Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 159

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и определяется следующим образом:

dm\'.сіт --= [ml -(- йгѣг)-\-—

(ml -\-dmi)dx — ( ml - \ - ^ - d x

Поскольку

 

 

d x

 

 

I

dx

 

 

 

 

 

 

 

d {

\

j

\

dmI

 

 

 

— (m,4

-dmi) = —-

dm-i

\ dx )

 

dx

 

 

 

dx

 

ТО

 

 

 

 

 

 

 

 

d m ' =

1+ J L ( ^ L ) d x ^ dmt.

 

 

 

 

 

drrii

\ dx

 

 

Подставляя выражение для

drrii

в формулу для dN(x + dx)

и проведя разложение в ряд, получим

 

 

d N (x d - d x )--

п {mh x)Jr ——

dx 4- — dx-\-

 

 

 

 

 

drrii

dx

дх

dm-r

Второе слагаемое, стоящее в квадратных скобках, равно ну­ лю, поскольку при данном подходе рассматривается рост фик­ сированных частиц, а при этом дп/дті = 0.

В результате получим [7]

дп (ті)

п (т- ■\ k(mh m)ti(m)dm — n(m i)

. (2.

13)

дх

w s (m-i)

J

dmi

V dx J

 

Изменение массы i-й частицы в единицу времени имеет вид

 

dmi

--------\

k(m,, т) mn(m)dm.

(2.

14)

 

dx

 

ws (mi)

о}

 

 

Как следует из выражения (2.6),

g {midmi — miws (mi) n (m^dm-i

W qw

Изменение расхода этой фракции вследствие поглощения частиц с массами mt более крупными частицами равно

dg (mi)_ miWs (mj) дп (mj)

dt

W qw

dt

так как у «уцелевших» частиц масса и скорость не изменяются. Увеличение рассматриваемой функции, происходящее из-за соу­ дарений с более мелкими частицами,

де ( ті) __

ws (mi) п (mi)

dmi

dt

W qw

dt

68

у

Отсюда, используя выражения (2.13) и (2.14), получим, что полное изменение расходной функции распределения равно

dg (гп[)

I

п (т i) k(m h m)mn(m)dm —

dx

W q w

 

со

— Ш;Л. (ml

k(mh m)ti(m) dm

Как и в предыдущем параграфе, скорость и температура час­ тиц после коагуляции должны определяться только массой час­ тицы. Чтобы выполнить это условие, необходимо ввести коррек­ тировки в уравнения движения и энергии.

Условие сохранения количества движения

т.

I" k(m h т) mws(m) п(т) dm —

о

ті

(2. 16)

= гvs{mt) ^ k{mh т) mn(m)dm -\-miw s(ml)

о

позволяет определить поправку к скорости частиц ws(mi), обус­ ловленную данной схемой расчета коагуляции.

Аналогично этому из уравнения сохранения энергии

k(mh т) тЕ (т) п (т) dm = E (mL)

k{mh m)mn(m)dm-\-

o

о

 

 

+ т ^ а(т,) св дТзд{™1)

 

j

(2.17)

при использовании соотношения (2.16)

определяется

поправка

к температуре Ts(mi). Фактические

величины т8(т{)

и Г8( т г)

определяются по формулам (2.11), (2.16) и (2.17).

 

Поскольку метод Лагранжа является более простым в реали­

зации, он используется большим количеством авторов

[8, 77, 6,

78, 116 и др.], чем метод Эйлера [41,

154, 48 и др.], а

расчеты

для простоты обычно производят для ступенчатого распределе­ ния частиц по фракциям. При этом вместо дифференциалов d N (ті) рассматривают конечные величины щ, представляющие собой количества частиц і-х фракций в единице объема.

Поскольку второе слагаемое правой части (2.13)

обусловлено

переходом от dN(mi)

к п ( т г), то из (2.13) — (2.15)

для ступен­

чатого распределения

частиц по фракциям следует:

 

69

А

i

(2. 18)

d g j

_

1

d x

W q w

где индекс /= 1, 2. . . k придается фракциям, расположенным по возрастанию размеров частиц, ііц — константа коагуляции при взаимодействии і-й и /-й частиц, gi = miniWil(Ц7(ш) .— расходная относительная концентрация і-й фракции. (Поскольку при /= /

kij = 0, то соответствующие слагаемые пропадают; поэтому

пре­

делы суммирования от или до I введены лишь для краткости за­

писи).

 

При определении скоростей и температур по формулам

(2.11)

следует пользоваться поправками

 

(2. 19)

і

выводимыми аналогично (2.16) и (2.17), а Et= cBTt -j- w)j2.

Отметим, что, подставляя в выражение для дТ{/дх значение dWi/dx из предыдущего равенства, получим формулу для дТі/дх, отличающуюся от второго равенства (2. 19) отсутствием последнего слагаемого и заменой разности Ej—Еі выражением

При расчетах реальных процессов взаимодействия частиц необходимо учитывать явления захвата (осаждения), дробления частиц и т. д. Влияние захвата можно учесть умножением кон­ станты коагуляции kn на коэффициент захвата эг;< 1 . Исход же соударений частиц оценивается несколько сложнее. Здесь преж­ де всего необходимо знать распределение частиц, образовавших­ ся в результате дробления (жидких «осколков»), по размерам, а также скорости и температуры этих частиц. Следуя рекоменда­ циям работы [6], будем для простоты считать, что в результате воздействия мелких частиц — снарядов—изменение массы боль­ шой частицы — мишени — определяется коэффициентом эффек-

70

тивности соударений, равным отношению изменения массы ми­

шени к общей массе попавших в нее снарядов Ф(.;.= дт {

^

m j-

I

 

 

j=i

 

Кроме того, полагается, что размеры и скорости осколков равны соответственно размерам и скоростям снарядов.

Рассмотрим как при этом изменяются системы (2.18) и (2.19). Естественно, что второе уравнение (2.18) принимает вид

dnii

i

 

1

( 2. 20)

dx

wi

 

Дробление (с образованием осколков,

по массе равных сна­

рядам) приводит к аналогичному уменьшению производной

дп[

т

( 2. 21)

д х

W: 2

 

 

] = і

 

Отсюда, по аналогии с выводом (2.15),

можем написать

или dgj

dx

d g j . =

_ m j _ drij

,

tij dtrij

d x

W q w dt

W Q w d t

■4 V i / V i • (2- 22) i-i

Рассмотрим теперь видоизменение системы (2.19) для рас­ сматриваемого случая.

Вне зависимости от исхода соударений изменение в единицу времени количества движения всех мелких частиц rrij, попавших

І

 

в одну крупную, равно ' ^ k lj9ijtijm,j(Wj —wi),

так как и

і=1

осколки с массой т 3- и частицы trij, поглощенные частицей mit движутся с одной и той же скоростью Wi. Кроме того, часть час­ тиц mu являющихся осколками более крупных частиц, получают исходную скорость еще меньшую. Изменение в единицу времени количества движения «,■ частиц т г- равно

й

2 k^tjnjnirrit (1 - Ф1}) (Wj - wt).

i=i

Таким образом, полагая, что суммарное изменение количе­ ства движения всех пгчастиц должно быть скомпенсировано по­ правкой к скорости частиц т г-, получим

 

і

піті "ДГ = /г‘'

kii9i)m]ni(wl

 

i- 1

71

k

+ЩЩ2 ktJ3!jtlj (1 - Ф , j) (Wj-Wi),

1-1

откуда

dwi

1

i

 

 

' ^ k lj9ijmjnj {wj ~ w l)^r

 

d x

rn-iW

 

 

 

 

l^1

 

 

+ —

2

кпэчпі (1- ф//)

- wi)-

(2. 23)

Wi

j=i

 

 

 

Считая, что при дроблении температура осколков совпадает с температурой мишени, аналогичным образом можно записать и

уравнение сохранения энергии

І

ЩЩ ~ d t ~ ni 1 C кііэіітіпі (Еі — Ei) +

+2 klj9ijnj ( 1 - Ф l}XEj—E,),

i- ‘

или, используя (2.23), после преобразований получим

 

I

 

k

д х

— -— V

kifijtnjrijEtj Н—

— \ ) ktj3l}n} (1 - Ф/;-) Еір

c ^ m iW i

i s i i i

C s W .

 

j-і

 

i-i

 

 

 

(2. 24)

где

В заключение этого параграфа остановимся на несколько обособленном вопросе — исследовании движения газа с тверды­ ми частицами, которые хотя и не коагулируют друг с другом, но при соударениях могут обмениваться импульсом и энергией. Изу­ чение движения твердых частиц является не менее сложной за­ дачей, чем жидких. При соударениях частицы могут разбивать друг друга, отражаться, агломерировать и т. д. При этом без упрощающих предположений проведение расчетов представляет­ ся крайне громоздким. Для существенного упрощения решения примем следующие предположения.

1.Частицы движутся в одном (осевом) направлении и не от­ ражаются при соударениях.

2.Скорость и температура частицы являются только функци­ ями ее размера.

3.Удар считается неупругим и после него на некоторое вре­ мя ударившиеся частички приобретают общую скорость, кото­

72

рая затем плавно изменяется до значения, соответствующего размеру частицы.

4. При соударениях кинетическая энергия перехфдит в тепло

ираспределяется между двумя частицами поровну.

5.Другого обмена теплом между частицами при соударениях нет. При этих условиях функция распределения, количество час­ тиц и их размеры остаются неизменными. Однако при интегри­ ровании дифференциальных уравнений движения частиц и их теплообмена необходимо учитывать поправки к скорости частиц

ик их температуре, обусловленные необходимостью сохранения количества движения и энергии всех частиц.

Условие сохранения количества движения до и после взаимо­ действия позволяет определить скорость двух частиц после соу­ дарения

•ws= (mtw т jWj)

(2. 25)

Отсюда изменение количества движения і-й частицы, обус­ ловленное соударениями со всеми частицами других фракций, равно

й

Щ ~ - = = ^ i ku9ijnj (mlw i:- m iwi)=

k

V

 

W j --- W .

 

kij9ijmjnjml —L-— .

 

 

y

mj+ mi

 

J- 1

 

 

Следовательно, поправка к скорости

 

dwi

ft

Wj — W(

 

 

(2. 26)

д х

/ Jntm

mj -r mi

 

Пользуясь выражением (2.25), можно вычислить потери ки­ нетической энергии двух взаимодействующих частиц

m/W;

mjuPj

0ml + mi) Щ

(тг t mj) ^Eij-

 

 

mjmjiwi — wj)2

,2 27.

2 (m-i +

m j )

 

При неупругом ударе эта энергия преобразуется в тепло, ко­ торое передается обеим частицам и отчасти газу. Распределение тепла между частицами определяется главным образом их мас­ сами и температурами. Однако в соответствии с принятым выше допущением 4 будем условно считать, что это тепло передается только взаимодействующим частицам и двумя равными порция­ ми. Иная схематизация существенно усложняет расчеты. При

73

Смотрите также файлы