Файл: Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 78

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Отсюда получаем выражения для характерных скоростей по­ тока: .

 

 

 

у

IC —

1

р0

 

(2-18>

 

 

 

 

 

^•Кр ~

-, [

2«

пгг ,

 

/

2к /?о

(2-19)

У

й

т

е т і -

у

. іг м 'р Г

 

-.макс

А ..

1 /

—

 

 

 

 

(2−20)

[/

« — 1 ’

 

 

 

 

^•кр — &(I У к + 1’

 

 

 

(2-21>

 

 

 

(2−22)

^кр

л / ^ ± 1 .

 

 

 

у

к —

1

 

 

-■I ■

^

у

 

 

 

 

акр =

Для воздуха при к = 1,4 имеем

18,3 )/ Т0 и

= 2,45.

 

 

 

 

 

 

 

 

•"Кр

§ 2-4. Параметры течения в произвольном сечении трубки тока

Параметры течения в некотором сечении трубки тока могутбыть выражены через параметры торможения и некоторые из параметров движения в рассматриваемом сечении (р, р, Т, с, а).. Часто за характерный параметр принимается скорость с. При этом оказывается удобным рассматривать ее как безразмерную вели­ чину, которая отнесена к одной из характерных скоростей. Рас­ сматриваются следующие безразмерные скорости:

 

 

 

 

 

Ж = — ;

ч

 

 

 

(2-23)

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = — ;

 

 

 

 

(2-24)

 

 

 

 

 

 

®кр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

(2-25)'

 

 

 

 

 

~

а 0 ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^макс

 

 

 

 

(2-26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соотношение между ними может быть получено

из уравнения

энергии, записанного в различных формах:

 

с-2

 

 

 

 

с2

.

а2

к +1

 

аі

 

 

 

 

 

~ 2 + к ^ Т

к — 1

Якр _

К ■

1

^макс

 

(2-16')

Разделив

все

члены

на с2 и

учитывая

соотношения

(2-23) —

(2-26), получим

 

 

к + 1

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

1

1

1

 

1

1 - 1

. (2-27)

■2 +

к

- Г

м

2 " 2 ( / ( - 1 ) ' 1 !

к — Г

V2

2 ’ S2

25’

Равенства (2-27) дают возможность каждую относительную скорость выразить через любую другую. Например, X и М выра­ жаются друг через друга следующим образом:

X2 =

к +

1

 

 

(2-28)

 

2

:

 

 

 

 

 

 

к- 1+ Ж 2

 

 

У142 = ----------

2Х2

к — 1

(2-29)

1

 

(к +

1)

 

 

к -(- 1

 

 

 

 

 

 

Параметры течения в произвольном сечении трубки тока могут быть выражены через параметры торможения и одну из этих отно- 'сительных скоростей. Определим такие выражения для ско­ рости М.

На основании уравнения (1-20) учитывая, что і = срТ, имеем

 

 

 

С2

 

аі

(2-30)

 

срТ*: срТ '

 

к--- 1

Отсюда

! ± = 1 _ с2 _

C2KR

 

 

(2-31)

 

Т

1

2срТ

1^ 2 с ра2

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

^ = 1

+ ^

Ж

2.

(2-32)

Для изоэнтропического изменения состояния

 

 

 

 

 

 

 

(2-33)

 

формул

(2-32) и (2-33)

 

На основании

М

? Г - ( * ГК

(2-34)

 

Р

 

 

 

 

 

 

ІО.

1 + « - ' / * ’) ^ .

(2-35)

 

р

 

 

 

 

 

 

Таким образом, зная параметры торможения

и безразмерную

■скорость М по формулам

(2-33) и (2-35) можно определить темпе­

ратуру, давление

и плотность в данном сечении трубки тока.

Отношения параметров

Д,

рп

Po

«-

 

т

~~'л —

могут быть выражены через

любые другие относительные скорости

(X, ѵ, £). Через X эти отно-

26

шения определяются зависимостями

^ = ( 1

к —- 1X2

(2-33')

 

/с —{—1

 

 

^ - = [ 1

я — 1,к-,

(2-34')

 

 

 

/с —I

 

К + 1

 

 

in.

К — 1

X2

/с—1

Р

к -f-1

(2-35')

 

 

Используя полученные данные, легко определить отношения ■сходственных параметров в двух произвольных сечениях трубки тока.

Для установления связи параметров с величиной площади сече­ ния используем уравнение неразрывности (2-12) и запишем его для критического и произвольного сечений:

 

G = pcF =

pKpCKpFKp.

(2-36)

Введем новую газодинамическую функцию, определив ее как

 

F

 

 

Рс

(2-37)

 

<7= F

Ркр^кр

 

 

кр

 

Подставив в (2-37) значения

— и — , выраженные

через X,

получим

 

 

Ркр

Ор

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

/с-1

(2-38)

 

 

 

 

AT —J— 1

 

 

 

 

 

Из уравнения (2-17)

выразим скорость звука:

 

 

К ^ 1 ^кр

К — 1

 

 

 

 

Разделив это уравнение на а'кѵ,

будем иметь

 

а

\ 2 к -J- 1 (.

к — •X2

(2-39)

^кр

 

 

 

К -(- 1

 

рс2 Определим отношение скоростного напора ~2 к статическому

давлению р. Для этого воспользуемся уравнением энергии в фор­ ме (2-14):

j

ПС

 

К

 

2р

к — 1 I р1:

 

 

 

Подставив значения

—

и — , выраженные через

находим

 

J = К

-4- 1

X2 1 1 ^ 1 X.4- 1

(2-40)

 

к 4- 1

 

27

§ 2-5. Таблицы газодинамических функций

Как мы видели в предыдущем параграфе, соотношения между параметрами в различных сечениях трубки тока могут быть выра­ жены в виде функций от безразмерной скорости и показателя адиа­ баты к. Для упрощения (расчетов .наиболее важные функции сво­ дятся в таблицы газодинамических функций. Пользование такими таблицами существенно упрощает многие газодинамические расчеты. По этой причине они находят широкое применение. В при­ ложении 1 приведены такие таблицы, построенные в функции от К для газов с показателем адиабаты к= 1,4; 1,35; 130.

Рассмотрим примеры пользования таблицами.

Пример 1. Определить параметры газа на выходе из суживающегося сопла

газовой турбины, если параметры па входе в сопло р0=Ю а г п а ,

Го=1000°К, с0=0,

а давление на выходе р = Ч

 

а т а . Показатель адиабаты «'=1,3, 7?=287 д ж і к г - г р а д .

Вычислим

отношение

я =

— =

-ттс- =

0,7.

 

Для этого

значения находим

 

 

 

 

 

 

До

 

1и

 

 

 

 

 

 

_

 

 

 

в таблице

П-1

при é = l,3

 

(стр. 132)

строчку с jt=p=0,7 и

для

нее выписываем

значения всех интересующих нас функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

0,780;

б =

0,282;

 

і

=

0,759;

 

 

 

 

 

 

Л4=

0,758;

I =

0,959;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v =

0,727;

7 =

0,921;

 

j

=

0,373.

 

 

 

Для определения абсолютных скоростей находим

 

 

 

 

 

а0 =

/

K R То=

V

1,3-28,7.1000 =

610 м і с е к .

 

 

Далее

по относительным

величинам

вычисляем

абсолютные

значения

с =

'іа0 — 0,728-610 =

443 м і с е к ;

 

а

=

р70 =

0,959-610 =

585 м і с е к ;

 

а

к р =

-

568 м і с е к ;

 

Т

=

Т

Т 0

= 0,921-1000 =

92Г К.

. Пример 2. Определить, во сколько раз выходное сечение сопла Лаваля

должно

быть больше

минимального

сечения,

чтобы скорость

на

выходе была

в два раза больше критической.

 

 

 

 

 

Имеем /с= 1,4, Х =

--- = 2.

Из таблицы U-1 (стр. 124)

для

Я = 2,0 находим

Г к р

л

ь к р

р

1

 

 

 

 

~ 5.

 

 

q — —= r = 0,202. Следовательно,

'"кр

 

 

*

 

 

0,202

 

 

 

Глава 3. ПЛОСКОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА

§3-1. Малые возмущения плоского сверхзвукового потока

Вплоском движении все параметры течения меняются в двух взаимно перпендикулярных направлениях, а в третьем остаются неизменными.

Рассмотрим основные свойства плоского сверхзвукового тече­ ния. Поместим в такой поток остроконечный клин (рис.-3-1). Соз­ даваемые этим телом неболь­ шие изменения параметров по­ тока распространяются со ско­ ростью звука а тогда как ско­ рость набегающего потока Сі>аі. Волны возмущения в рассматриваемом потоке пред­ ставляют собой окружности с

центром в

точке A t и с ра­

диусом Г/,

поэтому

где Ату — отрезок времени, отсчитываемый от момента набегания потока на острие А;

A A j— путь, который 'проходят частицы потока от точки А за время Ат(..

При непрерывном обтекании тела в точке А последовательно образуется бесконечное количество волн, движущихся по направле­ нию потока. Так как скорость течения Сі>аі, то позднее образовав­ шиеся волны отстают от предыдущих, причем все семейство волн имеет две общие касательные AB и АВ\, исходящие из точки А, При этом имеет место соотношение

П

1

= S in OCj,

(3-1)

А А;

/ и ,

 

 

где сц — угол наклона касательном к направлению скорости плос­ кого потока.

29

Смотрите также файлы