Файл: Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие.pdf

Г л а в а У. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ПРИКЛАДНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Несколько лат назад перед геомэтрами-ирикладниками нетал» задача создать общий язык с инженерами-конструк - торами. Тщательное знакомство Со способами построения инженерных чертежей поверхностей дало основание геомет — рам сформулировать такие важные понятия, как определи — таль и каркас поверхности.

Под определителем понимается совокупность условий, за­ дающих данную поверхность» Существуют две концепции по - яятия определителя. Первая развивается в учебнике Н.Ф.Чѳтверухинд 'Начертательная геометрия', где дод определите — лем понимается совокупность элементов поверхности (пара­ метров), выделяющих конкретную поверхность из данного класса поверхностей, X которому она принадлежит.

Допустим, что имеем какой-нибудь класс поверхностей, например поверхностей вращения, и хотим выделить из него одну единствеиную поверхность. Для этого достаточно за — дать ось и образующую поверхности вращения. Ида другей пример: имеем класс винтовых поверхностей; чтобы выдѳ — дать из него конкретную поверхность, надо задать ось вра­ щения, образующую и ход ( & ->-?тг) винтовой поверхности.

Особенностью первой конНеддаи является то, что класс поверхности предполагается известным, а задаются геомет­ рические элементы, выделяющие из этого класса конкрет - дую поверхность.

Суть второй концепции заключается в том, что поверх - ноетъ определяется двумя видами условий. Задается фигура постоянных элементов и набор операций по построению то - чек и линий общего положения этой поверхности (алгоритм).

Как показывает практика; в прикладной, геометрии по - верхяостей обе ковлапдии имеют равное значение.

68

Пример 1. Задание поверхности матричным способом (способ разработан Л.В.Сергеевым).

Определитель поверхности составляется тан: берется фи­ гура постоянных элементов, а затем задается матрица дви­ жения образующей;

ОПР. (Фп.э ,* М ).

Пример 2 . Определитель поверхности составляется тах (способ разработан PJT.Ага­

евой) : задаются направляю -

щиѳ 1,2,8 и образующая I

(рис. 88). Далее задаются

формулы мгновенных линей­

но-однородных преобразова­

ний, размножающих линию I

во множество образующих

Ргго ЯЯ

О/ ' ••«

Каркас поверхности

Обычно под каркасом поверхности понимают множество ее линий. Часто каркас поверхности совпадает с силовым каркасом, т.е. конструируется так, чтобы это был одновре ­ менно и силовой каркас и каркас поверхности.

В теории каркаса существуют две концепции: первая со — стоит в том, что за исходное принимается каркас поверхно­ сти, а за производное —поверхность, а вторая —в том, что за исходное принимается поверхность, а за производное — каркас.

Каркасные способы решения позяпионных и : метрических задач:

Задача 1. Зная закон образования поверхности, выделить фигуру достоянных элементов, алгоритм построения линий общего положения и построить каркас поверхности.

Готовых рецептов решения этой задачи нет, но во многих случаях Оно необыкновенно: просто: например, построить кар­ кас поверхности вращения (рис. 90),

88

Первый вариант решения. Пусть заданы своими проекция­

стится эта точка, а если точки на ме - ридиане взять достаточно плотно, полу­ чим сколь угодно много линий каркаса -

параллелей.

Второй вариант решения. Фигура по­ стоянных элементов сохраняется ( z н « ) , а в качестве алгоритма выбирается вращение меридиана (рис. 91).

Прямоугольная проекция плос — кой кривой /гг при вращении ее

плоскости 2J вокруг следа (оси z ) подвергается преобразованию

родства одного и того же направ­

ления с одной и той же осью.

Коэффициент родства определяется

косинусом угла наклона плоскости

меридиана к фронтальной плоскости

проекций <Н2 .

Повернем меридиан т. вокруг оси z (оси родства) на угод ос в новое положение ю ' . Направление родства будет

Новое положение фронтальной проекции меридиана строим как фигуру, родственную линии nz2 . Таким образом, во фронтальной плоскости проекций подучим семейство

70

состоящее из попарно родственных между собой кривых т 21 —

проекций различных положений меридиана т. , а в горизон­

тальной плоскости проекций — каркас, составленный из пря­ мых, проходящих через точку Zf .

Задача 2. На чертеже каркаса поверхности по одной про­ екции линии, принадлежащей этой поверхности, построить ее вторую проекцию (рис. 92).

Пусть имеем чертеж каркаса

какой-либо поверхности. Дана

произвольная линия у , принадле­

жащая этой поверхности.

По горизонтальной проекции

линии легко найти ее вторую

проекцию f . Следует заметить,

что j 2 — лекальная 'кривая, т.е.

подученное решение —приближен­

ное.

Задача 8. На чертеже каркаса поверхности построить точку пересечения поверхности Ф с некоторой кривой т (рис. 98).

Имеем поверхность Ф и некоторую линию т . Найти точку пересечения линии с поверхностью.

Заключим линию гп. в какую-либо вспомогательную по —

верхность ф ' . Допустим, что Ф ' пересекает Ф> по веко —

торой линии п . Тогда легко получитъ точку М пересече — ния линий т и п , которая и будет искомой.

На шторе Мошка в качестве вспомогательной поверхнос­ ти Ф г выбиралась, как правило , проецирующая поверхность (решение этой задачи вытекает и з схемы построения точки пересечения прямой с плоскостью).

Пусть имеем проекции каркаса поверхности на эпюре в двух проекциях и кривую т ( гп1 , ггг2 ) . Требуется постро — иті точку пересечения кривой с поверхностью (рис. 94).

71

Пё Ф2- £2*

Заключаем т в проецирующую поверхность Ф (цилиндри - ческую). Фронтальная проекция линии пересечения поверхно­ стей будет т г « « 2. Далее решение сводится к задаче 2: сна­

чала находят точку Mf , а затем - /И2 .

Задлча 4 . На чертеже поверхности по одной проекции точ­ ки построить ее вторую проекцию, зная, что эта точка при - надлежит данной поверхности.

Различают три варианта решения:

1- й вариант (решение задачи не требует построения обра зующих каркаса): чертеж сферы задан проекциями ее центра

и какой-либо точки этой сферы ( О t /И ); дана точка A/f .по­

строить /Ѵ2 (рис. 95).

Определяем натуральную величину радиуса сферы, а за -

72

(рис. 97) (для решения задачи необходимо использовать слу­ чайную линию f на поверхности).

мг

А^2

Рис. 96

В плоскости ТС1 строим достаточно плотный каркас поверх­

ности - проекции образующих геликоида. Строим фронталъ — ные проекции образуваших на конусе, а затем поднимаем каж­ дую на соответствующую высоту.

Проводим через проекцию Nг точки N , лежащей на по -

Решение —приближенное в силу графического построения ли-

Множество этих точек определит линию тп пересечения поверхностей Ф ' и Ф 2.

73