Файл: Федюшин Б.К. Ядерные излучения тел различной формы. Основы теории.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 125
Скачиваний: 0
а аналогичное |
интегрирование |
(2.86) дает |
|
||||
I = T^r\e-^rBl[Z(E)r\ES(E)dE. |
|
(2.88. |
|||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
Применение |
обобщенной |
теоремы о среднем к (2.87) и (2.88V |
|||||
дает |
|
|
|
|
|
|
|
J=T^rBr[yi(E)r] |
|
\e-*E>'S{E)db |
(2.89) |
||||
и |
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
/ = |
|
|
В,[Х(Е) |
г] |
J' e-"^rES(E)dE. |
(2.90) |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
Случай элементарной теории ослабления, очевидно, имсет |
|||||||
место, когда |
Bj= |
Ві=\. |
|
|
|
|
|
Попробуем |
преобразовать |
интегралы |
з |
(2.89) и (2.90). Это |
|||
можно выполнить |
следующим |
образом. |
Рассмотрим точечный |
||||
изотропный |
источник полиэнергетических |
частиц в однородной |
|||||
изотропной среде, считая элементарную теорию ослабления справедливой. Легко проверить, что для точечного изотроп ного источника моноэнергетических частиц, .расположенного в однородной изотропной среде, в предположении справедли вости элементарной теории ослабления величина плотности потока моноэнергетнческнх частиц, определяемая (1.76) и (1.79),
удовлетворяет |
дифференциальному |
уравнению |
|
||||||||
|
|
äJ = |
^rJdr |
— ^Jdr. |
|
(2.91) |
|||||
На основании |
(2.83) |
можно |
написать |
|
|
||||||
|
dS=S(E)dE=Sfo(E)dE. |
|
|
|
(2.92) |
||||||
где 5 — число |
полиэнергетических |
|
частиц, испускаемых |
источ |
|||||||
ником за 1 сек равномерно по |
всем |
направлениям. Очевидно, |
|||||||||
на основании |
(2.85) |
при |
Bj—\ |
|
|
|
|
|
|
||
dJdE=E(r, |
|
E)dE = ~ |
F |
r |
e ^ r |
|
(2.93) |
||||
представляет |
собой |
число |
частиц |
с энергией от Е до |
E-\-dE, |
||||||
падающих на |
площадку |
в 1 |
см2 |
|
за |
1 сек |
на расстоянии г |
||||
от рассматриваемого источника. Если применить (2.91) |
к dJdE, |
||||||||||
то получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d\dJdE\ |
= |
|
у- dJdE dr — 2(E) dJdE |
dr, |
(2.94) |
||||||
где значок г указывает на дифференцирование по г. Интегри руя (2.94-) по энергии и применяя обобщенную теорему о сред нем, будем иметь
62
• dJ=—^rJdr — ^r)Jdr, (2.95)
где dJ— убыль величины плотности потока частиц вследствие
расширения расходящегося |
пучка, |
рассеяния и поглощения |
в элементарном слое объемом dV=\ |
см-dr, а |
|
оо |
|
|
f E(£)F(/-, E)dE |
||
у ( г ) = І |
_ |
( 2.9б) |
полное среднее макроскопическое сечение для полиэнергети
ческих частиц. |
Интегрирование |
(2.95) дает |
J |
- ^ e - i - » « , |
(2.97) |
где постоянная интегрирования С определяется из граничного
"условия (1.130). |
|
|
|
lim 4 т. r- J = 5 , |
|
(2.98) |
|
r-*0 |
|
|
|
откуда |
|
|
|
С = |
- А _ - , |
|
(2.99) |
так что с помощью теоремы |
о среднем |
получим |
|
г |
|
|
|
- ( " S ( 0 dr |
|
|
|
^ Т І Т Г е 5 . |
= 4 І т г |
^ . |
(2.100) |
Проделанные преобразования аналогичны преобразованиям, выполненным в § 16. Поэтому (2.89) можно написать в виде
J - |
^ |
e - р 5 |
ВЛг), |
(2.101) |
|
4 к |
г1 |
|
|
где Bj(r) = Bj[yj(E) |
г]. |
Выражение (2.101) |
представляет собой |
|
закон ослабления расходящегося полиэнергетического пучка частиц от точечного изотропного источника в однородной изотропной среде по числу частиц. Следует подчеркнуть, что
фактор |
накопления |
Bj(r) может быть вычислен, |
если известен |
||||
фактор |
накопления |
Bj[^É(E)r], |
а также |
функциональные зави |
|||
симости |
S(E) и |
2(£"). |
|
|
|
||
Легко |
также |
проверить, |
что для |
точечного |
изотропного |
||
источника |
моноэнергетических частиц, расположенного в одно |
||||||
родной изотропной среде, в предположении справедливости элементарной теории ослабления интенсивность, определяе-
63
мая (1.76) и (1.79), удовлетворяет дифференциальному урав нению
dl= |
^Idr |
— ^Idr. |
(2.102) |
На основании (2.84) и (2.92) можно написать, что |
|
||
dQ = ES{E) dE = |
SEf0{E) dE. |
(2.103) |
|
Если проинтегрировать (2.103) по энергии и применить |
|||
обобщенную теорему |
о среднем, то с помощью (2.3) |
получим |
|
|
Q — SË, |
(2.104) |
|
где |
|
|
|
|
оо |
|
|
£ = j Ef0(E)dE— |
(2.105) |
||
|
о |
|
|
средняя энергия частиц, вылетающих из рассматриваемого источника. На основании (2.86) при В; = 1
dIdB = F(r, Е) EdE = |
е-чѵr = dJdE |
E |
(2.106) |
||
представляет |
собой элемент |
интенсивности |
на |
расстоянии |
г |
от рассматриваемого источника. Если применить |
(2.102) к |
dIdE, |
|||
то получим |
|
|
|
|
|
dT[d/dE] |
.= —Цг dIdEdr |
— У,(E) dIdEdr, |
|
(2.107) |
|
в котором значок г указывает на дифференцирование по г.
Интегрируя (2.107) |
по энергии и применяя |
обобщенную тео |
рему о среднем, будем иметь |
|
|
d/ = |
\-Idr — %{f)ldr, |
(2.108) |
где dl— убыль интенсивности вследствие расширения расхо дящегося пучка, рассеяния и поглощения в элементарном слое объемом dV= \ см?dr\
оо |
|
|
J |
Е(£) F(r, Е) EdE |
|
2>i(r)=- |
j |
(2.109) |
полное среднее макроскопическое сечение по |
интенсивности |
|
для полиэнергетических частиц, которое, как нетрудно про верить с помощью (2.108) и (2.95), связано с полным средним макроскопическим сечением для полиэнергетических частиц соотношением
l / ( r ) = 2 ( r ) - - ^ Ä > - , |
(2.110) |
64
где
|
j F{r, |
E) EdE |
|
= |
4 |
|
(2.111) |
|
С F(r, |
E) dE |
|
|
a |
|
|
средняя энергия полиэнергетических частиц на |
расстоянии г |
||
от рассматриваемого источника. Интегрирование |
(2.108) дает |
||
|
г |
|
|
/ = |
-^-е b |
, |
(2.112) |
где постоянная интегрирования С определяется из граничного условия
lim 4 * r2I=Q, |
(2.113) |
откуда |
|
C=TÏ> |
( 2 . Н 4 ) |
так что с помощью теоремы о среднем значении окончательно получим
Проведенные преобразования аналогичны преобразованиям, выполненным в § 16. Поэтому (2.90) .можно написать в виде
г
|
- |
f £/(/•) <*<• |
|
|
/ = 4 ^ - е |
Ь |
В,(г), |
(2.116) |
|
где 5/(г) = Ві[^{Е)г]. |
Выражение |
(2.116) |
представляет собой |
|
закон ослабления расходящегося полиэнергетического пучка частиц от точечного изотропного источника в однородной
изотропной среде |
по интенсивности. Необходимо отметить, что |
||||
фактор |
накопления |
В/(г) может быть вычислен, |
если |
известен |
|
фактор |
накопления |
^ЛЕСЁ")/"], а также |
функции |
S { E ) |
и %(Е). |
На основании (2.45) и (1.82) можно написать, что |
|
||||
|
dPdE = |
е-Ъ* ' ВД[Ш) |
г], |
|
(2.117) |
где К(Е) определяется (2.44); dPdE — элемент мощности дозы ядерного излучения на расстоянии г, создаваемый точечным изотропным источником мрноэнергетического ядерного излу-
3 з |
65 |
чтения мощностью dQ. Интегрирование последнего выражения
по |
энергии |
дает |
|
|
|
||
|
Р^^рг |
|
\ е~Ш)гВд[У1(Е)г]К{Е) |
ES{E)dE. |
(2.118) |
||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
Если |
применить к (2.118) обобщенную теорему |
о среднем, |
||||
то |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
Р = |
- |
і |
- ЩУЩУ] |
f е-Ж)' К(Е) |
ES(E) dE. |
(2.119) |
|
|
4 |
Г" |
О |
|
|
|
Случай элементарной теории ослабления, очевидно, имеет место, когда Вд= 1. Интеграл в (2.119) можно преобразовать следующим образом. Для точечного изотропного источника моноэнергетического ядерного излучения, расположенного в однородной изотропной среде, в предположении справедли вости элементарной теории' ослабления мощность дозы оче видно удовлетворяет дифференциальному уравнению
|
dP = |
Lpdr |
— ^Pdr. |
|
(2.120) |
|||
|
На основании |
(2.117) |
при Вд=\ |
величина |
|
|||
|
dPdE=K(E) |
|
E{r, E)EdE=-^^-e-^^)r |
|
(2.121) |
|||
представляет собой |
элемент |
мощности |
дозы на |
расстоянии г |
||||
от |
рассматриваемого |
источника. Если применить (2.120) к dPdE, |
||||||
іо |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
dr[dPdE] |
= |
2FdPdEdr-2(E) |
|
dPdEdr, |
(2.122) |
||
вкотором значок г указывает на дифференцирование по г. Интегрируя (2.122) по энергии и применяя обобщенную,
теорему о среднем, будем иметь, что
|
dP = |
2—Pdr |
— ^a{r)Pdr, |
|
(2.123) |
||
где |
dP—убыль |
мощности |
дозы |
ядерного |
излучения |
вследст |
|
вие |
расширения |
расходящегося |
пучка, |
а также |
рассеяния |
||
и поглощения, |
в элементарном |
слое объемом dV=\ |
CM2dr, |
||||
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
J S(£) F(r, E) К (£) EdE |
|
|
||
|
2 д ( г ) = - |
j r |
|
|
(2.124) |
||
полное среднее макроскопическое сечение по дозе для поли энергетических частиц, которое, как легко проверить с по мощью (2.123) и (2.108), связано с полным средним макроско-
66
