Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

X — — [mws(m)Jr (mi— m) ws(mi — m)] dm —

w s (яг,-— яг)

— W'^wdmiglm^ \ k (m h m) к ^ dm .

Приравнивая правые части последних двух равенств, сокра­ щая интегралы с пределами от 0 до оо и разрешая относительно dws(mi)/dx, получим

ті

X \mws(m)-\-{ml — m )w s(mi — т) — mtws(m,-)]dm.

64

Аналогичным образом можно вывести и условие сохранения энергии для фракции т*. Действительно, пусть энергия единицы

массы фракции т* равна Е (mt)= cBTs (ml)-\-wl(ml)/2. Изменение энергии фракции ти приходящееся на единицу расхода газа,

■£-[dW(mi)E{mi)} = Wdmi \^g (mi) ~ Ц ~ +

Соотношения (2.8) и (2.9) позволяют вычислить поправки к скорости и к энергии, обусловленные использованием принятой схемы расчета коагуляции. Эти поправки вычисляются для при­ нятого шага интегрирования Ьх с помощью соотношений

а связь между поправками к энергии и температуре частиц по­ лучит вид

Теперь, вместо соотношений (1.3) и (1.5) для вычисления ус­ корения и охлаждения частицы с массой т* нужно использовать формулы

в которых последние слагаемые определяются из соотношений

(2.8) и (2.10).

Использование соотношений (2.11) обеспечивает выполнение

фракции. Более строгий путь — использование функций распре­ деления по скоростям и температурам для частиц каждой фрак­ ции — сопряжен со значительным усложнением задачи.

Нужно отметить, что данный способ корректировки не явля­ ется единственным. Если, например, время, необходимое для приобретения частицами характерных для них скоростей и тем­ ператур, меньше времени между их столкновениями, то, по-ви­ димому, целесообразнее производить корректировку параметров среды, в которой происходит релаксация частиц, т. е. газа.

Соотношение (2.7), записанное для расходной функции g(m), может быть преобразовано к равенству, содержащему концент­ рацию п ( т ) .

Из выражения (2.6) следует

Заметим, что при дифференцировании выражения (2.6) не учитывается изменение рш по х, так как производная дп(піі)Ідх отражает изменения параметров, происходящие только вследст­ вие коагуляции.

Подставляя сюда dg(m.i)/dх из равенства (2.7) и дт8(т{)/дх из (2.8), после ряда преобразований с использованием условия симметричности функции <р(т), получим

X [2mlw s{ml)— mws(m) — {ml — tn)ws{m, — m)\dm. (2. 12)

66

Как следует из соотношения (2.12), при достаточно больших значениях скоростей мелких фракций выражение, стоящее в квадратных скобках, может быть отрицательным, т. е. образо­ вание новых частиц Ші приводит к уменьшению их концентра­ ции п(/Пі). Хотя этот факт на первый взгляд представляется па­ радоксальным, однако, он связан с принятой моделью расчета — усреднением скоростей частиц внутри фракций1.

В реальных случаях, когда не все столкновения приводят к слиянию, когда траектории частиц криволинейны и т. д., необхо­ димо вводить соответствующие корректировки. Более подробно этот вопрос рассмотрен в следующем параграфе.

Таким образом, при расчете полидисперсного коагулирую­ щего потока газа с жидкими частицами, кроме уравнений (2.2) и (2.3), характеризующих движение среды в целом, необходимо интегрировать Зі дифференциальных уравнений (2.7) и (2.11). Поэтому, проводя расчет коагуляции, например, для 20 фракций [41], приходится численно интегрировать более 60 дифференци­ альных уравнений, что сопряжено со значительной затратой ма­ шинного времени.

§2.3. Расчет коагуляции методом Лагранжа

Несколько проще расчет коагуляции производится методом Лагранжа, основанным на изучении изменений, происходящих с отдельными частицами, а не с заданными фракциями, как это имело место при расчете методом Эйлера.

Рассмотрим частицы радиусом Гі и будем считать, что при столкновениях с более крупными частицами они пропадают.

Уменьшение количества этих частиц в единице объема при переходе от сечения х к сечению х + сіх по аналогии с уравнени­ ем (2.7) равно

определения функции п(т{), а лишь как выражение для последнего сомножи­

зя. С этой целью необходимо использовать приведеінную выше формулу