Файл: Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие.pdf

Исследование уравнения регрессии начинай! с приведе-,

ния его в канонической форые. Получение канонической фор­

мы состоит в переходе к новой системе координат, в кото­

рой уравнение регрессии приобретает вид, характеризующий

форму поверхности отклика. Такое уравнение содержит толь­

ко квадратичные члены

ции в центре поверхности отклика (в новом начале коорди­

нат); 5 > j j - канонические коэффициенты, X j - новые ко­

ординаты.

* Центр новой снсхемы координат совпадает с центром по­

верхности отклика. Координаты центра поверхности отклика в

старой системе координат вычисляют посредством решения сис­

темы уравнений, состоящей из частных производных, которые

для этой целя приравнивают к нулю*

—109 —

Вычисленные таким способом значения факторов подстав­

Решение уравнения ( 4 * 6 ) дает возможность вычислить

значения канонических коэффициентов. Число корней уравне­ ния ( 4 . 6 ) равно числу факторов. Проверка правильности рас­

четов может бить осуществлена по формуле

По знакам ханоиичеехнх коэффициентов усаанавливают вид поверхности отклика, Поверхности второго порядка лег­ ко поддаются систематизации. Если у всех канонических ко­ эффициентов знаки одинаковы, то поверхность отклика есть э л л и п т и ч е с к и ! п а р а б о л о и д , причем заах плюс указывает на то, что в центре поверхности нахо­ дится минимум, знак минус - максимум (рис . 4 . 3) .

Если канонические коэффициенты имеют разные знаки, поверхность отклика представляет собой иперб.адический параболоид (рис . 4 . 4 ) .

-110 -

нонических эсей (соответствующие коэффициенты имеют знак минус) цс-атр поверхности является шкеимумпи, в направле­ нии других - минимумом.

Если один из коэффициентов, например Ъ,0 , равен нудв, то под определение центра фигуры здесь подходит любая точка на оси Х г ( - значение параметра оптимизации в любой точке на оси З С а ) . Этот тип поверхности можно рас­ сматривать как предельный тля первых двух случаев, когда

ходится на бесконечности, перенеся начало координат в ка­ кую-нибудь подходящим образом выбранную точку 0' вблизи центра, получаем уравнение параболы

где & г - крутизна наклона возвышения. Зтот тип поверхностч опять-таки мохно рассматривать как предельный для пер­ вых двух случаев, когда центр фигуры отнесен на бесконеч­ ность. Локально говерхность отклики здесь представляет со­ бой возрастающее розвышение ( " г р е б е н ь " ) .

Прг обработке результатов реального эксперимента вряд ли можно встретиться с последними двумя предельней слу­ чаями. Практически возможен случай, когда це^тр фигуры удален за пределы той Сласти, ь которой варьировались U-J- ременнне, а один из коэффициентов, ЗЦ, или З Ь г 2 , мало отличается от нуля. Тогда поверхность отклика, в зависи­ мости от наклона возвышения, будет аппроксимировать стаци-

Ч- *i i

Отсюда получаем следующую связь между старыми н новыми координатами :

—115 -

где

Видповерхности отклика устанавливаем по знакам канони­

- поверхность типа мииимахс.

иетодика выбора оптимальных режимов зависит от вида по­ верхности отклика. Если поверхность отклика представляет со­ бой эллиптический параболоид, выбор оптимальных режимов не представляет затруднений. В случае задачи на максимум опти­ мальные условия будут соответствовать координатам центра по­ верхности, если знаки канонических коэффициентов отрицатель­ ны и центр расположен внутри изученной области. Если, канони­ ческие коэффициенты имеют знак плюс, то оптимальные условия будут на границе изученной области факторного пространства. При выборе оптимальных условий допускается некоторая экстра­ поляция с обязательной экспериментальной проверкой.

Если поверхность отклика - гиперболический параболоид, то определение оптимальных режимов усложняется,

Рассмотрим три метода внбора оптимальных режимов.