Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

дение результатов расчетов с экспериментальными данными Мейера [147] может иметь место в некоторой области изменения коэффициентов конденсации и термической аккомодации, вклю­ чающей значения ак и ß, полученные Хиллом.

Классическая (жидкокапельная) теория Беккера—Дёринга— Зельдовича—Френкеля неоднократно подвергалась критике за применение формулы Томсона к малым зародышам, состоящим из нескольких молекул. Тем не менее эта теория позволила довольно просто определить свободную энергию образования зародышей и тем самым избежать сложного подхода статистиче­ ской физики к проблеме конденсации. Однако определение энер­ гии образования зародыша через свободную энергию макрообъ­ ема и коэффициент поверхностного натяжения связано с прене­ брежением важным вкладом, обусловленным поступательным и вращательным движениями. Учет этого вклада, проведенный вначале Френкелем, а затем Родебушем, Бендом, Лоте, Паун­ дом и Хирсом (обзор этих трудов можно найти в работе [122]), показал, что скорость нуклеации увеличивается в ІО18 раз [153]. Такое увеличение приводит к рассогласованию с экспери­ ментальными данными, полученными в камере Вильсона и в соплах Лаваля. В работе [15] показано, что результаты прямых расчетов термодинамических функций небольших молекулярных комплексов (кластеров) методами статистической физики мало отличаются от данных, полученных по классической теории. По­ этому можно предполагать, что вклады от поступательного и вращательного движений зародыша компенсируются зависимо­ стью поверхностного натяжения зародыша от его размера. (При выводе формулы Беккера—Дёринга—Френкеля пренебрегалось энергией поступательного и вращательного движений, но исполь­ зовалось значение коэффициента поверхностного натяжения, соответствующее плоской поверхности перехода).

Еще одним недостатком классической теории нуклеации яв­ ляется обязательное выполнение условия квазистационарности, которое заключается в том, что время создания пересыщения в системе должно быть намного больше времени установления равновесного распределения зародышей по размерам. Кантровиц [152], Пробстин [158] и другие в результате приближенного решения кинетического уравнения, описывающего процесс нук­ леации, рассчитали поправку, обусловленную нестационарностью процесса. Наиболее точные результаты в этом направлении бы­ ли получены Куртни [143], который численным методом решил систему из 100 дифференциальных уравнений, описывающих не­ стационарную нуклеацию. Обзор исследований в этой области приведен в работе [79].

Процесс нуклеации является только составной частью про­ цесса конденсации. Образовавшиеся зародыши начинают расти. Результаты исследования процессов роста и испарения капель в покоящейся и движущейся средах, а также обзор работ по это­

84

му вопросу можно найти в монографии Фукса [124]. Расчетные формулы для размеров и температуры капли приведены в книге Амелина [2]. Кань Сан-вук [61] исследовал рост конденсирован­ ных частиц в пересыщенном паре и в инертном газе при наличии теплопередачи и диффузии. Исследование температуры капли методом разделяющей сферы дано в работе [3].

Ввиду большого влияния, которое оказывает конденсация на сверхзвуковые течения, были проведены многочисленные иссле­ дования течений в соплах и каналах. Результаты эксперимен­ тального и теоретического исследования конденсации в соплах аэродинамических труб можно найти в работах [23, 24, 25, 45, 113], а результаты изучения течений в паровых турбинах пред­ ставлены в работах [47 и 160]. Куртни [79] сделал обширный об­ зор исследований конденсации в соплах ракетных двигателей. В недавних работах [132, 133] изучалось влияние несущего газа и других факторов на изменение скорости потока и в конечном счете на удельный импульс. Предварительные результаты иссле­ дования Бейлиха [17] показали, что данные, полученные для од­ номерных потоков, следует с осторожностью применять для дву­ мерных потоков. Обзор исследований явления конденсации в ра­ кетных соплах можно также найти в работе [58].

Во многих случаях при расчете неравновесных процессов в соплах использование модели одномерного течения приводит к большим ошибкам. Это может иметь место, например, для тече­ ний в соплах с угловой точкой. В работе Р. А. Ткаленко [120] применительно к этому случаю теоретически исследуется кон­ денсация при сверхзвуковом обтекании выпуклого угла смесью воздуха и паров воды. Приведены уравнения характеристик для расчета сверхзвуковых течений с конденсацией. Основное кинети­ ческое уравнение для функции распределения капель по разме­ рам [11] заменяется системой из трех уравнений в частных производных, в которые не входит радиус капли. Получено рас­ пределение параметров вдоль линий тока и изменение функции распределения капель по размерам при переходе от одной линии тока к другой. Сравнение с экспериментальными данными по распределению статического дадвления и по местоположению зо­ ны скачка конденсации при расширении паров воды око.ло угло­ вой точки, проведенное в работе [80], свидетельствует о хорошем совпадении теории с экспериментом при значениях коэффициен­ та конденсации сск= 0,04 и коэффициента термической аккомода­ ции ß=l . Результаты экспериментального исследования конден­ сации в волне разрежения представлены также в работе [105].

Результаты исследования методом характеристик сверхзвуко­ вых течений в гладких плоских и осесимметричных соплах при­ ведены в работе [119], в которой установлено, что при больших степенях расширения передний фронт зоны конденсации сильно> искривлен: на стенке сопла конденсация наступает раньше, чем на оси. Расчеты показали, что после первого скачка конденсаций

85

пересыщение вдоль линий тока продолжает расти и на некотором расстоянии от него возникает второй скачок конденсации. При этом образуется еще одна система частиц, которая характеризу­ ется своей функцией распределения. Такая спонтанная конденса­ ция при наличии в потоке уже готовых жидких капель была ис­ следована в работах [34 и 160]. Результаты численных расчетов двумерного течения в соплах и струях (полученные без исполь­ зования функции распределения частиц по размерам) даны в ра­ боте Давыдова [44].

В данной главе подробно рассмотрен процесс нуклеации, сде­ ланы выводы и проведены сравнения формул Фольмера, Бекке­ ра—Дёринга и Френкеля—Зельдовича для скорости образования зародышей; описаны способы проверки условия квазистационарности. Кинетика конденсации описывается при помощи ос­ новного кинетического уравнения для функции распределения капель по размерам, решение которого в некоторых важных слу­ чаях сводится к квадратурам. Приведены метод и некоторые ре­ зультаты расчета в одномерном приближении течений многоком­ понентной смеси в сопле при наличии равновесных химических реакций и конденсации одной из компонент. В последнем пара­ графе главы помещен метод расчета конденсации при расшире­ нии в плоских и осесимметричных соплах.

§ 3. 1. Стационарное и нестационарное образование ядер конденсации

Формула Клапейрона-Клаузиуса. Рассмотрим безграничную плоскость, ко­ торая является поверхностью раздела между газообразной фазой А какоголибо вещества и его жидкой фазой В. Предположим, что обе фазы находятся в равновесном состоянии, т. е. параметры, характеризующие систему, не из­ меняются с течением времени. Пусть Фу — удельный термодинамический по­ тенциал, тогда условие равновесия запишем в виде

Здесь р — давление, а рл — плотность пара.

Из выражений (3.1) и (3.2) можно получить

L_

86

Если продифференцировать выражения (3.1) и (3.2) и использовать вто­ рое начало термодинамики (3.3), то условие равновесия можно записать сле­ дующим образом:

Из этого соотношения с учетом соотношения (3.4) и уравнения состояния для совершенного газа Pa = R P a T, которое выполняется для паровой фазы, по­ лучим формулу Клапейрона—Клаузиуса

d^Poо_ _

(3.5)

• dT ~ R n '

Эта формула определяет линию насыщения и зависимость давления, называ­ емого давлением насыщенных паров над плоской поверхностью перехода, от температуры. Ниже давление насыщения будет обозначаться Роо(Т).

Если считать, что L не зависит от температуры, то после интегрирования формулы (3.5), получим

где «1» и «2 » — две произвольные точки линии насыщения.

Формула Томсона. Рассмотрим теперь случай, когда поверхностью раз­

дела между газообразной и жидкой фазами является сфера (равновесие кап­ ли радиуса гкѵ, ниже называемого критическим, с окружающим ее паром). Пусть капля состоит из g молекул, а давление пара — р, причем жидкость и пар находятся при одинаковой температуре Т. Минимальная работа, необхо­ димая для образования этой капли из молекул пара, состоит из двух слага­ емых

где масса молекулы /Лі равна отношению молекулярного веса к числу Авогадро, а рв — плотность жидкости. При помощи формулы (3.8) уравнение

87