Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

(3.7) м ож но записать в виде

' кр

Используя соотношения

4A — kT \пр + у(Т ),

'Pßoo = VAo o =k T ln Ptx (T) + <f(T),

где k — постоянная Больцмана; cp (Г) — некоторая функция.

Учитывая, что k = mlP, из уравнения (3.9) получим формулу Томсона

Капли радиуса ткр, соответствующего формуле Томсона, называются каплями критического размера или зародышами. При заданных внешних условиях кап­ ли докритического размера находятся в среде ненасыщенного пара и испаря­

для мелких капель. Этот эффект сильно возрастает с уменьшением размеров капель. Так. например, для сравнительно крупных водяных капель — разме­ ром в микрон—давление насыщения лишь на 0 ,1 % больше давления над плос­ кой поверхностью, а при радиусе капли 6 -ІО- 4 микрона давление насыщения

ТLrкр0в

Равновесное распределение Гиббса. Рассмотрим равновесное состояние системы и обозначим через g Kp число молекул в капле критического размера. Пусть z —g / g KV, тогда, учитывая уравнения (3.6), (3.8) и (3.9), выражение для работы образования капли, содержащей g молекул, можно записать в виде

Из формулы (3.12) видно, что ДФ зависит от внешних условий (через коэффициент В) и относительного числа молекул в капле г. На рис. 3. 1 пред­ ставлены зависимости ДФ(г) при различных внешних условиях. Если пар

возрастающую функцию. Любое скопление молекул не сможет создать устой­ чивую каплю, так как критического размера капли в данном случае не суще­ ствует. Состояние насыщения (фл = фв, s = l) также будет устойчивым, так как радиус капли критического размера равен бесконечности. Если же пар на­

комплексов, содержащих большее количество молекул, увеличивается. Одна­ ко при z > l распределение Гиббса является неверным.

Стационарная нуклеация1. Формула Фольмера. Первый важный вклад в теорию образования ядер конденсации сделал Фольмер [164], который считал, что критический размер комплексов определяет «ворота в конденсацию». Он предположил, что все капли, достигшие критического размера, удаляются из рассматриваемой системы и заменяются эквивалентным числом молекул пара. Скорость образования зародышей /„ вычислялась Фольмером как произведе­ ние числа капель критического размера NKр в единице объема на количество молекул Ь, конденсирующихся при столкновении с единицей поверхности в единицу времени, и на поверхность зародыша

Iv = NKpb-4nrlp.

1 Термин «нуклеация» (образование ядер конденсации или зародышей)

употребляется в ряде работ [11, 15] и других и происходит от английского слова nudeation.

89

лекул пара к числу падающих на поверхность комплекса). Пользуясь выра­

сравнению с вероятностью столкновения с каплей одной молекулы. Это пред­ положение исключает возможность перехода капли докритического размера в каплю сверхкритического размера, минуя промежуточный этап. Формула Фольмера (3.16) обладает тем недостатком, что дает завышенное значение скорости образования зародышей, так как при ее выводе не учитывается ис­ парение капли и дальнейшая конденсация пара на зародышах.

Формула Беккера—Дёринга. Более точное выражение для скорости обра­ зования зародышей получили Беккер и Дёринг [139]. Они предположили, что образование зародышей происходит в результате реакций последовательного

денсация происходит в результате протекания следующей цепочки реакций

где индекс G > g KV. В процессе роста комплексов число молекул в газе долж­ но уменьшаться, однако, как и при выводе формулы Фольмера, предполагает­ ся, что комплексы, содержащие G молекул, удаляются из системы и заменя­ ются эквивалентным числом молекул. Если обозначить через fg 1 количество

комплексов класса g в единице объема, которые образуются в результате про­ текания реакций (3.17), то, очевидно, должно быть

/і = Na « Nь

(3.18)

/о = 0.

Последнее равенство говорит о том, что комплексы класса G удаляются из системы.

Количество комплексов, содержащих g молекул, образующихся в единице объема в единицу времени Ig в процессе реакции

S g_ 1 — площадь поверхности этого комплекса;

1 Если реакции (3.17) протекают равновесно, то fg= N g

90

которое иногда называют уравнением Беккера—Дёринга. Будем считать про­ цесс нуклеации квазистационарным, т. е. d{gl d t = 0. В этом случае из уравне­ ния (3.20) следует, что

Ig — Ig . j = / 2= const.

Таким образом, для квазистационарного процесса, описываемого цепочкой реакций (3.17), имеют место соотношения

I = äjS i / i — a2S2f 2 = • • • = і / г —і — agS g f g =

= • • •ba - i S G - i f o - i — a G S G ^ G -

Отсюда получаем последовательно

причем обращение в нуль этого выражения обусловлено равенством /с = 0 .

Поделим обе части этого равенства на коэффициент при SiNi и получим окончательно

Беккер и Дёринг сделали следующие допущения: 1) количество испаряю­ щихся молекул с поверхности комплекса пропорционально давлению насы­ щения для этого комплекса; 2) для капли, находящейося в равновесии, Ькр= = «кр; 3) bg= b не зависит от g [формула (3.15)]. Таким образом,

т. е. что малые комплексы обладают поверхностным натяжением (это являет­ ся недостатком жидкокапельной теории), получим выражение

91

ygKP

Интеграл в правой части характеризуется тем, что подынтегральное выраже­ ние имеет резкий максимум при 2 = 1 . Это объясняется большим значением

коэффициента В, который для паров воды равен приблизительно 50. Данный интеграл можно вычислить, например, методом Лапласа [46], основанным на разложении экспоненты вблизи максимума в ряд Тейлора —

Зг2/3 — 2г « 1— — (г — 1)2,

О

При обычных условиях эксперимента в камере Вильсона эта поправка (т. е. отношение/в_в//щ) имеет величину порядка ІО-2.

Формула Френкеля—Зельдовича. Зельдович [56] и Френкель [123] уточни­ ли формулу Беккера—Дёринга и предложили более простой ее вывод. Для

92