Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 175
Скачиваний: 3
§ 40] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ СУММЫ ВЕЛИЧИН 151
где г — расстояние до звезды, связаны соотношением
|
m = |
9Й + р. |
(3.83) |
Функции |
распределения |
случайных величин m |
и ЗК |
известны. |
Найти функцию |
распределения р. |
|
Р е ш е н и е . Видимая величина ш звезды зависит от ее абсолютной величины и модуля расстояния. Но абсо лютная величина, определяющая мощность излучения звезды, и модуль расстояния, определяющий расстояние звезды, взаимно независимые случайные величины. Функ цию распределения <р (М) (функция светимости) можно для окрестностей Солнца считать известной, функция распределения звезд по видимым величинам А (т) (функ ция блеска) в данном направлении определяется из наблю дений. Обычно требуется найти функцию распределения ф (р) в данном направлении, что определит распределение звезд в этом направлении по расстояниям. Характеристи ческие функции
|
оо |
|
ф т (г) = |
^ eitmA (т) dm., |
|
|
— о о |
|
|
ОО |
|
Фж (*)= |
5 eitMy(M)dM, |
(3.84) |
|
— ОО |
|
|
ОО |
|
Фр (г) |
§ е“рф(р) dp |
|
|
— оо |
|
на основании (3.81) и (3.79) связаны соотношением
Фт (*) = Ф«(*)Фр (<)• |
(3.85) |
Находя из (3.85) Фр (t) и возвращаясь при помощи обрат ного преобразования Фурье к функции ф (р), получаем
*<Р>“ т И |
<3.86) |
|
— ОО |
Равенство (3.86) вместе с первыми двумя равенствами (3.84) дает решение задачи. На практике полученное реше ние нельзя использовать, так как функция блеска из на блюдений определяется не на всем бесконечном интерва-
152 СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР 1гл. а
ле, а до некоторой, предельной для телескопов, видимой величины т.х.
После того как найдено г|з (р), функция распределения по расстояниям определяется из соотношения, выводимого
при помощи (3.82): |
|
/ (г) dr = ф (р) dp = ‘ф (5 lg г - 5) ~ In 10 dr. |
(3.87) |
§ 41. Суммирование большого числа случайных величин. Метод А. А. Маркова
Пусть
(3.88)
— случайный вектор. Рассмотрим случайную величину, равную сумме компонентов этого случайного вектора:
П |
(3.89) |
2 = 2 4 |
Требуется найти распределение Z, если плотность веро ятности / (хг, х2, . . ., хп) случайного вектора задана.
Согласно общему правилу
fi(z)dz = Р ^z ---- | - d z < Z < z + -|-dz^
(3.90)
Q
где интегрирование распространено на область Q в п-мер- ном пространстве, удовлетворяющую условию
П
(3.91)
Используем рассмотренное в § 28 интегральное выра жение
o o
t |
(3.92) |
— oo
§ 41] СУММИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 153
равное 1, если | х 0 | <Са и равное 0 в противоположном случае. Из свойств интегрального выражения (3.92) следу-
|
a — -^-dz, |
а х0 = z — |
П |
||
ет, что если положить в (3.91) |
2 ж/г> |
||||
то равенство (3.90) можно написать в виде |
|
/с=1 |
|||
|
|
||||
sin l ~2~ t dz |
г |
p |
- i( (2- |
2 |
*t) |
h(z)dz = - L I |
dt ^ ... |
} |
e |
k=l |
x |
X / (si,. .. , xn) dx1. .. dxn, |
(3.93) |
||||
где интегрирование распространено уже на все п-мерное пространство.
Так как dz бесконечно мало, то
|
$ e-Uzdt S |
и 2 |
|
= |
S е |
fc=1 X |
|
|
|
X / (жц |
. . . , хп) dxx ... dr„. (3.94) |
Равенство (3.94) дает общее решение задачи суммирова ния случайных величин. Оно показывает, что
П
« у xft
е/ (xlt .. ., хп) dxx ... dxn
является характеристической функцией для f1 (z).
Если все случайные величины (3.88) взаимно незави симы и одинаково распределены, то равенство (3.94) принимает вид
оооо
/i(z) = ~ ~ J |
J eitxf ( x ) d x j . |
(3.95) |
— о о |
— оо |
|
Равенство (3.95) можно было бы написать сразу, исполь зуя свойства характеристической функции.
154 СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР [ГЛ. 3
§ 42. Случай, когда сумма одинаково распределенных взаимно независимых сучайных величин при п —>зо
имеет математическое ожидание и дисперсию |
|
Пусть |
|
Zn = Х г + Х 2 + . . . + Х п, |
(3.96) |
где X lf Х 2, . . Х п — независимые случайные величины с одинаковым распределением с плотностью / (х). Пусть
п —>- сю. Так как |
согласно (3.96) |
|
|
|
||
|
|
|
Zn = nXt |
|
|
|
|
|
|
aln - по2х , |
|
(3.97) |
|
то для того, чтобы существовали lim Zn = Z и lim cr|n = |
al, |
|||||
необходимо |
не только существование |
X и ох , |
но |
при |
||
п -*■ оо должны |
выполняться соотношения |
X —>■О, |
||||
ах |
0, какДг1-const. |
|
|
|
||
|
Допустим, что Z и о | существуют. |
Тогда можно на |
||||
писать (0 |
6 ^ |
1): |
|
|
|
|
оо
?eitxf(x)dxV
— I- -S- |
- 4 |
- г |
■" х * <*•“ - * > ) ] ” - |
= нш[» + | 4 - г - 4 |
- г * |
+ |
» ( 4 - ) Г “ ^ ,'’~ 5- <3-98> |
Выражение в правой части (3.98) является характери стической функцией для Д (z). Сравнение ее с решением (2.106) задачи 52 показывает, что функция Д (z) является нормальной функцией с математическим ожиданием и дис персией, определяемыми равенствами (3.97).
Итак, если существуют lim пХ и lim а2х , сумма п одина-
П—>оо п-*оо
ково распределенных взаимно независимых случайных величин при /г -> оо имеет асимптотически нормальное распределение.
S 43] |
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ХОЛЬЦМАРКА |
155 |
§ 43. Распределение Хольцмарка
Пусть частицы некоторой природы равномерно запол няют бесконечное пространство. Допустим также, что каждая частица отталкивает (притягивает) некоторую контрольную частицу с силой, обратно пропорциональ ной квадрату расстояния
- £ • |
(3-99) |
На контрольную частицу действуют |
силы отталкивания |
(притяжения) всей совокупности частиц, заполняющих бесконечное пространство. Так как частицы не распола гаются строго симметрично по отношению к контрольной частице и равномерность их распределения в пространстве означает лишь, что математическое ожидание числа ча стиц в объеме v пропорционально величине этого объема и не зависит от его формы и места расположения в про странстве, то суммарная сила отталкивания (притяже ния) в общем случае нулю не равна. Она принимает различную величину и имеет различные направления в за висимости от случайных флуктуаций в распределении ча стиц. Поэтому вектор суммарной силы является случай ным. Найдем его распределение.
Рассматриваемая задача была впервые решена Хольцмарком для газа, состоящего из положительно заряжен ных ионов. На контрольную положительно заряженную частицу при этом действует кулонова сила отталкивания (3.99) для каждого иона, где к равно помноженному на постоянную кулона произведению электрических заря дов иона и частицы.
Ту же самую задачу для сил притяжения представляет бесконечно протяженное звездное поле. Звезды в нем распределены равномерно. На контрольную звезду дей ствует ньютоновская сила (3.99), где х равна произведе нию масс контрольной звезды и звезды поля на постоян ную тяготения. Нужно определить случайный вектор — вектор силы тяготения, прилагаемый всем бесконечным полем к контрольной звезде. ^
Для простоты будем считать, что массы всех звезд поля одинаковы. Определим сначала плотность вероятности случайной величины — проекции вектора результирую-
156 |
СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР |
1ГЛ. 3 |
щей силы на произвольное заданное направление. Эта случайная величина равна алгебраической сумме случай ных величин X — проекций векторов сил притяжения отдельных звезд на заданное направление. Каждая из X дается равенством
X = cos ф, (3.100)
где ф — угол между заданным направлением и направле нием на звезду.
Допустим, временно, что звездное поле ограничивается сферой радиуса г0. Бесконечное поле будет построено, если положить г0 оо. Так как все положения отдельной звезды поля внутри сферы равновероятны, то функция распределения г определяется равенством
/о(г) = 4 |
г2- |
|
(3.W1) |
'о |
|
|
|
Используя (3.100), можно написать |
|
||
3 |
г2 |
1 |
|
g (х, г) dx dr = gx (ф, г) dq> dr — — |
dr - - у sin фdq> = |
|
|
ro |
|
|
|
|
= |
■ \ - r*dr dx. |
(3.102) |
|
|
2roK |
|
Чтобы получить / (а;), необходимо (3.102) проинтегри ровать по всем значениям г. Нужно при этом иметь в виду, что должно выполняться условие г ^ г0, и в то же время, согласно (3.100),
г < ] / т 7 |
Поэтому для
|
м |
> 4 |
|
имеем плотность вероятности |
|
||
|
V — |
|
|
|
У \х\ |
|
-V» |
Пх) |
3 |
г4 dr |
|
= |
(3.103) |
||
\1О03
i *3] |
Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Е Х О Л Ь Ц М А Р К А |
157 |
Для |
|
|
|
1 * 1 < 4 - |
|
плотность вероятности |
|
|
|
гЫг = 4 г — |
(3.104) |
|
10 х |
|
Из физических соображений очевидно, что Ж равно нулю. Это следует и из того, что X принимает значения в промежутке [—оа, оа], а его плотность вероятности — функция четная. Но центральный момент второго поряд ка, как это следует из (3.103), равен оо, дисперсия X не существует. Поэтому результаты § 41 к рассматривае
мой задаче неприложимы. Нельзя |
утверждать, что при |
||
0 -> оо и числе звезд |
поля |
|
|
п |
4 |
з |
(3.105) |
— |
ЯГ0У |
||
(v — среднее число звезд поля в единице объема), также
П |
|
стремящемся к оо, Z = 2 |
имеет асимптотически нор- |
г = 1 |
|
мальное распределение. |
|
Для решения задачи рассмотрим полученное в § 41 выражение (3.95) для плотности вероятности:
оо |
оо |
|
к (г) = -4г \ |
e~itzdt [ ^ eitxf (х) dx j . |
(3.95) |
Значение внутреннего интеграла в (3.95) можно найти, используя плотность вероятности, задаваемую выраже ниями (3.103) и (3.104). Его можно получить также, заметив, что математическое ожидание
оо |
|
Meitx — ^ eiixf(x)dx |
(3.106) |
можно вычислить, используя определение (3.100) случай ной величины X как функции случайного вектора (г, ф).