Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 174
Скачиваний: 3
158 |
СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР |
£ГЛ. 3 |
Поэтому, используя также (3.101), находим
^ |
eitxf (х) dxj |
П |
® |
|
|
|
= ^ ^e i\l\y.r->co; ' 1 J L |
r 2 |
s i n ср |
||||
|
|
о |
о |
|
|
|
|
с |
Х‘ъп1ъ |
|
|?|кг-* |
|
1 1п |
|
[ т |
$ |
|
|
||
|
|
|
|
)]<&■} |
||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
c-1/*nVi |
sm |
Ml* |
dr |
|
|
- [ |
v |
s |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
= -^-(1*1 к)"''2J у-'^вту dy^ , |
||
где |
а =- 11 j пс,'т~л/>, |
с = - у яу. |
|
|
||
Применив в полученном выражении формулу инте грирования по частям, находим
оо
lim |
£ ^ |
eitxf(x)dx 1 = |
lim j у - ( I ^ I *)"2 |
a''” 2sin a -f- |
||||
|
— OO |
|
-J |
n —*-oo |
|
|
|
|
1 |
^ |
—»/ |
8 |
1/ |
|
OO |
|
|
|
^ y-V’cosydy |
| = |
||||||
+ |
-j-r-a '*cos a ----a |
-2sin a |
15 |
|||||
1 |
15 |
|
*15^ |
|
|
|
|
|
= Jim[l — |
- (я 11 1x)"2v - L + O(»-/•)j |
! V/2 |
(n|f|x)“ »v |
|||||
|
|
|||||||
Поэтому согласно (3.95) находим плотность вероятно сти случайной величины Z — проекции на произвольное заданное направление силы, прилагаемой бесконечным звездным полем к контрольной звезде:
|
оо |
|
h (z) = |
jj e - ^ e - ^ ’dt, |
(3.107) |
где |
— оо |
|
|
|
|
a = |
(ях)’’2V. |
(3.108) |
Если для eitz использовать формулу Эйлера, то ввиду четности относительно t второго множителя под знаком интеграла интеграл от мнимой части равен нулю и можно
§ 43 |
Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Е Х О Л Ь Ц М А Р К А |
159 |
|
окончательно |
написать |
оо |
|
|
|
|
|
|
/i(z)'= |
cos(*z) trat>'‘dt. |
(3.109) |
|
|
о |
|
Все направления силы, прилагаемой бесконечным звездным полем к контрольной звезде, равновероятны. Выражение (3.109) определяет плотность вероятности проекции этой силы на произвольное направление. По этому согласно задаче 65 плотность вероятности для моду ля силы р определится равенством
/. (Р) = — 2рШ , |
(3.110) |
т. е. |
|
ОО |
|
U (Р) = ^ pt Sin ^Р) e~at,l‘dt- |
(3.111) |
О |
|
Распределение (3.111) называется распределением Хольцмарка. Пусть и = ра_г*. Введем также новую пере менную интегрирования t' = р£, но затем штрих отбро сим. Равенство (3.111) примет вид
|
/2(р) = |
|
t sin te^Uu^;,dt. |
(З.Ц2) |
|
|
|
|
о |
|
|
Значения функции Н (и) = |
t sin tc-V^’^dt приведены |
||||
в таблице 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и'ц а 3 |
|
и |
Я(и) |
и |
Щи) |
и |
Я(и) |
0,0 |
0,000000 |
1,4 |
0,35620 |
10,0 |
0,00556 |
0,2 |
0,016666 |
1,6 |
0,36726 |
15,0 |
0,00188 |
0,4 |
0,063084 |
1,8 |
0,36004 |
20,0 |
0,00089 |
0,6 |
0,129598 |
2,0 |
0,33918 |
30,0 |
0,00031 |
0,8 |
0,203270 |
2,5 |
0,25667 |
40,0 |
0,00015 |
1,0 |
0,271322 |
3,0 |
0,17600 |
50,0 |
0,00009 |
1,2 |
0,324020 |
5,0 |
0,04310 |
|
|
160 СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР [ГЛ. 3
Таблица показывает, что очень малые и очень большие модули силы маловероятны. Наибольшее значение плот
ность вероятности имеет |
около значения р, равного 1,6. |
оо |
|
Интеграл ^ р/2 (р) dp |
сходится, следовательно, мате- |
О
матическое ожидание модуля силы существует. Но инте-
о о |
|
грал § р2/2 (р) dp |
расходится, поэтому дисперсия модуля |
о |
Это вызвано тем, что, как показывает |
силы бесконечна. |
таблица 3, при больших значениях и (и следовательно, р) плотность вероятности убывает медленно.
§44. Центральная предельная теорема
Взадаче 61 было доказано, что сумма любого числа нормально распределенных случайных величин есть нор мально распределенная случайная величина. В § 42 уста новлено, что сумма п одинаково распределенных случай ных величин при п оо имеет асимптотически нормаль ное распределение.
Центральная предельная теорема обобщает этот ре зультат. В ее условии не требуется, чтобы слагаемые случайные величины были одинаково распределены. Рас пределения слагаемых случайных величин могут быть произвольными, если не считать некоторого условия, которое обеспечивает, чтобы при гг -> оо никакая огра ниченная группа слагаемых^не доминировала в общей сумме.
Центральная предельная теорема, доказанная А. М. Ляпуновым, формулируется так (мы ее приводим без до казательства).
Пусть
Z = X, + |
Ха + |
. . . + |
х п' |
(3.113) |
||
— сумма независимых |
случайных |
величин, |
имеющих |
|||
математические |
ожидания |
МХ% = at, |
дисперсии |
|||
М (Xt — at)2 — |
о*, а абсолютные |
центральные моменты |
||||
третьего порядка М | X t — аг |3 = |
|
|
П |
|||
уг. Величины а = 2 «о |
||||||
I 45] ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК 161
а2 = 2 of соответственно равны математическому ожида-
i=l |
|
Тогда, |
если выполняется условие |
|
нию и дисперсии Z. |
||||
П |
т, |
|
|
|
2 |
|
при п -± о о, |
(3.114) |
|
^ |
----->0 |
|||
то для любого заданного Z интегральный закон распреде ления
— ОС
равномерно по z.
Таким образом, при выполнении условия (3.114) сумма случайных величин асимптотически нормальна.
Если число слагаемых в (3.113) конечно, но велико, то распределение Z близко к нормальному.
На основании центральной предельной теоремы и ре зультатов, изложенных в предыдущих параграфах, мож но утверждать, что чем больше слагаемых в сумме (3.113) и чем ближе распределение каждого слагаемого к нормаль ному распределению, тем ближе к нормальному распре делению и распределение Z.
Этот вывод подчеркивает важную роль нормального распределения в теории вероятностей.
§ 45. Функция распределения случайных ошибок наблюдений
Допустим, что истинное значение некоторой величины есть х 0. Измеряя эту величину, как правило, получают результат, отличный от х0. Если измерение выполняется многократно, то результаты измерений не только отлича ются от х0, но в большинстве случаев различны и между собой. Обозначим результаты измерений:
^1, |
• • |
•, |
. |
Разности |
|
|
|
64 = xt — х 0, |
i = |
1, 2, . . ., п, |
(3.116) |
назовем ошибками измерений величины х 0.
6 Т. А. Агекян