Файл: Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 174

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

-

5Q

-

 

- гиперсфере) с радиусом р

. Или,

другими словаки,

точ­

ность предсказания параметра

оптимизации одинакова

на

равных расстояниях от центра эксперимента я не зависит от

направления. Планирование, обладающее этим свойством, на­ зывается ротатабельнш планированием (см. также § 1 - 3) .

3 предыдущем параграфе мы рассмотрели ортогональное

планирование второго порядка, но исследования показывают,

что критерий ортогональности является недостаточно силь-

эвм критерием оптимальности для планирования второго по­

рядка. В ортогональном планировании второго порядка ко­

эффициента регрессии определяются с неодинаковыми диспер­

сиями (не выполняется требование '

)

• П Р Я

пово­

роте "координатных осей факторного

пространства

зеличины

этих дисперсий меняются по весьма

сложному закону,

поэто-

л

 

 

 

ау дисперсия ij неинвариаитна к ортогональному вращению

координат, то есть такое цианирование не является рота-

твбеяьаш.

Звбор некоторого универсаданого критерия оптимальяо-

сти планирования, оценивающего планы со всевозыоззнх то -

чех зрения, очень сложная задача. В 1957 году Бокс и

Хантер предложили считать оптимальным дланярозаниеи вто­

рого порядка ротатабеявное планирование, позволяпцее по-, лучать сшметричнве информационные контуры. Такой крите­

рий хорошо согласуется с теми интуитивными представлени­

ями об оптимальности планирования, которые имеются у ис­

следователя. Исследователю представляется естественным

-61 -

стремиться прежде всего к тому, чтобы -информация, содер­ жащаяся в уравнении регрессии, была равномерно "размаза­

на" по сферам.

Исследования последних лет показали, что ротатабехь-

нне плана являются оптимальными ж в более широком смысле:

к ним приходится обращаться я тогда, когда надо минимизи­

ровать систематические ошибки, связаннне с неадекватностью представления результатов исследования полинонами второго порядка.

Построение ротатабельннх планов - это сложная матема­ тическая задача. Мы ограничимся изложением только практи­

ческих аспектов этой задачи.

По-видимому .можно предложить множество способов пост­

роения ротатабельннх планов второго порядка. Известное

нам по предыдущему параграфу к о м п о з и ц и о н н о е

п л а

н и р о в а н и е

с числом точек

согласно формуле

(3.1)

- о д и н а з

в о з м о х н н х

способов пост­

роения ротатабельннх планов. В этом случае выполнения свойства ротатабельности добиваются соответствующим вв-

бором величина звездного плеча: при

п>, =

2

, об = 2 4 ,

а если яд]Оом служат дробные реплики

п0=

2

, то

<*, = 2 Т

. Такое планирование называют центральным ком­

позиционным

р о т а т а б е л ь н н м

у н и ф о р и -

п л а н и р о в а н и е м второго порядка.'Для рота-

табельного унЕфоргл-планирования информация (величина об­

ратная дисперсии 6 2 { $ } ) остается постоянней в области

-5 2 -

факторного пространства, ограниченного радиусом, равным

единице.

Ниже мы рассмотрим

с п о с о б

п о с т р о е н и я

р о т а т а б е я„ь н и х

п л а в о в

в т о р о г о

п о р я д к а в з с и м п л е к с н ы х

п л а н о в .

Рассмотрим случай

К я

2 . В этом случае

симплексный

план - вершины равностороннего треугольника

(см. § 1 - 7) .

Соединив три точки в вершинах равностороннего треугольни­

ка с Началом в центре треугольника, получим три вектора,

показанные на рис.3.2.

Рис. 3 . 2

Складывая полученные вектора по два сразу, подучим второй равносторонний треугольник ; складывая векторы по три сразу, получаем центральную точку. Первоначальное расположение . плюс образованные точки дают план, показанный на рис.3.3.

Первоначальный план плюс образованные точки дают шести­ угольный план, который образует ротатабельное устройство второго порядка. Это следует из следующей т е о р е м ы , доказанной в математической теории эксперимента, - п. точек,

- 65 -

Рис. 3 . 3

равяорасполояеЕннх на окружности полоаительного радиуса,

удовлетворяют условиям ротатабельности тогда и только

тогда, когда

к» > 4 .

 

Аналогичная

картина получается и при К « 3 . Проводят­

ся четыре вектора из начала' х вершинам тетраэдра.

Когда"

складываем всевозможными способами по два вектора

сразу,

получаем шесть векторов, проходящих черев серединн ребер

тетраэдра. Если складывать по три вектора, то пол> *ии че­

тыре вектора,

проходящие

через

средние точки граней пер­

воначального

тетраэдра,

и когда

складываем ло четыре век­

тора сразу-полу чаем центральную

точку. Если длины образо­

ванных векторов выбраны подходящим образом, то результирую­ щее устройство будет ротатабельным планом второго порядка

(в данном случае этот план совпадает с рассмотренным ра­

нее композиционным планом с об = 2 ^ ) .

В теории планирования эксперимента показано,-что при

помощи операции суммирования векторов .идущих ив начала ко­

ординат в вершины симплекса - по два, по три и т.д. до J(,

- 6 4

-

можно при любой k построить множество точек, добавление которвк к неходкому плаву первого порядка даст ротатабельннй план второго порядка. Полученные таким способом плавя называют е н н п л е к с н о - в у и м и р у е и н м и . Число точек в полученных планах при К > 5 становится слишком большим по сравнению с числом констант-, которые необходимо определить. В таком случае южно использовать дробные реплики.

§ 3 - 3 . Р а з б и е н и е

н а

о р т о г о н а л ь -

я н е

б л о к и

 

При описании поверхности отклика полиномами второго

порядка приходится ставить уже очень большое число опытов. Естественно при атом разбивать эксперимента на ортогональ­ ные блоки тая, чтобн можно было исключить влияние неконтроларуемого временного дрейфа. Для этого вводят новую пе­

ременную

г ,

характеризующую межблоковой дрейф,

и разбие-

ние^на

блоки производят так,

чтобн переменные

полиномов

х ь ,

x t

х^,

х* оказались

ортогональными к

переменной

по блохам

2 .

, .

'

 

 

Если временной дрейф можно аппроксимировать

некоторым

дискретным процессом, то уравнение регрессия после разбие­ ния экспериментов на пь блоков может быть записано в с л е ­ дующем виде

( 3 . 5 )

 

-

65 -

где

j b o b - ожидаемое значение захода в центре планирова­

ния для S —го блока, 2 , & ц - некоторая "фиктивная" перемен­

ная,

принимавдая значение, равное единице для S —го бло­

ка,

если ожидаемое значение уи

относится к этому блоку,

и значение, равнее нулю, для всех остальных блоков.

 

Перепишем уравнение (3 . 5)

следующим образом:

где

а ь

-

число опытов в

Ь —ом блоке. Заметим, что

г.

-г.с

 

- 1 -

 

 

» когда

точки соответствуют s-^ому

блоку,

z b u - г 4 «

-

 

 

во всех

остальных

случаях.

 

Условия ортогональности переменных полиномов к пере­

менной

по блокам

г «• I S u - I

 

s

запишутся так:

 

 

 

 

Л*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

" ь ,

{

=

0 , 1 , 2 , . . . ,

 

К

, то есть

 

 

 

 

 

u » 1

 

 

 

 

 

U "

1

 

 

 

 

Отсюда следует,

что если

L ^ j

, то получаем первое ус­

ловие

 

 

^

 

x 6 u * j

u =

0,

 

-

• -

.

 

S -

, - и*1

, m, ,

• / ;

,

;

П 1 С

 

t

(3.6/

 

1, 2 ,

. . •

1ф]

 

u , J - U , 1 , < i , . . .

 

n , ,

- 66 -

так как для рассмотренных наш ранее планов второго по­ рядка всегда

. u»1

J

 

Уоловию ( 3 . 6 ) удовлетворяет полннй факторный экспе­

римент и дробные реплики от него,- образующие ядро компо­ зиционного планирования, а также множество авездннх то­ чек с помощью которых в композиционной планировании дост­ раивается ядро.

Если о = j , то получаем второе условие

ТЕ

Это значит, что сумма квадратов для всех переменных данного блока должна быть пропорциовальна числу опытов в бдоке.

Композиционный план всегда можно разбить хотя он на два блоха. В первый блок войдет полный факторный экспе­ римент (гиперкуб). Обозначим число точек гиперкуба через

ас . Во второй блок следует включить звездные точки.

Обозначим их число через

п.^ . Общее число нулевых точек

нужно распределить

между этими блоками так,

чтобы выпол­

нялось соотношение

( 3 . 7 ) .

Обозначим через

гъ^и

щ_0

число центральных точек гиперкуба и звезды соответствен­ но. Тогда условие ( 3 . 7 ) для первого блока запишется в

- 6 7 -

виде

I l T X T V X

'

(3 . 8)

u«1 >

 

 

а для второго блока условие (3 . 7) примет следущий вид

С помочью ( 3 . 8 ) I

( 3 . 9 ) получим

 

2 Ы *

r w + n . i e

(ЗЛО)

Таким образом за счет перераспределения пентральнни~точек

между блоками мы всегда можем добиться выполнения соотно­ шения ( 3 . 1 0 ) , а значит ж выполнения условия ( 3 . 7 ) *

 

З А Д А Ч И

3 . 1

. Запишите полином второго порядка для задачи

с четырьмя факторами. Определите число коэффициентов

регрессия

этого уравнения, которое необходимо определить

3 . 2 . Подсчитайте общее число опытов плана второго порядка в случае изучения вяияния a e o n факторов (ядром плана вобрана полурепхика от полного факторного экспери­ мента). Сколько авяяжяшг точек включает м о т план.

3 . 3 . Составьте матрицу центрального конпозипнонного плаянроваяяв второго порядка ждя задачи с четврым фокторамн.

Смотрите также файлы