Файл: Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория.pdf

отношение д л я

пограничного слоя. Сущность предложе ­

ния К а р м а н а

заключается в отказе от точного удовле­

нем д л я

пограничного слоя и выполнению

граничных

условий на стенке и внешней границе слоя.

Д л я

вывода уравнения

К а р м а н а

выделим

в

потоке

(рис. 2-1) контур A CD FA,

границами

которого

с л у ж а т

С

V

Рис. 2-1. Контрольные сечения (к выводу

интегрального

уравнения

Кармана).

участок

стенки

AF, длина

которого

равна dx, прямая CD,

п а р а л л е л ь н а я

стенке,

и

нормали

АС

и DF.

Р а з м е р /

выбран

таким

образом,

чтобы он

был

больше

толщины

в направлении,

перпендикулярном

плоскости

чертежа,

принят равным

единице. '

Применим к

выделенному объему

теорему

количеств

жения при переходе от одного сечения

к другому

равно

сумме всех внешних сил, приложенных

к потоку

между

этими сечениями.

Количество

движения

секундной

массы жидкости

в сечении АС в направлении

оси х равно:

/ = Г рву2 du.

Изменение количества движения при переходе от се-

чения АС к EF

равно:

г

'

г• i

dm =

m, — т.=

—>—

dx,

2

1

dx

j" pWxdy

а количество

движения

• i

dL

= wxmdtn

=

wxm

dx.

Разность

давлений

• p, = ^r-

dx

dx

дает

силу

dFv-.

dp

klx.

dx

Р а н ь ш е

было

установлено,

что производная

нормаль ­

ного

н а п р я ж е н и я

дах/дх

мала

в

сравнении

с

производ­

ной касательного

н а п р я ж е н и я - дхху/ду.

Однако в

инте­

гральном

уравнении

К а р м а н а

оба н а п р я ж е н и я

д а ю т

слагаемые

одного порядка,

что

будет

показано

ниже .

Поэтому необходимо т а к ж е

учесть силу,

вызванную до­

бавочным

нормальным напряжением:

dF

=• дх

axdy

dx=

•

дх

jpte/2 dy

dx

- о

dFTp =

—xodx;

здесь

То — касательное

напряжение

на стенке (направ ­

ленное

против д в и ж е н и я ) .

Теорема количеств движения дл я установившегося

движения запишется так:

dll = dl3 +

dFp

+ dFa -\-

dF.

или после подстановок

(

i

'чк~ j wldy - wxm

A - 1

Pwxdy

+

+ 0 ^ + ^ - K 2 ) =

- V

(2-12)

Рср=Рт - —^pw'y2dy

= pm - ( р о / 2 ) с р .

дх

Р т

т

дх

и

f

I дрт

,

dw,„

dw„,

Г

,

О

П о д с т а в л я я

полученные в ы р а ж е н и я в

(2-12),

полу­

чаем интегральное

уравнение в виде

d

i

dx |

(pw2x — pwmwx)

dy

- j

-

б

i

1

dx

оj (pwx — p,„wm)

dy -

=

~4x~

((pOCP -

(P«Ocp] I -

V

(2-13)

Поделив обе части

равенства

на

рт^т

и в в е д я в рас­

чет толщину вытеснения 8* и толщину

потери

импульса

§**:

i

о

J

Pm»'m

ч_

Wn

J

J '

0

окончательно

получим:

dx

_ J

_

J ^

l

(2 - I -

H -

NT)

5**

=

Ш„,

(IX

4

'

m'

d

[

И р

-

( p O cp! - f ~ V

(2-14)

n w

(IX

x

У

•

n w

В этом уравнении

обозначено:

а — скорость

звука

<1?т

rfpm

dp„,

1

<М„

dx

~ dPm

dx

—

a 2

Р

т Ш т

rfx