Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

определения числа испаряющихся молекул они использовали принцип деталь­ ного равновесия [123]

т. e. считали ag для равновесного и неравновесного процессов одинаковыми.

^кр

Интеграл в правой части вычислим методом Лапласа, как и в случае вывода формулы (3.22). Значение S(g) ~ S ( g Kp) выносится из-под знака интеграла в процессе его вычисления и равно

S (£кР) = 4яг кр2 = (36 я^)Ѵ3^2/з = S i^2/3_

Формула Френкеля—Зельдовича окончательно запишется в следующем виде

Сравнивая формулы (3.26) и (3.24), получим

^Ф—3 = ёкр^В-О"

Таким образом, выражения для скорости образования зародышей, полу­ ченные Беккером и Дёрингом, а также Френкелем и Зельдовичем, различают­

ся множителем g , что слабо влияет на результаты в случае больших пе­ ресыщений.

Расчеты, проведенные по формулам Беккера—Дёринга и Френкеля— Зельдовича, свидетельствуют о согласовании расчетных и эксперимен­ тальных данных [14]. Результаты, полученные по теории Фольмера, явля­ ются несколько завышенными. Учет в энергии образования зародышей посту­ пательного и вращательного движений приводит, как уже отмечалось выше, к значительному завышению скорости образования зародышей.

На рис. 3.3 приведена зависимость скорости нуклеации от пересыщения. Кривая 1 рассчитана по формуле Беккера—Дёринга. Там же для сравнения

93

приведена кривая 2, соответствующая формуле Беккера—Дёринга с поправ­ кой Барнарда [138], который предложил не пренебрегать членами 3^ ~2/,э

и 2 ^ 1в формуле (3.23) по сравнению с единицей. Типичный расчет для ка­

Пусть т2 означает время, за которое устанавливается равновесное (соответст­ вующее заданному пересыщению) распределение докритических комплексов по размерам, получившее в литературе название времени задержки (time lag). По оценке ряда авторов [152, 158] для паров воды т2« 10-5-РІ0-в с. Условие квазистационарности, используемое в предыдущем параграфе при выводе фор­ мул для скорости нуклеации, является обоснованием только при

Это условие выполняется для камер Вильсона и сопел с умеренными степеня­ ми расширения. Однако, например, для сопел ракетных двигателей, характе­ ризующихся большими степенями расширения, условие (3.27) может не вы­ полняться. В этом случае расчет процесса нуклеации нельзя проводить по формулам Беккера—Дёринга — Френкеля—Зельдовича.

Рассмотрим систему, в которой пересыщение создается настолько быстро, что условие (3.27) может не выполняться. В этом случае также необходим! рассмотреть цепочку реакций (3.17), которую можно записать в виде

ятностью присоединения к комплексу класса g двух и более молекул будем пренебрегать. Скорость образования комплексов Ag в единице объема в ре­

94

зультате протекания одной реакции определяется выражением

Скорость изменения концентрации комплексов Ag определяется формулой

d f g

для g = 2, 3 ,..., G.

Система уравнений (3.30) определяет процесс нуклеации независимо от того, выполняется условие (3.27) или нет. При известных значениях скоро­

виях можно интегрировать численными методами (на ЭВМ). Однако G может быть довольно большим (например, для паров воды при 7"=233 К О'ягІОО, а для паров LiF при Г =2000 К G~ 1300 [79]. Таким образом, реше­ ние задачи о нестационарной конденсации по существу сводится к интегриро­ ванию системы уравнений, состоящий из 100 и более дифференциальных урав­ нений.

Куртни [143] решил на ЭВМ задачу о нестационарной конденсации, сде­ лав ряд упрощающих предположений: классическая жидко-капельная теория считается правильной для комплексов, состоящих ' не менее, чем из 19 моле­ кул; распределение комплексов при g< 19 мгновенно приходит в равновесное состояние; равновесные значения концентраций комплексов при g ^ 19 рас­ считаны по распределению Гиббса (3.14); скорость роста комплекса А й опре­ деляется частотой столкновений молекул с его поверхностью kg= aKbSg; ко­ личество молекул At и температура смеси считаются постоянными; константа реакции в обратном направлении определяется согласно закону действующих масс

распределение, близкое к равновесному, при Т= 233 К и s = 10 устанавливает­ ся за 10-6-М 0~5 с.

Обратимся теперь к приближенному решению рассматриваемой проблемы. Беккер и Дёринг [139], а затем Зельдович [56] и Френкель [123] свели систему (3.30) к одному уравнению в частных производных для концентрации комп­ лексов, решение которого близко к решению исходных уравнений.

Заменим в уравнении (3.2Э) константу скорости kg при помощи закона действующих масс (3.31). Используя распределение Гиббса (3.14), получим

где D — kg N 1 называется коэффициентом диффузии. Это название не

случайно. Запишем, например, выражение (3.29) в следующем виде

l g — N \kg f g —\ — N \kg+x f g + ( ^ i k g +l — k g ) f g .

95

Из уравнений (3.19) и (3.29) следует

kg —aSg, Nikg+1 = bSg.

Если каждый комплекс находится в равновесии с окружающей средой, то ко­ личество испаряющихся равно количеству конденсирующихся молекул, т. е. а = Ь. Из предыдущих равенств следует

kg_____я

N\kJ+i ь

т. е. выражение в круглых скобках в уравнении для 1g обращается в нуль. При этом получаем уравнение

h = N lkg U g - i - f g ) ~ - D d- £ ,

подобное уравнению диффузии.

Заменяя в уравнениях (3.30) конечную разность в правой части прибли­ женно частной производной, получим дf/d t= —dl/dg. Подставляя в это ра­ венство выражение (3.32) для /, получим

Это уравнение с определенной степенью точности эквивалентно системе урав­

96