1,04 |
1,07 |
1,07 |
1,05 |
1,02 |
0,98 |
0,95 |
0,92 |
0,91 |
7 |
0,90 |
0,98 |
1,02 |
1,04 |
1,02 |
0,99 |
0,96 |
0,93 |
0,91 |
0,91 |
0,93 |
8 |
0,91 |
0,99 |
1,02 |
1,02 |
1,00 |
0,97 |
0,94 |
0,93 |
0,94 |
0,97 |
1,00 |
9 |
0,92 |
1,00 |
1,03 |
1,02 |
0,99 |
0,97 |
0,96 |
0,98 |
1,01 |
1,04 |
1,06 |
10 |
0,94 |
1,01 |
1,03 |
1,02 |
0,99 |
0,98 |
0,99 |
1,02 |
1,05 |
1,06 |
1,06 |
11 |
0,95, 1,02 |
1,03 |
1,01 |
0,99 |
0,99 |
1,01 |
1,04 |
1,05 |
1,03 |
1,01 |
|
12 |
0,95 |
1,02 |
1,02 |
1,00 |
0,99 |
1,00 |
1,02 |
1,03 |
1,02 |
0,99 |
0,96 |
13 |
0,95 |
1,01 |
1,02 |
0,99 |
0,99 |
1,00 |
1,01 |
1,01 |
0,98 |
0,96 |
0,96 |
14 |
0,95 |
1,01 |
1,01 |
0,99 |
0,99 |
1,00 |
1,01 |
0,99 |
0,97 |
0,97 |
0,-99 |
15 |
0,96 |
1,01 |
1,01 |
0,99 |
0,99 |
1,01 |
1,00 |
0,98 |
0,98 |
1,00 |
1,03 |
16 |
0,96 |
1,02 |
1,01 |
0,99 |
1,00 |
1,01 |
1,00 |
0,99 |
1,00 |
1,03 |
1,04 |
17 |
0,97 |
1,02 |
1,01 |
0,99 |
1,01 |
1,01 |
1,00 |
1,00 |
1,02 |
1,03 |
1,01 |
18 |
0,97 |
1,02 |
1,01 |
0,99 |
1,01 |
1,01 |
1,00 |
1,00 |
1,02 |
1,01 |
0,98 |
19 |
0,97 |
1,02 |
1,00 |
0,99 |
1,01 |
1,00 |
0,99 |
1,00 |
1,01 |
0,98 |
0,97 |
20 |
0,97 |
1,01 |
0,99 |
0,99 |
1,00 |
1,00 |
0,99 |
1,00 |
0,99 |
0,97 |
0,99 |
21 |
0,97 |
1,01 |
0,99 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
0,98 |
0,98 |
1,02 |
92 |
0,97 |
1,01 |
0,99 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
0,99 |
1,01 |
1,03 |
23 |
0,97 |
1,01 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,01 |
1,00 |
1,00 |
1,03 |
1,02 |
24 |
0,98 |
1,01 |
1,00 |
1,01 |
1,00 |
1,00 |
1,01 |
1,00 |
1,01 |
1,02 |
0,99 |
25 |
0,98 |
1,01 |
1,00 |
1,01 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,01 |
0,99 |
0,98 |
на рис. 6.6, а. Построим переходный процесс хвых(1) системы с такой АЧХ. Для этого «разобьем» АЧХ на ряд (наименьшее чис ло) трапеций, левая сторона которых совпадает с осью ординат, а сумма трапеций по амплитуде представляет заданную АЧХ. На рисунке 6.6, а показаны эти три трапеции — 1, 2, 3. Как можно заметить, некоторые трапеции могут не иметь «верхней площадки», т. е. являются вырожденными трапециями и пред ставляют треугольник. Отдельно для каждой трапеции строим соответствующий ей переходный процесс, используя данные табл. 6.1, в которой для каждого момента времени /выписывают значения 9^. Д) для своего вида трапеции г. Вид трапеции в
таблице характеризуется числом X,;, т. е. отношением отрезка ча стоты ©в—верхней «площадкой» трапеции сов к отрезку частоты— основанию трапеции сон, т. е. А,=сов/сои. Для вырожденной трапе ции — треугольника Х,= 0/сон = 0. Далее выписанные значения 0Х; (0 умножают на начальное (максимальное) значение А*
реальной амплитуды трапеции и получают переходный процесс от каждой трапеции.
138