Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

§ 45] ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК 163

инструментом от проезжающих в отдалении автомашин, мелких сейсмических толчков, хлопаний дверьми в со­ седнем здании и т. д., направление оптической оси ин­ струмента и, следовательно, положение нити изменяются, не соответствуют заданным. Точно так же влияют тем­ пературные эффекты — изменения температуры у раз­ личных частей инструмента, вызываемые движениями воздуха, остыванием ночью различных сторон башни, в которой установлен телескоп, влиянием самого наблю­ дателя, занимающего в разные моменты различные поло­ жения относительно инструмента и т. д. Случайные дви­ жения в атмосфере вызывают видимые смещения, мерца­ ние звезды. Сам наблюдатель в разные моменты имеет различную психологическую настроенность на измерения, его реакция на наблюдаемое различна, ее изменения не поддаются учету. Он то фиксирует момент совпадения звезды с нитью несколько раньше, чем он это делает обыч­ но, то запаздывает.

Каждый из перечисленных для данного вида наблю­ дений эффектов сам является суммой большого числа мел­ ких эффектов, которые невозможно учесть. Можно лишь утверждать, что каждый мелкий эффект вносит некоторую ошибку, которая меняется от измерения к измерению, является случайной величиной, распределенной по не­ которому закону. Например, если бы никакие влияния, вызывающие ошибки, не действовали, кроме одного — сейсмических колебаний почвы, появляющаяся в измере­ ниях ошибка была бы случайной величиной, закон рас­ пределения которой определялся бы свойствами сейсми­ ческих явлений для данного места Земли и характером установки телескопа — его способности амортизировать толчки.

Можно принимать меры к уменьшению случайных ошибок. И это играет важную роль при организации измерений. Можно, например, в рассмотренной выше задаче наблюдений принять меры к тому, чтобы темпе­ ратурные влияния сказывались по возможности меньше: устроить вентиляцию башни (что приводит к выравнива­ нию температуры отдельных частей инструмента), по­ красить башню так, чтобы она меньше нагревалась днем солнцем, можно строить обсерватории дальше от до­ рог с сильным движением и вне сейсмических районов, в

6*

а —средняя квадратическая случайная ошибка измерения.

которая тоже есть случайная величина, и найдем ее плот­ ность вероятности. Согласно общему правилу

р (z < Хп < Z + dz) =

Так как интегрирование в я-мерном пространстве выпол-

п

няется в области, где 2 х\ постоянна, равна z, то под-

i=l

интегральный, множитель можно вынести за знак инте­ грала:

я-мерного пространства, в которой выполняется условие

п

i=l

являющиеся уравнениями концентрических с центром

ный вектор {хх, х2, . . хп) попадает в область «-мерного пространства, заключенную между гиперсферами (3.124) и (3.125), то условие (3.123) будет удовлетворено, в про­ тивном случае условие (3.123) удовлетворено не будет. Следовательно, интеграл в правой части (3.122) равен объему, заключенному между концентрическими гипер­ сферами (3.124) и (3.125). Объем гиперсферы «-го порядка пропорционален «-й степени ее радиуса. Например, объем трехмерной сферы пропорционален кубу радиуса. А объ­ ем области, заключенной между двумя концентрическими гиперсферами, если разность их радиусов бесконечно мала, пропорционален (« — 1)-й степени радиуса, по­ множенной на толщину слоя между гиперсферами, т. е. на разность радиусов гиперсфер. Таким образом, искомый

%п может принимать значения от 0 до + °°- Выполняя нормировку, получим окончательное выражение для

плотности вероятности случайной величины у%: