Файл: Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 65

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Решение системы (7-25) общим методом для этого простейшего' частного случая, как и для предыдущего, представляет определен­ ные трудности. Однако используя некоторые ее особенности, удает­ ся получить достаточно простое решение.

В результате дифференцирования последнего уравнения и под­

становки в пего

d/VI,

сП\

з

третьего п четвертого уравне­

—jz~ 117

И и

ния системы

(7-29) будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

dp]

KR

Ti>G0,V

 

(7-30)

 

 

 

d-

 

I/,

 

Подставив значение

G01 из

первого

уравнения

системы н

Т

получим уравнение,

удобное

для

интегрирования:

v 0 — R ~ ,

Ро

 

г

п 10,^"(1 1 .

-. Г г-п (

 

 

 

(7-31)

 

 

ар, =

В — ■

 

I

Т„ах,

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к-гI

 

 

 

в = к Ѵ Ъ Ѵ

 

 

ЛГ-1

(7-32)

 

 

h g ' к -I-

1 )

 

Для воздуха

при fe=l,4

и

R = 29,3 кГм/кГ°К ß = 16,2. Про­

интегрируем уравнение (7-31)

для

заданного

закона

изменения/;0

и Т0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*ѵА.і

\\Р ъ 1

Tod-,

(7-33)

 

Pi — Pi„ = В '

 

 

Конец процесса затекания определится тем, что давление перед камерой ро станет равным давлению в камере р\.

Для определения температуры в камере Т\ воспользуемся ха­ рактеристическим уравнением

Г{= R ' W R

(/-34}

Вес газа в камере ЛД найдем в результате интегрирования

третьего уравнения системы (7-29):

 

м ѵ= м лп + J G0i1* .

(7-35)

Подставим АД из (7-35) в уравнение (7-34). После преобразо­ ваний

/?ш + Я

I

%лРоѴТй^

Ті =

 

 

(7-36)

Р\и I В

А 1

(

di

7\

V ,

оJ YoY ѴТо

 

114

Проведение интегрирования в уравнениях (7-33) и (7-36) легко может быть выполнено методом численного интегрирования или с помощью ЭВМ. Оно упрощается в области закритнческого исте­ чения, когда і!»01 = 1. В ходе интегрирования может быть опреде­

лено время, за которое достигается заданное значение рі или Т Если затекание в камеру происходит из резервуара, параметры

газа в котором остаются постоянными', то задача упрощается и может быть решена следующим образом.

В области закрптического режима течения Ф01 =1. Поэтому на

основании уравнения (7-33) при — <

2

/г-1

имеем

"о

к

1

 

где тт0 =

Рш

 

ум____

!J'o.і^ о д

(7-37)

 

-0 ^0

У

 

 

1

|.=5

 

 

 

Ріи

 

 

Время закритнческого режима определится выражением (7-37),

z.j

(

2

\ic-i

 

 

 

 

 

 

 

 

когда — =

к + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V,

'_ 2 _ У - Т _ і _

 

(7-38)

 

 

 

 

яр -о А ,У т;

к

+ 1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

докритического

режима

на

основании

уравнения

(7-31)

с учетом значения ibal

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/,

 

 

 

dx

1

 

(7-39)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

У

/

1 —X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где JC=

‘и

и JcKp =

1—2

U--i

 

 

 

 

 

 

 

 

llo

 

 

T

i ,

 

 

 

 

 

 

 

Интеграл в уравнении (7-39)

типа

J x m (a -j- bxn)P dx

при

m =

1

n =

к — 1

p ■

1

Q

данном

случае

TYL -Г 1

— ,

------- и

 

В

------

К

 

 

К

 

r

 

 

 

 

 

 

 

к+ 1

к— 1 = 1 — целое число. Поэтому интеграл выражается

8*

115

в элементарных функциях. Для интегрирования полагаем 1 ~^хп= г г. Производя интегрирование, получаем

Л*

 

 

 

 

ах

 

 

 

 

 

 

 

V 1

 

 

 

 

 

 

 

1

/

 

 

к-1

 

 

 

 

 

 

 

1 к -|- 1

 

к р

JC К

J/

1

— X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

2к

I

/

к — 1

Г ~

 

ÜZ±

(7-40)

 

 

 

 

 

 

К — 1 i

I

/ѵ-)~ 5

'

1 — X

К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Процесс

заканчивается при ,ѵ=1. Для

этого условия

интеграл

принимает значение

 

2к

^

/

[ к

- \

что

 

.

.

 

 

■

— ■, ,

при

к = 1,4 составляет

_

=

2,86.

 

 

 

 

 

 

 

к

+ 1

 

докрптпческого

режима

Продолжительность

всего

V 6

 

 

 

(7-39)

и (7-40)

 

 

 

 

 

 

 

 

на

основании

 

 

 

 

 

 

 

 

или при к= 1,4

 

2,86^ о А И,

 

к

 

,

S l T — i

 

-

 

2

 

 

77Т~Т >

(/-41)

 

 

 

 

-

кр

-

 

 

л 1

T0h

к -

\

у

к + 1 ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

 

 

 

 

 

‘"Кр ' 16,2-3,87

 

 

V,

 

 

 

 

V,

' .(7-41')

 

 

 

 

р0 і50Л і/ т0

~

2l,9a0AStu |/ Г 0

 

Температура в камере при постоянных р0 и Т0 может быть вы­

ражена на основании

(7-36)

как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тфі ■= Р>Н 1 Р1_ РПІ

 

 

 

,ьі

 

(7-42)

 

 

 

 

 

 

 

■кТ,

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

к 7о

 

'Ли

 

 

 

 

В конце

всего процесса заполнения, когда

ді = л0, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

И ) - 1

 

 

 

(7-43)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7’.,.

кТй

 

 

 

 

 

 

В данном случае

Т{ определяется

не

по уравнению адиабаты,

так как в камере происходит процесс смешения путем заполнения

объема. В камеру подается газ,, совершающий

работу над

газом

в камере, параметры

которого

отличаются

от

параметров

газа

в камере.

 

' -

 

 

 

 

Пример. Определить время наполнения баллона, а также температуру в бал­

лоне в конце наполнения,

если

подача

газа происходит

из емкости с постоян-

ными параметрами ~0 = 30, Т 0 =

Т Іп =

у

1000 м .

 

288° К при

=

 

Время закритического режима

 

 

 

 

 

1000L = ( 0,528--- i r ) =

1,8 с е к .

 

->Ф —

10,2 У

ояч I

30 I

 

 

 

 

28S

 

 

 

 

116

Время докритііческого режима

1°0°

,,,с

‘Ф

---- =

2,68 с е к .

21,9/288

 

Общее время наполнения т — 1,8 + 2,68 = 4,48 с е к .

Температура в конце процесса наполнения баллона

30

• Л.<= 1+ 30 — -•288 = 398 с К. 1,4

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблицы некоторых газодинамических функций

Значения функций:

X=

®кр

М = — :

'

/

2

X2

а

у

 

_ * ZL1.) 2

 

 

К+1 1-

к -\- 1

 

у

 

1

 

 

 

+

 

- м а к с

 

 

 

 

 

 

 

а _

 

/

к + 1■X2 ■

аО

V

1

—Т

Т = 1п

= 1

к + \ ' ’

 

 

 

К ~

1

} 2.

=

- =

( ’1

к — 1

 

К +

1

 

 

/>0

\

« +

1

 

/к + i y - i j /

 

/ г - 1 ,

 

рС2

/г

 

 

к —

J =

2р к '-{-1 X2 1

к -|- 1X2

а =

 

1

 

 

 

arcsin -Г7 .

 

 

 

 

 

М

 

 

 

 

 

Таблицы некоторых газодинамических функций

Т а б л и ц а П-1

 

 

 

 

 

При к = 1,4

 

 

 

 

 

X

М

V

 

£

t

Т '

Р

Р

Ч

 

j

аМ

 

 

 

0 ,0 0 0 0 '

0 ,0 0 0 0

0 , 0 0 0 0 ,

 

0 ,0 0 0 0

1,0000 1 ,0 0 0 0

1,0 00 0 1,0 00 0 0 .0 0 0 0 0 ,0 0 0 0 0 ,0 0 0 0

0 ,0 1 0 0

0 ,0 0 9 1

0 ,0 0 9 1

 

0 ,0 0 4 0 0 .9 9 9 9 0 ,9 9 9 9 0 ,9 9 9 9

0 ,9 9 9 9 0 ,0 1 5 8 0 ,0 0 0 0 0 ,0 0 0 0

0 ,0 2 0 0

0 ,0 1 8 2

0 ,0 1 8 2

 

0 ,0 0 8 1 0 ,9 9 9 9 0 ,9 9 9 9 0 ,9 9 9 8 0 ,9 9 9 8 0 ,0 3 1 5 0 ,0 0 0 2 ; 0 ,0 0 0 0

0 ,0 3 0 0

0 ,0 2 7 3 '

0 ,0 2 7 3

 

0 ,0 1 2 2 0 ,9 9 9 9 0 ,9 9 9 8 0 ,9 9 9 7

0 ,9 9 9 5 0 ,0 4 7 3 0 ,0 0 0 5 0 ,0 0 0 0

0 ,0 4 0 0

0 ,0 3 6 5

0 ,0 3 6 5

 

0 .0 1 6 3 0 ,9 9 9 8 0 ,9 9 9 7

0 ,9 9 9 3 0 ,9 9 9 0 0 ,0 6 3 1 0 ,0 0 0 9 0 ,0 0 0 0

0 ,0 5 0 0

0 ,0 4 5 6

0 ,0 4 5 6

 

0 ,0 2 0 4

0 ,9 9 9 7

0 ,9 9 9 5

0 ,9 9 9 0

0 ,9 9 8 6

0 ,0 7 8 8

0 ,0 0 1 4

0 ,0 0 0 0

0 ,0 6 0 0

0 ,0 5 4 7

0 ,0 5 4 7

 

0 ,0 2 4 4 0 ,9 9 9 7 j 0 ,9 9 9 4

0 ,9 9 8 5 0 ,9 9 7 9

0 ,0 9 4 5 0 ,0 0 2 1 0 ,0 0 0 0

0 ,0 7 0 0

0 ,0 6 3 9

0 ,0 6 3 9 '

 

0 ,0 2 8 5

0 ,9 9 9 5

0 ,9 9 9 1

0 ,9 9 7 9

0 ,9 9 7 1

0 ,1 1 0 2 0 ,0 0 2 8 0 ,0 0 0 0

0 ,0 8 0 0

0 ,0 7 3 0

0 ,0 7 3 0 ',

 

0 ,0 3 2 6

0 ,9 9 9 4

0 ,9 9 8 9 .

0 ,9 9 7 4 0 ,9 9 6 3 0 ,1 2 5 9 0 ,0 0 3 7

0 ,0 0 0 0

0 ,0 9 0 0

0 ,0 8 2 2

0 ,0 8 2 1

 

0 ,0 3 8 7

0 ,9 9 9 3

0 ,9 9 8 6

0 ,9 9 6 7

0 ,9 9 5 7

0 ,1 4 1 5

0 ,0 0 4 7

0 ,0 0 0 0

0 , 1 0 0 0 '

0,09131

0 ,0 9 1 2 .

 

0 ,0 4 0 8

0 ,9 9 9 1

0 ,9 9 8 3

0 ,9 9 5 9

0 ,9 9 4 2

0 .1 5 7 1

0 ,0 0 5 8

0,00001

0 ,1 1 0 0

0 ,1 0 0 5

0 ,1 0 0 2

 

0 ,0 4 4 9

0 ,9 9 8 9

0 ,9 9 7 9

0 ,9 9 4 9

0 ,9 9 2 9

0 ,1 7 2 6

0 ,0 0 7 0

0 ,0 0 0 0

0 ,1 2 0 0

0 ,1 0 9 6

0 ,1 0 9 5

 

0 ,0 4 8 9

0 ,9 9 8 8

0 ,9 9 7 6 0 ,9 9 4 0 0 ;9 9 1 6 0 .1 8 8 2 0 ,0 0 8 4

0 ,0 0 0 0

0 , 1 3 0 0 -

0 ,1 1 8 8

0 ,1 1 8 6

 

0 ,0 5 3 0

0 ,9 9 8 5

0 ,9 9 7 1 0 ,9 9 2 9

0 ,9 9 0 1 0 ,2 0 3 6 0 ,0 0 9 8

0 ,0 0 0 0

0 , 1 4 0 0 '

0 ,1 2 8 0

0 ,1 2 7 8

 

0 ,0 5 7 1

0 ,9 9 8 3

0 ,9 9 6 7 0 ,9 9 1 8 0 ,9 8 8 6 0 ,2 1 9 0 0 ,0 1 1 4

0 ,0 0 0 0

0 ,1 5 0 0

0 ,1 3 7 1

0 ,1 3 6 9

 

0 ,0 6 1 2

0 ,9 9 8 1 0 ,9 9 6 2 '

0 ,9 9 0 7

0 ,9 8 7 0 0 ,2 3 4 4 0 ,0 1 3 1 0 ,0 0 0 0

0 ,1 6 0 0

0 ,1 4 6 3

0 ,1 4 6 0

 

0 ,0 6 5 3

0 .9 9 7 8 0 ,9 9 5 7 0 ,9 8 9 3

0 ,9 8 5 1 0 ,2 4 9 7 0 ,0 1 5 0 0 ,0 0 0 0

0 , 1 7 0 0 '

0 ,1 5 5 5

0 ,1 5 5 1

 

0 ,0 6 9 4 0 ,9 9 7 5 0 ,9 9 5 1 0 ,9 8 8 0 0 ,9 8 3 2 0 ,2 6 4 9 0 ,0 1 6 9 0 ,0 0 0 0

0 .1 8 0 0

0 ,1 6 4 7

0 ,1 6 4 3

 

0 ,0 7 3 4 0 ,9 9 7 3 0 .9 9 4 6 0 ,9 8 6 6 0 ,9 8 1 2 0 ,2 8 0 1 0 ,0 1 9 0 0 ,0 0 0 0

0 ,1 9 0 0

0 ,1 7 3 9

0 ,1 7 3 2

 

0 ,0 7 7 5 '

0 ,9 9 6 9 0 ,9 9 3 9 0 ,9 8 5 0 0 .9 7 9 1 0 .2 9 5 2 0 ,0 2 1 1 0 .0 0 0 0

0 ,2 0 0 0

0 ,1 8 3 1

0 ,1 8 2 5

 

0 ,0 8 1 6 ' 0 , 9 9 6 6 0 ,9 9 3 3 0 ,9 8 3 4 0 ,9 7 6 8 0 ,3 1 0 2 0 ,0 2 3 4

0 ,0 0 0 0

0 ,2 1 0 0

0 ,1 9 2 4

0 ,1 9 1 7

 

0 ,0 8 5 7

0 ,9 9 6 3

0 ,9 9 2 6

0 ,9 8 1 7 0 ,9 7 4 5 0 ,3 2 5 2

0 ,0 2 5 9

0 ,0 0 0 0

0 ,2 2 0 0

0 ,2 0 1 6

0 .2 0 0 6

 

0 ,0 8 9 8 0 ,9 9 5 9 0 ,9 9 1 9 0 ,9 7 9 9 0 ,9 7 2 0 0 ,3 4 0 1 0 ,0 2 8 4 0 ,0 0 0 0

0 ,2 3 0 0

0 ,2 1 0 8

0 ,2 0 9 9

 

0 ,0 9 3 9 0 ,9 9 5 5 '

0 ,9 9 1 1

0 ,9 7 8 1

0 ,9 6 9 5

0 ,3 5 4 9 0 ,0 3 1 1

0 ,0 0 0 0

0 ,2 4 0 0

0 ,2 2 0 1

0 ,2 1 9 0

1

0 ,0 9 7 9

0 ,9 9 5 1

0 ,9 9 0 4

0 ,9 7 6 2 0 ,9 6 6 8 0 ,3 6 9 6

0 ,0 3 3 9

0 ,0 0 0 0

0 ,2 5 0 0

0 , 2 2 9 4

0 ,2 2 8 2

 

0 ,1 0 2 0

0 .9 9 4 7 0 ,9 8 9 5 0 ,9 7 4 2 0 ,9 6 4 0 0 ,3 8 4 2 0 ,0 3 6 8 0 ,0 0 0 0

0 ;2 6 0 0

0 ,2 3 8 6

0 ,2 3 7 3

 

0 ,1 0 6 1

0 ,9 9 4 3

0 ,9 8 8 7

0 ,9 7 2 1

0 ,9 6 1 1

0 ,3 9 8 7

0 ,0 3 9 8

0 ,0 0 0 0

 

 

0 ,2 7 0 0 '

0 ,2 4 7 9

0 ,2 4 6 4

 

0 ,1 1 0 2 0 ,9 9 3 9 0 ,9 8 7 8 0 ,9 6 9 9 0 ,9 5 8 1 0 ,4 1 3 1 0 ,0 4 3 0 ' 0 ,0 0 0 0

0 ,2 8 0 0

0 ,2 5 7 2

0 ,2 5 5 6 '

 

0 ,1 1 4 3 0 .9 9 3 4 0 ,9 8 6 9 0 ,9 6 7 7 0 ,9 5 5 0 0 .4 2 7 4 0 .0 4 6 3

0 ,0 0 0 0

■ 0 , 2 9 0 0

0 ,2 6 6 6

0 ,2 6 4 7

 

0 , 1 1 8 3 '

0 ,9 9 2 9 0 ,9 8 5 9 0 ,9 6 5 3 0 ,9 5 1 8 0 .4 4 1 6 0 ,0 4 9 7 0 ,0 0 0 0

0 ,3 0 0 0

0 ,2 7 5 9

0 ,2 7 3 8

 

0 ,1 2 2 4 0 ,9 9 2 4 0 ,9 8 5 0 0 ,9 6 3 0 0 ,9 4 8 5 0 .4 5 5 7 0 ,0 5 3 3

0 ,0 0 0 0

0 ,3 1 0 0

0 ,2 8 5 2

0 ,2 8 2 9

 

0 ,1 2 6 5

0 ,9 9 1 9 0 ,9 8 3 9 0 ,9 6 0 5 0 ,9 4 5 1

0 ,4 6 9 7

0 ,0 5 6 9

0 .0 0 0 0

0 ,3 2 0 0

0 ,2 9 4 6

0 ,2 9 2 1

 

0 ,1 3 0 6

0 ,9 9 1 4

0 ,9 8 2 9

0 ,9 5 7 9

0 ,9 4 1 5

0 ,4 8 3 5

0 ,0 6 0 7

0 ,0 0 0 0

0 ,3 3 0 0

0 ,3 0 4 0

0 ,3 0 1 2

 

0 ,1 3 4 7

0 ,9 9 0 8

0 ,9 8 1 8

0 ,9 5 5 2

0 ,9 3 7 9

0 ,4 9 7 2

0 ,0 6 4 7

0 ,0 0 0 0

0 ,3 4 0 0 ,

0 ,3 1 3 4

0 ,3 1 0 3

 

0 ,1 3 8 8 0 ,9 9 0 3 0 ,9 8 0 7 0 ,9 5 2 5 0 ,9 3 4 2

0 ,5 1 0 9 0 ,0 6 8 7

0 .0 0 0 0

0 ,3 5 0 0

0 ,3 2 2 8

0 ,3 1 9 5

 

0 , 1 4 2 8 .

0 ,9 8 9 7 0 ,9 7 9 5 0 .9 4 9 7 0 ,9 3 0 3 0 ,5 2 4 3 0 ,0 7 2 9 0 ,0 0 0 0

0 ,3 6 0 0

0 ,3 3 2 2

0 ,3 2 8 6

 

0 ,1 4 6 9

0 ,9 8 9 1

0 ,9 7 8 4

0 ,9 4 6 9

0 ,9 2 6 5

0 ,5 3 7 7

0 ,0 7 7 2

0 ,0 0 0 0

0 ,3 7 0 0 '

0 ,3 4 1 6

0 ,3 3 7 7

 

0 ,1 5 1 0 0 ,9 8 8 5 0 ,9 7 7 1 0 ,9 4 3 9

0 ,9 2 2 4

0 ,5 5 0 9 0 ,0 8 1 7 0 ,0 0 0 0

0 ,3 8 0 0 '

0 ,3 5 1 1

0 ,3 4 6 8

 

0 , 1 5 5 1 ' 0 ,9 8 7 8 0 ,9 7 5 9 0 ,9 4 0 9 0 ,9 1 8 3 0 ,5 6 4 0 0 ,0 8 6 3 .0 ,0 0 0 0

0 ,3 9 0 0

0 ,3 6 0 8

0 ,3 5 6 0 '

 

0 ,1 5 9 2 0 ,9 8 7 2 , 0 ,9 7 4 6 0 .9 3 7 8 0 .9 1 4 1 0 ,5 7 6 9 0 ,0 9 1 0 0 ,0 0 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

119

\

Смотрите также файлы