Файл: Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие.pdf

ракочевавввя" аа*см а а рабе» жруи* авторов (с»., вввримвр, стр. 85 аяага Д.П.1у»авоаа [32] ).

ГЛАВА-17

ПОИСК ОПТИМАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

проектирования и планирования, а также разработки техноло­ гии различных процессов (ггамических, физических и металлур­ гических'! в той или иной мере связано с оптимизацией, т . в . нахождением наилучших в определенном смысл" значений раз­ личных параметров (факторов). Задача оптимизации может быть решена путем исследования математической зависимости, описы­ вающей область факторного пространства в широком интервале изменения факторов.

Однако такие зависимости часто бывают очень сложны,и их исследование для определения оптимума является гсрайне труд­ ной задачей, Исследователи идут обычно другим путем: внача­ ле тем или иным способен цаходят оптимальную область, а за­ тем описывают её уравнением второго или третьего порядка. В настоящее вреда существует много различных,методов поиска оптимальной области. -Их можно разбить на две группы: детер­ минированные и статистические. В детерминированных методах поиска движение к оптимальному осуществляется на основе ин­ формации, получаемых от пробных движений, совершаемых в опре­ деленной последовательности. В статистических методах поис-

-91 -

ка пробные движения производятся в той или иной мере случай­ ным образом, а движение к оптимуму является вполне оп­ ределенным следствием реакций на случайные пробы. В прак­ тике планирования эксперимента наиболее широко применяются детерминированные методы псзска.

§ 4 - 2 . М е т о д Г а у с с а-3 е й д е л я Среди детерминированных методов поиска оптимальной сб-

ласти наиболее старым является метод Iaycca-Зейделя, при ко­ тором все факторы, кроме одного, поочередно фиксируются. Это известная нам из § В-3 схеыа сднофакаорного эксперимента.

Здесь исследователь изучает поведение каждого фактора в от­ дельности. Ставится серия опытов при различных значениях не­ зафиксированного фактора и таким образом, двигаясь парал­ лельно одной из осей факторного пространства, исследователь находит наилучшее для рассматриваемого разреза поверхности отклика значение параметра оптимизации. Затем в этой наилуч­ шей точке он поворачивается и ставит следующую серию опытов при различных значениях следующего фактора (остальные фак­ торы при этом зафиксированы). Таким образом осуществляется движение параллельно следувярй оси факторного пространства. Последовательнее прохождение всех осей факторного простран­ ства составляет первый цикл исследования. Процедуру повто­ ряют до получения оптимум ЕЛИ ДС попадания в некоторую гочку, любое движение из которой "ухудшает" значение параметра оптимизации. Распространенным недостатком проведения экспе­ римента по этому методу является прекращение работы после

ка, напоминающий итерационный метод .решения задач вычисли­

тельной математики. Вначале давится небольшая серия опытов (дробный факторный эксперимент) для локального описания не­

большого участка поверхности отклика полиномом первой сте­

пени. Далее движение осуществляется по поверхности отклика

в направлении градиента линейного приближения. Это движение

сопровождается одновременным изменением значений в с е х

факторов. Если одного линейного приближения оказывается не­

достаточно, то ставится новая небольшая серия опытов и нахо­

дится новое направление для движения по поверхности отклика.

Такой шаговый процесс движения по поверхности отклика про­

должается до тех пор, пока исследователь не попадет в "почти

стационарную область", где линейное приближение сказывается

уже недостаточным ; здесь ставится большая серия опытов и по­

верхность отклика описывается полиномом второго, а иногда

третьего порядка. При таком подходе к задаче достигается

весьма высокая концентрация опытов в той части поверхности

отклика, которая преимущественно интересует исследователя.

Движение по градиенту давно известно в науке. Существен­

- 9 4 -

На рисунке пунктирной линией показано движение по мето­

ду Гаусса-Зейделя, а сплошной - по методу крутого восхозде- , -• ния. Из рисунка ясно, что при использовании метода крутого восхождения путь, который необходимо пройти экспериыентато-

ру, значительно сокращается. С возрастанием числа факторов эффект от применения метода крутого восхождения возрастает.

Практическое применение метода Бокса-Уилсона неразрывно связано с принятием решений после построения линейного при­ ближения (линейной модели) и после крутого восхождения.Оче­

видно, что рассмотрение этих вопросов может оказаться по­ лезным и для других методов поиска оптимальной области.

исследования (достижение оптимума, построение интерполяцион­ ной формулы) и т . д . Пр*дМерное количество возможных решений достигает нескольких десятков тысяч. Поэтому ниже обсудим только "типичные" решения. Ситуации будем разлсчать по адек­ ватности и неадекватности модели, значимости и незначимости коэффициентов регрессии в модели, информации о положении оп­ тимума.