Файл: Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 100
Скачиваний: 1
кающую ось z под некоторым углом ос , Остается задать величину смещения А прямой А/И , и чертеж поверхности будет задан (рис. 125).
Далее, рассуждая, как и в предыдущем случае, можно доказать, что полученный чертеж задает наклонный гелико ид. Отметим только, что в данном случае направляющей по верхностью является коническая поверхность с вершиной в точке А .
Винтовой торс. Зададим ось вращения г ( z f , Z2) и скре
щивающийся с ней отрезок прямой AM ( А; /И ; А2М2) (рис.126).
Подвергнем отрезок AM винтовому перемещению. В резуль тате получим винтовую поверхность.
і |
|
Рис. 126 |
Рис. 127 |
Винтовую поверхность можно образовать и другим спо — собом. Допустим имеем цилиндр вращения с винтовой лини ей V , а некоторый отрезок прямой перемещается в прост
ранстве так, что в каждый момент времени касается линии V в точках /И ... В результате получаем винтовую поверх ность с ребром возврата - винтовой торс (рис. 127). Оче - видно, здесь направляющей поверхностью является гипербо лоид вращения, ось z которого принимается за направление смещения, а каждая его образующая, поворачиваясь на угол cf , смещается на величину к = с • .
Г л ав а УП. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
8 1. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Цилиндрической поверхностью называется линейчатая поверхность, образованная параллельным перемещением прямой линии (образующей) при котором она пересекает одну и ту же кривую ( направляющую).
Цийиндрическая поверхность на эпюре Мовжа задается
проекциями направляющей т и
одной образующей І . Чтобы
чертеж стал наглядным, надо
построить каркас поверхности.
Чтобы доказать, что поверх - ноетъ этими условиями зада
на, следует показать, что на
таком чертеже можно постро
Рис.. 128
ить по одной проекции /И/ точ
ки м ее вторую проекцию М2 Решить эту задачу нетруд -
но (рис. 128).
Некоторые свойства цилиндрической поверхности
Любые два плоских сечения цилиндрической поверхности родственны.
Допустим, имеем какую-либо цилиндрическую поверхность Ф . Построим на ней два плоских сечения т ' и/ѵг2 (не по образующим), причем совершенно неважно, как были выбра ны плоскости of'и of2.
89
Легко видеть (рис. 129), что пиния т /есть параллель - ная проекция плоской линии r n zt следовательно, они родст венны. Отсюда вытекают следствия:
1. Касательные к плоским сечениям в точках Одной обра зующей или параллельны или пересекаются.
Возьмем на образующей I цилиндрической поверхности
некоторую точку /И2 |
и |
касательную t 2, |
а также точку М ' на |
той же образующей |
и касательную к |
поверхности. Эти ка |
|
сательные либо параллельны, либо пересекаются (рисЛ 30). Если касательные пересекаются, то только на линии пересе
чения плоскостей о-2и ос1,
-Рис. L29 |
Рис. 130 |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как кривые т? и т 2родствен - |
|
ыы, то касательные |
к ним / ги t 2 (проведенные через соот |
ветственные точки) |
кяк родственные прямые либо пересека |
ются на оси родства, либо параллельны между собой и -па раллельны оси родства.
2. Касательная плоскость вдоль образующей цилиндричес кой поверхности не изменяет своего положения.
Известно, что касательная плоскость определяется каса тельными к двум пересекающимся прямым на поверхности. В данном примере плоскости *г1 и Т 2 определены касатель -
ными t 7%t Zи образующей поверхности I : 'С1 [ / , / ' ] ; Г2[ / 512]
(рис. 130). Докажем, что t !s T 2 , для чего возьмем прямую
I , входящую в состав Т 1 , а t ’ü i 1 или пересекает t 2 . Сле довательно, эти плоскости совпадают.
8. Касательная плоскость к цилиндрической поверхности непрерывным перемещением может обкатывать ату поверх - ноетъ.
Пусть имеем проекцию ф>1 поверхности ф по направле -
нию образующей / . |
<у-' |
В этом случае все
образующие поверх
ности выродятся в
точки, а касатель — |
Рис. 131 |
ные плоскости - в прямые (рис. 131) .
Теперь можно говорить о развертке цилиндрической по — верхности. Представим себе обратное движение: о&атываем цилиндр до плоскости и в сиду второго свойства получаем его развертку.
Уравнение цилиндрической поверхности
Рассмотрим частный случай составления уравнения цилинд рической поверхности (рис. 132). Допустим цилиндрическая
на следе поверхности, можно запи сать уравнение прямой, проходящей через две точки в про — странстве:
х - х , |
в у - у 1 _ |
г - г , |
ГТЪ |
п |
р |
91
Затем в это уравнение вместо у |
ставим 0, а вместо Z — |
функцию у ( X ). Тогда уравнение |
цилиндрической поверхно - |
сти в ц араметрической форме будет иметь вид |
|
= _У _ |
* - / ( * , ) |
т |
р |
где х ъ у и z - текущие координаты точек на поверхности. Параметром является величина х 1 . Рассмотрим, в каких
случаях две данные кривые можно расположить на одной ци линдрической поверхности. Пусть даны две плоские кривые. Прежде всего надо выяснить, представляет ли одна из них параллельную проекцию другой или нет, т.е. являются ли эти кривые родственными. Родство можно: проверить по ка — сательным к этим кривым.
Большие трудности возникают в том случае, если одна кривая представляет собой полное сечение некоторого ци — линдра, а другая является дутой второго сечения. Тогда ци линдрическая поверхность может быть натянута только на совпадающих участках. Поэтому надо взять касательную к некоторой точке одной кривой и посмотреть, найдется ли у другой кривой касательная, параллельная или пересекающая первую. Трудность решения задачи состоит в необходимости проведения большого числа проб. В случае задания простран ственных'кривых решение задачи осуществляется по той же схеме.
|
§ 2. КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ |
|||
|
Конической поверхностью называется поверхность, обра |
|||
зованная перемещением прямой линии I |
, при котором она |
|||
проходит через одну и ту же точку S |
и пересекает одну и |
|||
ту |
жн кривую т - направляющую (рис. |
133). |
||
, |
Например, имеется точка |
S |
, через которую во всех на |
|
правлениях проходят прямые |
I |
... Такая фигура называется |
||
связкой прямых. Связка заполняет пространство, потому что, какую бы мы не взяли точку /И в пространстве, через нее и точку S пройдет прямая. Представим себе, что в связку погружается некоторая лилия т . Очевидно, она и выделит коническую поверхность Ф' (рис. 134).
92
м |
s |
е
Некоторые свойства конической поверхности
Параллельные плоские сечения конической поверхности
центрально подобны: т. с о т (рис. 13S). Отсюда вытекают следствия:
1. Касательные к плоским сечениям в соответственных
точках параллельны: t ГЦt 2.
2. Касательная плоскость вдоль образующей не меняет
своего положения: ‘Т/ = <г2 .
3. Любые две кривые, расположенные на одной коничес - кой поверхности, в соответственных точках имеют или па - раллельные, или пересекающиеся касательные, так как каса тельные в соответственных точках кривых располагаются в общей касательной плоскости к конической поверхности.
83
Здрятта конической поверхности на чертеж» Монжа; Для яадяяия конической поверхности на чертеже необходимо з а дать проекции вершины S ( S f \ S2 ) конуса и направляю -
тих т { т 7 ; гп2 ) (рис. 136).
Уравнение конической поверхностн
Предположим» что коническая поверхность задана своим следом в плоскости x O z , имеющим уравнение z =■ ( х 1 ) э и вершиной S С координатами х 2 » y z ■ гг2 (рис. 137). Зная
точку S и точку N ( х 1 %0 |
ш |
расположенную на следе ловерхно -
сти, можно записать уравнения пря
мой» проходящей через две точки в
пространстве: |
|
|
* |
в У 'У , |
z ~z , _ |
* 2 - * , ~ Уг -У, |
= z z ~z r ' |
|
Так как У7=0 и z ~ f ( x t ), то
уравнения конической поверхности в параметрической форме будут иметь вид
X -■*, |
J _ |
g - f ( X j ) |
Х2 ~ Х 1 |
|
Z Z ~<f ( Xl ) |
Параметром является величина xt .
8 3. ТОРСОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Торсовой поверхностью называется поверхность касатель ных к пространственной линии. Торсовые поверхности плохо поддаются изучению аппаратом начертательной геометрии.
Объясняется это сложностью их образования. Торсовая по - верхность состоит из двух поп, линией раздела которых яв ляется ребро возврата поверхности ѵ (рис. 138).
На эпюре Монжа торсовая поверхность задается ребром возврата ѵ ( Ѵг • ѵ2 ^ (Рис139). Легко видеть, что в
94
этом случае можно по горизонтальной проекции точки поверх ности построить ее фронтальную проекцию. Следовательно, по верхность задана.
Через заданную проекцию точки М ( |
М, |
) проводим ка - |
|
сательную і } к проекци ” , • Отмечаем точку |
к |
касания с |
|
Ѵ1 и находим на ѵ2 ее проекцию, затем |
через |
к2 проводим |
|
касательную £ кVZ IL по линии связи на tz |
находим вторую |
||
проекцию М2 точки М .
Для получения наглядного чертежа необходимо построить каркас поверхности. Примем без доказательства, что каеа - тельная плоскость вдоль образующей торса не меняет" свое го положения (постоянна во всех своих точках). Отсюда вы текает, что, какие бы кривые не взяли на поверхности тор са, в соответственных точках их касательные или параллель ны, или пересекаются.
Иногда говорят, что смежные образующие торсовой по — вѳрхности лежат в одной плоскости. Это надо понимать так (рис. 140): в дифференциальной геометрии доказывается,«то если A B — расстояние между точками соприкосновения ка — сательных есть бесконечно малая первого порядка малости, то 12 - расстояние между касательными есть бесконечно
малая второго порядка малости, т.е. |
12 |
п о |
|
0. В этом |
смысле можно говорить о пересечении смежных офазующих торсовой поверхности.
65
§ 4. КОНГРУЕНШИ ПРЯМЫХ
Иногда для конструирования линейчатой поверхности бе - рут конгруешшю прямых, под которой понимается множѳст - во прямых, зависящих от двух параметров.
Представим себе некоторую поверхность и в каждой точ ке этой поверхности - касательную плоскость (рис. 141). Тогда через каждую точку касания плоскости с поверхно — стью можно провести перпендикуляр к поверхности. Множе - ство всех нормалей к поверхности есть контруешщя.
Рис. 142
Возьмем две какие-либо кривые тп и « , а на линии m — точку /И (рис. 142), Тогда в рассмотрение можно ввести
некоторую коническую поверхность |
, определяемую точ |
|
кой М и направляющей тг : |
п \ . |
Перемещая точку М — |
вершину конической поверхности по пинии m , получаем но вые конические поверхности, образующие которых заполни — ют некоторый отсек пространства.
Множество всех прямых (образующих) является двупара метрическим множеством. Если взять некоторую прямую I
этой контруеншш, то ее положение определится дугами 0 S 1
и 0 S 2 . Множество всех прямых, пересекающих две данные кривые, есть двупараметрическое множество, т.е. конгруен— пня.
Изучением гонгруешшй линейчатых поверхностей в на - чертательной геометрии не занимаются, так как с помощью проекционного метода нельзя вывеете их общие Свойства, я поэтому рассматриваются только частные случаи конгруендий.
96