Файл: Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие.pdf

^ -

F T

( 6 - 2 )

Решением'уравнения ( 6 . 2 ) является

1

т г ' -

'

•

( 6 , 3 )

Чувствительность решения ( 6 . 3 ) по отношению к неболь­

шим изменениям элементов вектора

обозначим через

( 6 . 4 )

s „ - j i e F " 1 4 5 =

F" 1 E=F"t

Для случая,

когда

J>f>k, умножив обе

части (6 . 2) на

Б Т , получим систему нормальных

уравнений

( 6 . 5 )

в системе Х 6 .

5 ) . Учитывая, что

решением системы уравнений

( 6 . 5 )

является

'

• . 1 =

( F ' F j ' V u -

C I ,

( 6 . 6 )

получим •

V £ - c 4 i - c .

( 6 . 7 )

Таким образом, чувствительность

решения ^о" по отноше­

имеют распределение с ттоматгческими ожи­

даниями

j i , , {Ьг

jb^ « ковариациями

С ц ( i , j = 1 , 2 , . . .

Я. ) .

Рассмотрим Я -мерный эллипсоид, центр

которого сов­

падает с

точкой,

имеющей координата J * t ,

. .

. , ^

янна. Ковариации

этого равномерного

распределения

можно

подобрать

гак, чтобы

они

совпадали о

Сц.

Величины

j » t ,

J a t , . . . ,

|эк и

C t - (

i . ,

j = 1 , 2 , . . . , К )

полностью

опре­

деляют параметры

эллипсоида, который

и называется

эллипсои­

дом рассеивания.

Отсюда и из

определения Е-оптимального плана

следует,

что Е -оптимальный план минимизируетмаксимальную

ось эллип­

соида рассеивания оценок

параметров.

рассеивания

следующим образом

Ссм.,иаприыер, книгу Г.Краме-

р а [ 1 б ] )

\

%

' .

'

где Г {\

+ \) - гамш-функция,

d a t

С- определитель ковариа­

ционной

матрица.

Таким образом, S -оптимальный

план минимизирует объем

зллшбоидА рассеивания оценок

параметров.

Критерии

Е - , Ai-оптимальности

оказываются экви-

валенткшли в

случае, если ковариационная матрица оценок

сии

предсказанного

значения параметра оптимивации в задан­

ной

области планирования. Таков план называется G - о а -

т и м а л ь н ы м ,

ему соответствует наименьшее максималь­

ное

значение в области планирования дисперсии предсказанно­

а через

"Ь ^ обозначим лучшую линейную оценку параметра •

( t

=

1 , 2 , . . . ,

Тогда для дисперсии предсказанных зна­

чений

получим

— E E b&Jii&Mh-

M V M -

m a x

Т . С ^ ( х ) ,

.

Х б Х

г д е . Х

- область

планирования.

§ 6 - 3 . О п о н я т и и

" н е п р е р ы в н ы й

п л а н "

Обычный, ЕЛИ "точнкч",

план представляет

собой мноаест-

во точек x . ^ ( i » =

1 , 2 , . . . ,

m,) в

области планирования с

за­

данным числом

п . - (1=

1 , 2 , . . . ,

т Л

наблюдений

в каядой

из

них. Общее количество

наблвдений

л =

п..^

. Обозначим

долю наблюдений из общего числа

Я

,

которая

приходился

i - у »

точку

I

. =J}±

. Д л я точного

плана

должны выпол-

няться

условия:

- 1 6 7 -

5 § ' ^ '

•

( 6 * 8 )

где л,^ -

целые числа.

Задачу построения точного плана можно, очевидно, рас­

сматривать

как задачу отыскания гн.* X

точек

х 4

( 1 = 1 , 2 , . . . ,

. . . . т,) и

соответствующих им значений

§ . ( . 1 =

1 , 2 , . ; . , т . ) ,

обладающих

свойствами ( 6 . 9 ) ,

( 6 . 1 0 ) . указывается, что зада­

ча построения точных""планов с

^я^тща

Jf

, удовлетворяю­

- 1 6 8 -

дания только

множества

точек

х -

( i — 1, , 2 . , ' . . . ,

m )

к доли набявдений в каждоЗ точке

Ц

.

,

причем

выполняется

свойство ( 6 , 1 9 ) . Вьтаолнения

свойства "(6.10)

не

требуется.

Таким образом, для некоторого заданного Л

непреравтй план

может требовать нецелого числа наблюдений в соответствующих

точках. Функция у.

(dt

) представляет

собой

вероятностную

ме­

ру, определенную на множестве

X

,

и задание непреравного

плана эквивалентно

заданию вероятностной

мера на X

. Оказа­

лось, что построение SD -оптимальных планов на множестве неп­

рерывных планов -

задала хотя

и слолшая,

но

в некоторых слу-

чаях разрешимая.

Обозначим через Jlt("Jf§ )

информационную матрицу

непрерывно­

го плана с элементами

1

J

J H - t l

J

J

^

'

s

r

T

( 6

X

В случае, когда в непрерывный план входит

конечное

число

точек

т . , ЭТОТ интеграл превращается

в

сумму

i - ^ f v C ^ e ) f j C 2 c ) g t .

(

6 Л 2 )

В работах Кифера показано, что для области

X

,

обладаю­

щих некоторыми свойствами, которые практически всегда выпол­

няются, и для таких функций

^. ( х )

,

' j =

1,2, ... ,

К,

которые непрерывны и линейно-независимы, любую информационную

матрицу можно представить как матрицу плана,

сосредоточенную

в конечном числе точек, т . е . как

матрицу

с

элементами

( 6 . 1 2 ) .