Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 172
Скачиваний: 3
168 СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР [ГЛ. 3
в чем можно убедиться непосредственной проверкой. Поэтому
h (Уи Уг) dyxdy2 = / (х) dx = |
е~ т (v^ v^dyxdy2. (3.134) |
|
У 2 я |
При этом принятое в теореме Муавра — Лапласа условие
пх3->• 0 заменяется условием -> 0, n~'hjl О- Распределение (3.134) симметрично относительно случай ных величин Y x и У2. Следует, однако, иметь в виду, что, как это вытекает из (3.131) и (3.128), задание одной из
этих случайных |
величин |
с достоверностью |
определяет |
||
другую. |
теперь |
полную |
систему |
событий |
|
Рассмотрим |
|||||
(ili, А 3, . . ., А к), |
|
определяемую соответствующими ве |
|||
роятностями рх, р2, |
. . ., p k, и мультиномиальное распре |
||||
деление |
|
|
П\ |
|
|
Рп {тпх, т 2, . . . , |
тпк) |
|
|
||
mi! m2!. . . пгк\ р?'р?г ■■■р1 ' |
|||||
дающее вероятность того, что при п испытаниях события
Ах, Л2, . . .,. A h происходят соответственно mx, т2, • • •,mh раз. При этом
кк
2 Pi= !> |
2 mi = п. |
(3.135) |
i= l |
1=1 |
|
Введем переменные
тп. — яр.
Уг - ' Г— , г = 1 ,2 ,..., fe. (3.136)
У ЯЛ
Основываясь на (3.134), методом математической индук
ции |
можно |
показать, |
что при |
п |
оо и |
п~' гу3-> О, |
|
i = |
1, |
2, . . ., к, справедливо асимптотическое |
равенство |
||||
|
|
ft {Уи У2. |
|
|
|
(3.137) |
|
Это |
и |
есть |
обобщенная |
теорема |
Муавра — Лапласа. |
||
I 47] |
ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА — ЛАПЛАСА |
169 |
Из условия (3.135) следует, что любая из случайных величин
Y t = |
mj-npj |
i = i , . . . , k , |
определяется, если заданы остальные к — 1 случайных величин. Поэтому в распределении (3.137) можно число переменных понизить на единицу, получив, таким обра зом, аналог распределения (3.129). Рассмотрим для этого наряду со случайным вектором Y = (Ylt Y 2, . . ., Y к) случайный вектор V = (Fb V2, . . ., F J, определяемый равенством
V = B Y , |
(3.138) |
где В — ортогональная матрица. Вследствие ортогональ ности В
кк
2 |
V! = 2 У?. |
(3.139) |
i= 1 |
г=Х |
|
Ортогональных матриц бесчисленное множество, и мы можем задать еще одно равенство, связывающее какиелибо компоненты случайных векторов Y и V. Примем
в качестве такого равенства условие
к
и , = 2 VJi Yi. |
(3.140) |
i=1 |
|
На основании (3.136) из условия (3.140) следует, что |
||||||
|
к |
|
|
|
|
|
v k |
= -у=- 2 |
(mt — npi) = |
-у=- (п — п) = 0. |
(3.141) |
||
Таким образом, существует ортогональное преобразо |
||||||
вание вектора Y в вектор У, |
|
обеспечивающее |
условие |
|||
V* = 0. |
|
|
|
|
|
|
Теперь можно написать |
|
|
|
|
||
gk(г>1, |
vk) dvxdv2 ...d v s = |
|
|
|
||
|
==\~2nj |
6 |
к—l |
|
dy1dy2...dyk= |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
V |
|
|
||
|
|
- -j |
2 j |
ч |
(3.142) |
|
|
|
— Ce |
i=1 |
|
dv1 dv2... dvk_x. |
|
170 |
СЛУЧАЙНЫЙ |
ВЕКТОР |
ЕГЛ. 3 |
Из |
(3.142) следует, что |
V2, . . |
Vh-i являются |
взаимно независимыми нормально распределенными слу чайными величинами с математическим ожиданием, рав ным нулю, и дисперсией, равной единице.
На основании результатов § 46 заключаем, что случай
ная величина |
|
|
|
|
|
Н-1 |
|
= v = 2 т? = 2 |
пр{ |
= 2 Vi |
(3.143) |
г=1 |
|
1=1 |
|
при |
п |
со, |
гг'!* (mi — npi)3(npi)-’>— 0, |
i = l , 2 , . . . |
||||
..., к, имеет асимптотическое раснределение |
|
|||||||
|
/(»)•= |
2 |
|
|
|
|
(3.144) |
|
|
|
§ 48. Моменты случайного вектора. |
||||||
|
|
|
Коэффициент корреляции |
|
||||
Математическое ожидание |
функции |
|
||||||
|
|
|
|
|
П |
|
|
(3.145) |
|
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
называется моментом |
порядка 2 |
относительно начал |
||||||
{аи а2, . . ., ап) |
случайного |
г—1 |
Х 2, . ■., Х п). |
|||||
вектора (-Х4, |
||||||||
|
Если все аг = |
0, то моменты называются начальными, |
||||||
если все а; = |
MXi, то моменты называются центральными. |
|||||||
Математическое ожидание |
X t |
равно |
|
|||||
|
■^i ~ |
\ |
\ |
\ |
ХЛ (ж1>х2, ■■- , хп) dxx dx2. . . dxn |
|||
а дисперсия |
X t— |
|
|
|
|
|||
|
оо |
ос |
со |
|
|
|
|
|
Oi |
^ |
^ |
^ |
(*^г |
-^г) / (^l) *^2) • **?%п) dX\ dx<2, • . . dxn. |
|||
— оо — оо |
— оо |
§ 48] МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА 171
Эти определения совпадают, очевидно, с определениями, данными ранее, так как
СО ОО ОО
^ |
^ ... |
(х|, Х%, • • • , Хп) (lxj(Ix^...dj'i -jdXi_j. . . dxn= f (*T;)• |
— 00 — 00 |
— 00 |
|
ми |
Моменты являются информативными характеристика |
|
случайного вектора. |
||
Для двумерного случайного вектора (X , Y) важной характеристикой является смешанный центральный мо мент второго порядка:
оо |
оо |
|
[H,i = I |
$ (х — Z ) ( y — Y)f{x,y)dxdy. |
(3.146) |
—00—00
Рассмотрим смысл этой характеристики. Подынтеграль ное выражение в (3.146) положительно, когда отклонения х и у от математических ожиданий имеют одинаковый знак, и отрицательно, когда они имеют разный знак. Если отклонениям одного знака соответствуют, в общем, большие значения функции / (х , у), чем отклонениям разного знака, то интеграл (3.146) оказывается положи тельной величиной. В противоположном случае он отри цателен.
Если X viY взаимно независимы, то
ОО оо
P i,i= $ |
(х — %) h (х) dx § (у — У )/2 {у) dy — 0, (3.147) |
— о о |
— оо |
так как центральные моменты первого порядка всегда равны нулю. Обратное утверждение неверно. Из равен ства нулю р.1,1 не следует, что X и Y взаимно независимы. Оно указывает лишь, что в среднем положительные от клонения одной из случайных величин X, Y компенси руются отклонениями определенного знака у другой из них. Можно сказать, что равенство нулю p.i,i означает
отсутствие линейной статистической |
зависимости между |
||
X и Y. |
р.1,1 |
0, то между X и Y |
существует положи |
Если |
|||
тельная, |
а при |
р.!,! < 0 — отрицательная линейная ста |
|
тистическая зависимость.
pi,i имеет размерность произведения размерностей случайных величин X и Y. Удобно ввести в рассмотрение