Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

Как видно из этой таблицы, средние размеры частиц сущест­ венно увеличиваются с ростом сг.

При расчетах полидисперсных течений часто бывает полезно знать, можно ли данное течение заменить монодисперсным те­ чением с некоторым эквивалентным радиусом частиц. Естествен­ но, что величина эквивалентного радиуса в первую очередь оп­ ределяется характером задачи, ради решения которой произво­ дится такая замена. При полидисперсном течении в сопле под эквивалентным радиусом (диаметром) частиц понимается такое значение их радиуса (диаметра) в монодисперсном потоке, ко­ торое в одном и том же сопле и при одних и тех же исходных параметрах (давлении, температуре и т. д.) обеспечивает те же значения удельного импульса для обоих потоков. В работе [131] считается, что такой эффективный средний радиус близок к г32 и г30. Рэнни [100] провел теоретический анализ линеаризованно­ го одномерного течения и получил, что для стоксовского течения эквивалентный средний радиус частиц равен гЭкв = г53, а при отк­ лонениях от стоксовского закона эквивалентный радиус меня­ ется вдоль сопла. В работах, описывающих течения с коагуля­ цией [41, 117], и других эквивалентный радиус оказывается рав­ ным г43, определенному у минимального сечения сопла, а при больших запаздываниях — средним между г43 и г32.

Хотя для каждой конкретной задачи эквивалентный радиус заранее точно предсказать трудно, как правило, его принимают равным г43 или находящимся между г43 и г32.

Рассмотрим теперь основные уравнения, определяющие дви­ жение полидисперсных аэрозолей.

Расход частиц с массами от т до m+dm равен dms(т)—msg (т) d т — ws(т) Fdqs(т),

где под g{m) понимается нормированная функция распределе­ ния по расходам фракций.

Пользуясь уравнением расхода газа, из последнего равенства

59

Уравнение движения газа и частиц имеет вид

Чтобы замкнуть систему, следует добавить уравнения расхо­ да газа и состояния, например, в формулах (1.6) и (1.10), а также соотношения, характеризующие ускорение и охлаждение частиц, — уравнения типа (1.3) и (1.5), выполняющиеся для каждой фракции.

Среднемассовые скорость и температура частиц определяют­ ся формулами

,= j w s{m)g{m)dm,

о

оо

Т*=1 Ts{m)g(m)dm;

60

при этом средняя скорость полидисперсной двухфазной среды

w + Wws

™ср = 1+ W

§ 2. 2. Расчет коагуляции методом Эйлера

Введем в рассмотрение отличную от f(r) счетную функцию

отсюда, по определению плотности qs, dQs(m) = m d N (т).

Сопоставляя эти равенства с формулой (2.1), получим

mws (т)

Будем считать движение частиц одномерным, и что при столк­ новениях или касаниях частиц всегда происходит их слияние. Если Ші — масса крупной, медленно движущейся частицы, т — масса частицы меньшего размера, движущейся быстрее, то за время dt столкновение или касание произойдет, если центр ма­ лой частицы будет находиться в цилиндре с площадью основания п[г(т) + г(ші)]2 и длиной образующей | ws(m)—ws(m.i)\dt.

Таким образом, за время dt каждая частица с массой т* встретит

я [r(/n)-|-r(m/)j2|ws(m) — ws(mi) | dtd N (m )

частиц с массой т.

Введем константу коагуляции

k{mh т ) ~ л [r(m)-\-r(ml)f | ws{m) —ws(mi)|,

использование которой позволяет несколько сократить запись соотношений, определяющих коагуляцию.

Частица /И{ за единицу времени испытывает k(m, nii)dN(m) столкновений с частицами т. Поэтому длина ее свободного про­ бега (средний путь между двумя последовательными соударени­ ями частицы Ші с частицами т)

Введем в рассмотрение массовую расходную функцию рас­ пределения d W (піі) уравнением

61

в дальнейшем пределы «О» и «оо» означают, что при интегриро­ вании масса частиц фракции dW(rrii) изменяется от наименьших до наибольших своих значений).

Рассмотрим элемент сопла, заключенный между двумя сече­ ниями X и x + dx. Изменение расходной концентрации частиц гп-і между этими сечениями, связанное со столкновением и слия­ нием частиц т и шг-, равно

Следует отметить, что множитель, стоящий перед квадратны­ ми скобками последнего соотношения, характеризует массу коа­ гулирующих частиц, а выражение, находящееся внутри этих скобок, ■— вероятность столкновений.

Отсюда следует выражение для уменьшения концентрации частиц mi

Следует отметить, что в последних двух формулах и приве­ денных ниже (в данной главе) знак частной производной указы­ вает, что изменение рассматриваемых величин связано

с[коагуляцией.

Впоследнем соотношении, в отличие от [41], коэффициент 1/2 не нужен, так как при интегрировании от 0 до т* масса коагули­ рующих частиц учитывается лишь один раз.

Суммируя последние два соотношения и учитывая, что

d (m , mi)

62

получим

Формула (2.7) характеризует изменение по длине сопла рас­ ходной функции распределения частиц Я(гпі), происходящее вследствие коагуляции частиц различных размеров.

После коагуляции частицы приобретают скорость и темпера­ туру, определяемые скоростями, температурами и массами соу­ даряющихся частиц. При этом частицы одинаковых размеров будут иметь, вообще говоря, различные скорости и температу­ ры. Наличие такого распределения существенно усложнило бы расчеты и поэтому обычно считается, что частицы одинаковых размеров имеют одинаковые скорости и одинаковые температу­ ры, тем более, что, как показывают оценки [41], время релакса­ ции (т. е. время, в течение которого частицы приобретают ско­ рость и температуру, характерные для данной фракции), весьма мало.

Чтобы такое допущение не привело к нарушению законов сохранения количества движения и энергии, необходимо произ­ вести соответствующие корректировки.

Изменение количества движения частиц фракции т г-, прихо­ дящееся на единицу расхода газа, с учетом выражения (2.7) равно

С другой стороны, это же изменение количества движения частиц, пришедших и ушедших из фракции mi, равно

63