Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 156
Скачиваний: 3
232 |
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ |
[ГЛ. 9 |
величина /с-й по яркости звезды останется неизменной. Вероятность этого события равна 1 — kdt — N (т) dt. Следовательно, при т = т
Ф (0, т; dt, т) = 1 — kdt — N (т) dt. |
(5.53) |
Выражения (5.49), (5.52) и (5.53) полностью опреде ляют переходные вероятности рассмотренной случайной функции. Рассматриваемый процесс, очевидно, является чисто разрывным.
З а д а ч а 79. Требуется найти переходную вероят ность L (0, $;dt, р + hfi) dh, описывающую случайный про цесс — изменение квадрата скорости звезды в звездном поле вследствие случайных двойных сближений со звез-
дамиполя. Р = |
—отношение квадрата скорости звезды |
||||||
к квадрату |
средней квадратичной скорости |
звезд |
поля. |
||||
L (О, Р; |
dt, |
Р + |
Щ) |
dh есть |
вероятность |
того, |
что за |
время |
dt изменение |
Р будет |
заключено в |
промежутке |
|||
[/гр, (h -f- (й)р] при условии, что в начальный момент р=
= р. Воспользоваться соотношением |
|
|
|
||
h = |
g2ur* |
Гgkw- |
+ 1 _ |
, |
(5.54) |
|
‘ + ljir |
|
|
|
|
полученным С. Чандрасекаром для случая, когда массы всех звезд одинаковы. Здесь g — прицельное расстояние между сближающимися звездами, т. е. то наименьшее рас стояние между ними, которое было бы достигнуто в слу
чае |
движения без |
взаимодействия |
по прямым линиям, |
|
р — произведение |
массы звезды на |
постоянную |
тяготе |
|
ния, |
k = vjv — отношение скорости звезды поля, |
с ко |
||
торой происходит сближение, к скорости рассматривае мой звезды, а — угол между векторами скоростей этих звезд, s = cos 0 — косинус угла между плоскостью орби ты при сближении и плоскостью, проходящей через век тора скорости звезд (если бы они выходили из одной точ
ки), w — относительная |
скорость звезд, |
определяемая |
равенством |
|
|
w2 = (1 -f |
к'2 — 2к cos а) |
(5.55) |
Функция распределения скоростей звезд поля / (к) из вестна.
§ 65] |
ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ |
233 |
Р е ш е н и е . При двойном сближении звезд Я , S, К , сс, Q являются случайными величинами (как и раньше, чтобы отличать случайные величины от значений, кото рые они принимают, обозначаемых в рассматриваемом случае h, s, к, a, g, использованы прописные буквы или полужирный шрифт). Четыре последние из них взаимно независимы и полностью характеризуют сближение. Ма тематическое ожидание числа сближений за время dt бесконечно мало. Оно равно вероятности, что за время dt произойдет одно сближение. Рассмотрим случайные векторы (Я, р, К, a, G) и (S , р, К , a, G). Справедливо равенство
/(1) (А, р, к, a, g) dhdp dk da dg dt =
= /(2)(s, P, k, a, g) ds d$dk da dg dt, (5.56)
каждая часть которого равна вероятности сближения с заданными характеристиками за время dt. Математи ческое ожидание числа сближений за время dt с при цельными расстояниями, заключенными в промежутке
[g> g+ dg], равно
D2ng dg w dt; |
(5.57) |
функция распределения угла а есть sin а , а функция рас пределения S
fs(s) = ^ y = = = . |
(5.58) |
Таким образом,
fa)(h, 3, к, a, g) dh d$ dk da dg dt
= f K(k)dk |
sin a da- D2ngdgwdt. (5.59) |
Чтобы получить плотность вероятности перехода, нужно в (5.59) заменить s и ds при помощи равенства (5.54) и затем проинтегрировать (5.59) по всем возможным значениям g, а и к:
L (0, 3; dt, 3+ АЗ) dh
= Ddh dt |
X |
■, f g " k ‘!-w '1 sin 2 a |
/ |
V — p -------- |
V 2 |
X sin awg dkdadg. (5.60)
9 T. Л. Агекян
234 |
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ |
[ГЛ. 5 |
Величина w дается равенством (5.60). Область интегриро вания G определяется неравенствами
|
е > о, |
|
(5.61) |
— 1 |
cos а + 1) |
(5.62) |
|
|
к > 0, |
(5.63) |
|
|
+ |
|
< 5 М > |
- |
1 < h < |
к2. |
(5.65) |
Неравенства (5.61) |
— (5.64) |
очевидны. |
(5.64) вытекает |
из условия |s| = |c o s 6|<; 1 и (5.54). Неравенство (5.65)
показывает, что квадрат скорости звезды не может умень шиться на величину, большую, чем сам квадрат скорости, и не может увеличиться больше, чем на квадрат скорости звезды, с которой произошло сближение.
Выполняя интегрирование по области G (предлагаем это проверить читателю), находим для случая h !> О, т. е. когда скорость звезды после сближения возрастает,
L (0, Р; dt, р -f- ЛР)dh =
Vl+h
= 7?m T D ^ d‘ [ \ ^ - h ) Y w ^ k h i . k ) d k +
УХ
оо
+ 5 т ( л + т ) ^ ^ й ] - (5-66)
Vi+iT
Если распределение скоростей звезд поля максвелловское,
2
dk,
то после подстановки его в (5.66) и использования форму
лы интегрирования по частям получаем для случая h |
0 |
||||
L { 0 , p;df,p + |
fcP) = |
|
1 |
■№'+b) |
|
_8 ]4бл |
dt |
|
|||
^ (4fc2+ h)e |
|
||||
dk. (5.67) |
|||||
~ |
(F)s pft» |
|
|
|
|
§ 66j |
З а д а ч и о в ы б р о с а х |
235 |
Для случая h 0 аналогично находим (при максвел ловском распределении скоростей звезд поля)
L (О, Р; dt, р + |
Щ = |
V1+д |
|
|
|
г. |
о |
|
|
- |
- - |
J(4*а - h ) e ~ ~ |
dk. (5.68) |
|
|
( ) |
0 |
|
|
§ 66. Задачи о выбросах
Во многих приложениях теории случайных процессов
необходимо исследовать вероятностные характеристики пересечения случайной функции некоторого заданного Уровня.
Если при некотором значении аргумента случайная функция пересекает снизу вверх (или, если так условить ся, сверху вниз) некоторый фиксированный уровень х = = а, то говорят, что произошел выброс. Как только пос ле этого при некотором значении аргумента случайная функция пересечет уровень х — а в обратном направле нии, говорят, что выброс закончился. Очевидно, что вы брос в рассматриваемой задаче есть явление случайное. Его можно описывать при помощи различных характе
ристик, например, вероятностью, что в |
промежутке |
ft, t -f dt] произойдет выброс, распределением |
выбросов в |
промежутке [tu /2], средней длиной выбросов в проме жутке [*!, г2] и т. д.
Для того чтобы выброс произошел в промежутке необходимо, чтобы в момент t значение случай ной функции X (t) было меньше а, а в момент t + dt
стало больше а. Используя теорему умножения вероят ностей, можно определить вероятность этого события:
P [ X ( t ) ^ a < X ( t + dt)] =
а оо
= § fl (t, х) dx ^ cp (t, х\ t + |
dt, х') dx\ |
(5.69) |
|
— оо |
а |
|
|
Если случайный процесс стационарный, то (5.69) от t |
|||
не зависит: |
|
|
|
Р [X {t) < |
а < X « + dt)1= |
с dt, |
(5.70) |
9*
236 |
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ |
1ГЛ. 5 |
где величина
аоо
с ~ -jf ^ |
/1 (0, х) dx ^ ср (0, х\ dt, х') dx' |
(5.71) |
— оо |
а |
|
вычисляется, если заданы одномерная плотность вероятности случайного процесса и функция переходных вероят ностей.
Для стационарного случайного процесса с дискрет ным пространством значений
cdt — ^ |
Р (0, %г) 2 Р(0> х%, dt, Xj). |
(5.72) |
х - ^ . а |
x f > a |
|
1 |
3 |
|
Если вероятность выброса в промежутке длиной dt равна cdt, то математическое ожидание числа выбросов в промежутке длиной Т равно
сТ. (5.73)
Вероятность того, что в промежутке длиной Т не прои зойдет ни одного выброса, равна
е~сТ, |
(5.74) |
а вероятность того, что в этом промежутке произойдет хотя бы один выброс, равна
1 — е-ст. |
(5.75) |
Математическое ожидание времени пребывания ста ционарной случайной функции над уровнем а в проме жутке длиной Т равно
оо
ЬТ = т\ f1(0,x)dx |
(5.76) |
а |
|
или, для дискретной случайной функции, |
|
ЪТ = Т 2 Р (0, Xi). |
(5.77) |
Поэтому математическое ожидание продолжительности