Файл: Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие.pdf

Гл а з а У1. ПРОСТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Втопологии поверхность определяете« кая непрерывное двухнараметрическое множество точек. Иногда поверхности делят на простые и сложные. Рассмотрим, как они могут быть определены.

Впространстве можно установить следующие виды яви — жения:

поступательное движение - точки Какого-либо объекта

перемешаются параллельно некоторой заданной прямой (ско­ рости перемещении точек во внимание не принимаются);

вращательное движение — точки объекта перемещаются по окружностям, вращаясь вокруг некоторой оси;

винтовое движение - комбинация поступательного и вра - щательного движения; в этом случае траектории точек пред­ ставляют собой цилиндрические винтовые линии постояннаго кода; винтовые линии движения точек навиваются на соос — ные цилиндры вращения.

Указанные выше виды движения называются простыми. Наряду с этим существует сложное движение, например, вращеиие вокруг переменной оси.

Рассмотрим пример слож­ ного движения. Допустим, име­ ем некоторую пространствен — ную линию тть(рис. ѲѲ).

В каждой точке М кривой m можно выделить касатель­ ную t , нормаль п ж биыор — малъ Ъ . Если точку М непре­ рывно перемещать по линии

m , то через некоторый мо - мент времени она совпадет с точкой М ' . Если взять точ -

74

ку /V в плоскости n t трехгранника Ъ іп , то при его движе­ нии по линии гл, тонка N будет описывать некоторую траекто­

рию і ' , Движение точки N является сложным.

Условимся простой поверхностью называть поверхность, образованную простым движением образующей линии неизмен­ ной формы. Все остальные поверхности будут сложными. За­ метим, что в зависимости от закона образования поверхнос­ тей одну и ту же поверхность можно отнести как к классу сложных поверхностей, так к к классу простых. Поэтому чет­ кую классификацию поверхностей в начертательной геомет - рин создать не удается.

§ 1. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Поверхностью вращения называется поверхность, образа — ванная вращением какой-либо линии вокруг прямой. Каждая точка такой линии описывает окружность р - параллели (рис. 100). Если провести плос­

кость, проходящую через ось z поверхности, получим линию т — меридиан. Поверхность враще - ния несет на себе два семей - ства линий —параллели и мери­ дианы. Параллели поверхности вращения подобны, а меридианы равны между собой.

Свойства симметрии поверх­ ностей вращения;

1) любая осевая плоскость является плоскостью симметрии поверхности вращения;

2) меридиан поверхности представляет собой кривую,сим­ метричную относительно оси вращения.

Т е о р е м а : любое плоское сечение поверхности вращения представляет собой кривую, симметричную относительно пря­ моугольной проекции оси а на плоскость сечения

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим, что имеем поверхность вращения (рис. 101).

Рассечем ее какой-либо плоскостью а /. В результате по­ лучим линию т . Спроецируем точку А на плоскость сс'. Че -

75

рез точку А 0£будет проходить проекция оси Z . Возьмем на линии т какую-либо точку АЛ и прове­

дем параллель р . Плоскость этой пабудет пересекаться с прое­ цирующей плоскостью АА°*№по диамет­

ру d . Секущая плоскость ß будет

иметь хорду, перпендикулярную проеци­

Рис. 101

рующей плоскости, а значит, появится точка М, симметричная /И .

Пример 1. Допустим даны ось вращения z и плоскость ос с нанесенной на ней кривой т (рис. 102), которая вращает­ ся вокруг оси z . Построить плоское сечение полученной по­ верхности вращения в плоскости ос .

Решение выполняется на основе вышеизложенной теоремы.

Сечение состоит из двух кривых т и т'.

Пример 2. В плоскости ос дана окружность. Рассмотреть, какие плоские сечения поверхности могут получиться в этом случае (рис. 103).

Очевидно, что все зависит от того, как расположена пря­ моугольная проекция оси z на плоскость ос . Допустим, что ось г “ проходит через центр вращения окружности, тогда эта окружность и будет являться плоским сечением поверх—

70

ности вращения. В противном случае сечение будет состоять из двух окружностей.

Если г “*проходит через центр окружности, то в резудъ - тате вращения окружности получается шаровой пояс (рис.104).

Критерии задания поверхностей

Поверхность считается заданной в пространстве, если от­ носительно любой точки пространства можно однозначно ре­ шить вопрос о ее принадлежности этой поверхности.

Поверхность считается заданной на чертежа, если отно — сительно любой точки, заданной на том же чертеже, можно только но чертежу однозначно решить вопрос о ее принад — нежности поверхности.

Критерий задания поверхностей на чертеже Монжа. Если по одной проекции точки поверхности можно построить ее вторую проекцию, то поверхность на чертеже задана.

Докажем это. Пусть имеем какую-либо поверхность Ф , задавшую двумя проекциями (рис. 105). Возьмем какую-ли - бо точку /И ( Мг , Mz ) . Примем точку /И/ за горизонталь -

ную проекцию А/г какой-либо другой точки N . Если наш чер­ теж есть чертеж, задающий поверхность, то можно ностро — ить ее вторую проекцию. /vz . Допустим, что точка /Ѵг не сов­

пала с М2 • Это значит, что точка /и не лежит на поверх­ ности Ф . Следовательно, для того чтобы установить, за - дан ли чертеж поверхности, надо показать возможность по - строения на нем второй проекции точки поверхности. Если эта задача разрешима, тогда относительно любой точки MfMz можно однозначно решить вопрос, принадлежит она

данной поверхности или нет.

Докажем следующее предложение. Поверхность вращения задана на чертеже Монжа, если на нем построены проекции оси и образующей (рис. 106).

Предположим, что проекция Мг точки /И прияадлеі -

жит поверхности вращения. В соответствия с критерием чер­ теж поверхности задан, если можно построить вторую проек­ цию М1 точки /И . Следовательно, задана разрешима.

77

Рис. 105 Рис. 106

Уравнение поверхности вращения

Допустим, имеем систему координат x z на плоскости

Вывод. Чтобы подучить уравнение поверхности вращения,

необходимо р уравнение меридиана вместо х подставить

Ѵ > ? + у г \

78

Пример 1. Окружность вращается вокруг своего диаметра. Составить уравнение поверхности (рис. 108).

Введем систему координат x z и запишем уравнение окруж­ ности X2 + z z ~ J?2 . Подставив вместо л его значение

Ѵ х2 + у 2 , подучим уравнение поверхности вращения (сферы;

х 2+ у г + Z z —E z.

Пример 2 . Э ллипс вращается вокруг своей большой оси.

Составить уравнение эллипсоида вращения (рис. 109). Из уравнение меридиана

получаем уравнение эллипсоида

вокруг ее мнимой оси 2 , получаем однополостный гш іерболоид вращения

79

А г

b 2

Рис. 113

80