Файл: Юзбашев М.М. Методы изучения динамики распределений и зависимостей.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.06.2024

Просмотров: 88

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

динамическая ошибка

 

 

 

 

 

m- = -

^

 

 

 

 

 

V п

 

 

В нашем примере

 

 

 

 

,

0,298 | 0,5 +

0,298

, п п 0 3 7

,

ч , 7 . .

mfj —±

—---- -—

------ =

± 0,023/,

или +

2,37%;

V126

т* = ± = ± 0,0159, или ± 1,59%.

Общая ошибка коэффициента вариации

,геобщ= + у 2 ,372.+ i )59г = + 2,85 %.

При определении динамической ошибки для всех по­ казателей использовалась одна и та же формула, ибо без­ различно, какая величина колеблется: средняя, или иной показатель распределения, любой из них в динамике рас­ сматривается как некоторый колеблющийся относитель­ но своего тренда случайным образом уровень. Если ко­

лебания являются случайными, как это

и имеет место

в случае колеблемости распределения

по урожайности,

и они подчинены закону нормального распределения, то для определения предельной ошибки с заданной вероят­ ностью можно использовать нормальное распределение вероятностей. В этом случае можно с вероятностью, при­ мерно равной 0,95, утверждать, что ошибка изучаемой величины не выйдет за пределы ± 2т об1«. Если необходи­ мо определить стохастическую ошибку для отдельного годового уровня показателя, то предельная динамическая ошибка составит ± 2 5 (/), т. е. будет равна удвоенному абсолютному показателю колеблемости изучаемого по­ казателя. Теория определения точности и надежности ста­ тистических характеристик распределений, зависимостей, а также и других показателей нуждается в специальной углубленной разработке.

Перейдем к изучению динамики показателей, харак­ теризующих асимметрию и эксцесс распределения. Ра­ нее уже был сделан вывод на основании сравнения сред­ ней величины, медианы и моды о наличии правосторон­ ней асимметрии за большую часть лет, а также о наличии существенных колебаний формы распределения. Поло­

жение медианы, моды и средней величины зависит в ос­ новном от наиболее многочисленных средних грулп, от центральной части распределения. Поэтому соотношение указанных величин говорит о степени асимметрии в цент­ ральной части распределения.

Специальный показатель асимметрии — отношение среднего куба отклонений от средней величины к кубу среднего квадратического отклонения, напротив, зависит в основном от степени асимметричности на краях распре­ деления, так как кубы отклонений нарастают по мере удаления от средней столь стремительно, что несмотря на уменьшение численности групп к краям распределе­

ния центральная

его часть в

определении

показателя

асимметрии и тем

более — эксцесса не играет никакой,

роли. Малейшее

случайное

изменение в

численности

крайних групп резко меняет величину показателей асим­ метрии и эксцесса, это и есть непосредственная причина их сильной колеблемости. Табл. 9 свидетельствует, что показатель асимметрии за 12лет из 14 положителен, т. е. асимметрия чаще всего — правосторонняя. Колебле­ мость показателя велика, кроме этого, заметна тенден­ ция к уменьшению показателя асимметрии.

Анализ тенденции и колеблемости показателя асим­ метрии проведен уже изложенным способом. В результа­ те получено следующее уравнение тенденции динамики:

as =

0,55 — 0,0456

Тенденция

существенна и достаточно

надежна: средняя

ошибка

среднегодового изменения

т ъ а

составляет 0,0226. Итак, асимметрия уменьшается

по мере роста урожайности картофеля в совхозах, вслед­ ствие этого распределение становится более симметрич­ ным. Выравненный уровень показателя асимметрии для

1958 г. составляет +0,86, а для 1971 г. +0,26.

Колеблемость показателя асимметрии характеризует­ ся коэффициентом колеблемости: vas(t) = 57,5%. Такая величина говорит о сильной колеблемости, однако надо иметь в виду общее теоретическое положение: для. вели­ чин, принимающих как положительные, так и отрица­ тельные значения (температура в градусах Цельсия, фи­ нансовый результат, показатель эксцесса), при прибли­ жении средней величины к нулю относительный показа­ тель вариации или колеблемости стремится к бесконеч­ ности, теряя свое аналитическое значение.

76

О степени существенности показателя асимметрии можно судить, сравнив его величину со средней стохас-' тической ошибкой. Последняя, как указано, слагается из двух компонентов: статической ошибки и динамиче­

ской ошибки. Статическая

ошибка

/+>(.= ±

Л /

—, что

 

 

 

 

 

 

 

У

N

в среднем за 14

лет, при

N — 125,

составляет

±0,22.

Динамическая

ошибка

 

m<1as~ —

 

ns ~~

составляет

 

 

0 34

 

 

I

п

 

 

в нашем случае

±

=

±0,091.

 

Общая

ошибка:

т °ш = ± у 0,222 +

0,0912 =

У 0,0567 =

± 0,238.

Вырав­

ненное значение показателя асимметрии для начала изучаемого периода в 3,5 раза превосходит среднюю сто­ хастическую ошибку, асимметрия существенна. Но к кон­ цу периода выравненное значение показателя асиммет­ рии почти равно средней ошибке, а следовательно, несу­ щественно отлично от нуля. Подтверждается вывод о пере­ ходе изучаемого распределения от умеренной правосто­ ронней асимметрии к симметричному характеру.

Колеблемость показателя асимметрии имеет случай­ ный характер: коэффициент автокорреляции отклонений от тренда составил +0,077. Интересно проверить ранее высказанную гипотезу о возрастании асимметрии в не­ урожайные годы вследствие приближения средней и моды к низшему пределу урожайности. Для этого опре­ деляется коэффициент корреляции между отклонениями урожайности от ее тренда и отклонениями показателя асимметрии от его тренда. Он составил —0,625, что гово­ рит о существенной обратной связи, т. е. гипотеза под­ твердилась. По совхозам Эстонской ССР, где урожай­ ность картофеля много выше и не подходила к низшему пределу, кроме 1962 г., ни разу, соответствующая зависи­ мость оказалась несущественной, что также подтвержда­ ет гипотезу о важной роли близости низшего предела к средней (к моде) в образовании правосторонней асим­ метрии на начальных этапах развития совокупности в направлении увеличения данного показателя.

Рассматривая динамику показателя эксцесса рас­ пределения (см. табл. 9), следуют отметить наличие столь сильных колебаний, что они затемняют какую-либо тен-

77

денцию. Средняя величина показателя за первые 7 лет составляет +0,63, а за следующие 7 лет она составила + 0,71; различие между этими средними несущественно. Анализ динамики с помощью выравнивания по прямой приводит к тому же заключению: среднегодовой при­ рост показателя равен —0,0175, а его средняя ошибка mbex = ± 0,061.

Таблица II

Расчет показателей для анализа колеблемости эксцесса

 

 

О

"ех(1)'

Годы

“ ех

11“

ех

' “ e.v(i-rl)

 

 

 

1958

+ 2 , 2 5

5,06

—2,54

1959

— 1,13

1,28

+ 0 , 7 5

1960

—0,66

0,44

+ 0 , 2 0

1961

—0,31

0 ,1 0 '

+ 0 , 2 2

1962

—0,71

0,50

—0,24

1963

+ 0 , 3 4

0,12

- 0 , 1 6

1964

—0,47

0,22

+ 0 , 2 4

1965

—0,52

0,27

+ 0 , 0 5

1966

—0,09

0,01

—0,03

1967

+ 0 , 3 5

0,12

+ 0 , 4 9

1968

+ 1,40

1,96

0,00

1969

0,00

0,00

0,00

1970

—0,48

0,23

+ 0 , 0 3

1971

—0,07

0,00

—

у

—

10,31

—0,99

"у

иу “ех

11as

иa s 'uex

—6

— 13,50

+ 0 , 4 2

+ 0 , 9 4

+ 5

—5,65

-0,39

-0,44

+ 2 7

— 17,82

-0,07

-0,05

+ 7

—2,17

-0,29

L0,09

—41

+ 2 9 ,1 1

+ 0 ,1 4

-0,10

— 14

—4,76

+ 0 , 0 8

J i-0,03

+ 1 3

—6,11

-0,25

-0,12

+ 2 9

— 15,08

-0,35

-0,18

— 14

+ 1,26

[-0,25

-0 ,0 2

—6

—2,10

1-0,40

+ 0 , 1 4

+ 4

+ 5 , 6 0

-0,21

+ 0 , 2 9

—21

0,00

-0,50

0,00

+ 1 9

—9,12

-0,31

+ 0 , 1 5

+ 3

—0,21

-0,41

+ 0 , 0 3

| _

—40,56

| _

+ 2 , 3 4

Обозначения: иу — отклонения средней урожайности от тренда;

иех — отклонения

показателя эксцесса от его тренда;

lias — отклонения

показателя асимметрии от его тренда.

Отсутствие тенденции означает, что в качестве обоб­ щающего показателя эксцесса за изучаемый период можно использовать среднее его значение за все 14 лет, равное +0,68. Является ли, однако, это значение сущест­ венно отличным от нуля? Средняя стохастическая ошиб­ ка показателя эксцесса слагается из средней статической

ошибки mfl =

24

—, т. е.

 

N

динамической ошибки mdex =

/_24. ±0,44, и средней

/125'

+, которая в дан-Sex

W

78

О 996

ном случае составила ± —^£г = ± 0,248. Общая средняя

/ 1 4

_______

ошибка т ех = ± У 0,442 + 0,2482 = ± У 0,2549 = ± 0,505.

Таким образом, среднее значение показателя эксцесса только в 1,35 раза превосходит свою среднюю ошибку и не может быть признано существенно отличающимся от нуля. Из индивидуальных (годовых) значений эксцесса существенно отличными от нуля являются только те, ко­ торые превосходят среднюю ошибку индивидуального значения, равную ±0,965, более чем вдвое. Такие вели­ чины наблюдались только в 1958 и 1968 гг. Как же мож­ но судить об эксцессе по показателю произвольно взято­ го отдельного года? Только исследование динамики рас­ пределения позволяет сделать верный вывод: распреде­ ление совхозов Ленинградской области по урожайности картофеля в среднем не имеет существенного эксцесса, но в некоторые годы имеет существенный положительный эксцесс.

Колеблемость показателя эксцесса является случай­ ной: коэффициент автокорреляции колебаний первого по­ рядка равен —0,097. Она характеризуется показателями: aex{t) =0,86; vex(t) = 137%. К коэффициенту колебле­ мости относится уже высказанное ограничение его роли. Интересно, что между колебаниями показателей асим­ метрии и эксцесса существует довольно тесная прямая зависимость, измеряемая коэффициентом корреляции от­ клонений: ruasUcx = + 0,613. Этот коэффициент в 3,5 раза больше своей средней ошибки, значит, зависимость впол­

не надежно установлена. По

совхозам Эстонской ССР

этот коэффициент

составил

за

1961— 1971

гг. +0,88.

Прямая и довольно

сильная

связь

колебаний

асиммет­

рии и эксцесса отражает наличие общего фактора, обус­ лавливающего их: более быстрого роста урожайности в передовых хозяйствах, чем в основной их массе, вслед­ ствие чего «авангард» распределения уходит вперед, создавая правостороннюю асимметрию и порой выходя за пределы нормального распределения, т. е. образуя эксцесс. Однако асимметрия имеет тенденцию к умень­ шению и во второй половине периода уже не является

существенной так же, как и эксцесс. Это позволяет предположить, что распределение совхозов Ленинград­ ской области по урожайности картофеля, если рассматри-

79

Смотрите также файлы