Файл: Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 169
Скачиваний: 0
|
-т |
- |
|
ч - 5 . 1 . П е р в ы й |
м е т о д - д в и ж е н и е |
||
в д о л ь |
к а н о н и ч е с к и х |
о с е й |
|
В соответствии с поставленной задачей в новой системе координат выбирают ось, вдоль которой параметр оптимизации меняется в желаемом направлении и с максимальное скоростью (канонический коэффициент имеет соответствующий знак и мак симален по абсолютной величине). Затем, задаваясь различными значениями параметра оптимизации, вычисляют соответствующие им режимы и подвергают их опытной проверке. В связи с сим метрией поверхности отклика каждому'значению параметра оп тимизации соответствует два режима.
Поиск оптимальных условий без исследования поверхности отклика обычно дает возможность выявить только один из этих режимов, причем экспериментатор даже не подозревает о су ществовании второго режима, который может оказаться весьма интересным с точки зрения оптимизации процесса. В качестве примера рассмотрим применение этого метода к задаче с двумя факторами. Уравнение в канонической форме в этом случае имеет следующий вид'х
Положим, что в задаче требуется определить условия по
лучения продукта, характеризуемые максимальным значением
|
Л |
|
параметра |
оптимизации. Пусть if |
>t(.f l , а движение осуществ- |
х ) §наки |
коэффициентов выбраны |
произвольно. |
|
|
|
- |
1П - |
ляется |
вдольоси |
X , . При этом |
Х £ = о и формул?'-(4.7) при |
|
обретает следующий |
вид: |
|
|
|
|
«а |
- \ |
x f |
|
откуда |
|
|
|
|
Ч
Переход от координат Х - к координатам х^, т . е . к коди рованным значениям факторов, осуществляют по следующим фор мулам перехода:
x 1 |
= ( X , + x 0 , ) c d s Y - ( x i + x 0 2 , ) S l n , Y ; |
( 4 * 8 ) |
||||
x t |
« |
( Х , + х в 1 ) s l u y |
+ i l j + x |
j |
соь-у; |
JCJ и новой |
где л|> - угол между старой |
системой |
координат |
||||
системой координат Х- , |
|
|
|
|
||
Значения коэффициентов |
в формулах |
перехода |
( s b n f и cosy) |
|||
вычисляют |
следующим образом: |
|
|
|
||
|
|
л |
гг |
|
|
|
bin, \ J - 0,5 ( • ) - c o s y ) ;
cos у — 0 , 5 ( 1 + c o s y ) .
В рассмотренном выи1е случае Х г « О, поэтому формулы перехода несколько упрощаются
х , = ( I , + x 0 , ) с о ь у - i № s i n , y •, x t « ( X , + x 0 1 ) b i t t y + x o a c o s y .
При решении задачи на минимум параметра оптимизации за даются значениями ^ 0 и движутся вдоль оси, соответст вующей отрицательному.каноническому коэффициенту. В этой слу чае из зависимостей ( 4 . 7 ) и ( 4 . 8 ) получаем
•х, - х и c o s y - ( X l + x o a ) bin \f ,
После расчета кодированных значений факторов для перехо да к их натуральным значениям используют формулу кодирования
(см.§ I - I ) . |
|
|
|
|
|
|
|
4 - 5 . 2 . В т о р о й |
|
м е т о д - "р и д и |
а н а л и з " |
||||
"Ради анализ" базируется на методе неопределенных множи |
|||||||
телей ЛагранжА Для выбора оптимальных режимов составляет |
|
||||||
следующую систему |
уравнений: |
|
|
|
|
||
( " Ь я - > • ) * , +0,5 |
* и. Ч |
+ |
- + 0 , 5 * 1 к х 1 ь |
+ |
0 , 5 6 , - 0 ; |
|
|
• 0 . 5 ^ * 1 + ( U t t r > . ) x t + . . . + 0 , 5 о а х к |
+ 0 , 5 D , = 0; |
|
|||||
0,5 Ь„хл + 0,5-Ьи ж, |
4 |
... |
+ 0 , 5 & s K x K |
. + 0,5од =0; |
( Д . 9) |
||
°>5 4i х,+ 0 , 5 * К 2 х , |
+ . . . . |
+ С б к К - г ) х к + |
О,5бк -0; |
|
|||
где X - неопределенный множитель Лагранжа,
Количество уравнений в системе ( 4 . 9 ) равно числу факто
ров. Реаение системы ( 4 . . 9) может быть осуществлено только
при заданных значениях X . Выбор значений неопределенных
множителей Лагракка зависит от типа задачи. В случае задачи
на максимум параметра оптимизации рекомендуется выбирать ве
личину |
Л. таким |
образом, чтобы она была больше максимального |
||||||
из |
канонических |
коэффициентов. В случае |
задачи на минимум |
|||||
выбранное |
значение \ |
должно быть меньше наименьшего из |
ка |
|||||
нонических |
коэффициентов. На величину |
Л. накладывается |
огра |
|||||
ничение, определяемое |
параметром Хорля |
|
|
|
||||
|
|
|
|
мим |
|
|
( * ; 1 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
(в зависимости от |
||
где |
бЬмоксмаксимальный или ыыкмальный |
|||||||
|
|
мин |
|
|
, |
|
|
|
задачи) |
канонический |
коэффициент! |
- |
коэффициент регрес |
||||
сии |
при |
Я. -том |
квадратичном члене, |
|
|
|
||
использование параметра Хорля дает возможность сузить
интервал изменения значений неопределенного множителя Лагран
жа до величины, |
определяемой |
следующим неравенством: |
|
I ? t ' 1 |
^. "К. > |
j j 6 |
MOKft |
|
I |
мин I |
|
При этом изменение параметра оптимизации в желаемув сто рону соответствует измзнению X. в направлении от параметра Хорля к соответствующему каноническому коэффициенту.
На практике обычно задаются несколькими значениями не определенного множителя Лагранжа и затем, после решения
- 1 г о -
системы ( 4 . 9 ) , полученные режимы подвергают эксперименталь
ной проверке» Решение системы ( 4 . 9 ) проводят на электронных
вычислительных машинах. В случае двух и трехфакторных задач
для этой цели могут быть использованы также и настольные вы
числительные машины. Например, при числе факторов, равном
двум, расчеты проводят по следующим формулам!
( * п - ^ * , |
+0,5 |
0,5 4 , - 0 ; |
• 0,5Ьл х , + |
( 6 М - ч ) х 4 0,56^-0; |
|
откуда |
|
|
1 {bn--K){ba-X)~ |
0,25 6 * |
|
x.Lo.asM, - Q.5&Л 6,,-г)
4 - 5 . 3 . Т р е т и й |
м е т о д - п е р е б о р |
г р а - |
|||
^ |
н е й |
г и п е р к у б а |
о г р а н и ч е н и й |
||
Приведем алгоритм исследования поверхности отклика типа |
|||||
минимакс, |
рассмотренный |
А.И.Рубаиом |
в работе [ з з ] |
• Идейную |
|
сторону алгоритма проиллюстрируем для случая поиска максиму-
ма |
( х ) |
в трехмерном |
факторном |
пространстве, |
||
х т * ( ж , , х г |
, х 4 ) |
|
. Алгоритм |
устанавливает следующую |
||
последовательность |
действий. |
|
|
|||
I . |
фиксируем |
х , ш + 1 . Тогда |
$ |
( х ) станет полиномом |
||
второй |
степени от |
двух |
переменных |
х г , x s , поэтому иссле |
||
дуем £ ( х ) как функцию двух переменных.