Файл: Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие.pdf

ном числе

точек.

*

Очевидно,

что

точный план является частник случаем не-

прерпвчого

плана.

С другой стороны, если выбрать достаточ­

но большое

Л

,

то любой вепрерывный план, округлив в за­

данной точностью значения g . ,

всегда можно представить . -

как точный план с числом ш блюдена*

X ,

Таким образом, решив задачу

построения непрерывного

плана, мы приближенно решаем и задачу построения точного

плана.

§ 6 . 4 . П о с т р о е н и е оЬ

- о п т и м а л ь н о г о

п л а н а д л я с л у ч а я о ц е н к и о д н о г о

и з н е и з в е с т н н х п а р а м е т р о в

р е г ­

р е с с и о н н о й

ф у н к ц и и

Рассмотрим задачу построения 2 ) -оптимального плана

для случая оценки одного из неизвестннх параметров

jb^

жен следуюшяй способ построения

такого плана.

Рассмотржи

план,сосредоточенный в конечном числе точек

х 1 ,

х г

,

х ж . О п р е д е л и м

з а в и с и м о с т ь

д и с п е р с и и о ц е н к и

п а р а Ж е т р ' а

р ^ п о

м е т о д у н а и м е н ь и и х к в - а д р а т о в

о т

Минимум функции

(6 . 17)

найдем, приравнивая нулю частные про-

изводнке

от этой

квадратичной"формы,

взятые по переменный

j b * ,

|Ь*

. Легко видеть, что последнее из нор­

мальных уравнений для оценки параметров

J5* ,

1 - 1,2, ... , К,

будет таким

1=1

i " 1

Отсюда

£ К( ^ 0

4 i

t - t

и, следовательно,

дисперсия параметра

jb£

(а

значит и

fa

)

будет зависеть от координат точек

плана следующим обравом:

Пз определения функции

^ £

( £

)

я условия её ортогональ­

ности функциям f j ( x )

(

j <к

)

(си.формулн (6.13) г

(6.14)

следует,

что

(6.19)

а значит,

чтобы минимизировать дисперсию коэффициента

fa

,

нужно i-эксимизировать

правую часть

уравнения (6 . 19) . Таким

- п г -

С

J " 1

( 6 . 2 0 )

max

min. J[|K (x) - £

c, ft (S)]2 | (dx) .

Обратим внимание на то, что задача построения оптимально­

го

плана

*

совпадает

о задачей нахоздения оптимальной стра-

тегии в

следующей игре двух лиц с нулевой суммой:

Пусть множество X

будет

пространством чистых

стратегий

игрока I

^ пространство

о в

{ с , , сг,...,

с -

п

р

о с т -

р а н о т в о

ч и с т ы х

с т р а т е г и й

и г р о к а П,

а

функция

j

-

t

-

функция выигрыша.

Обозначим через

множество всех непрерывных

планов,

оно будет пространством смешанных стратегий игрока I . Функция

выигрыша ОС (

х ,

t

)

выпукла

по "с

; из

теории

игр

известно,

что в этом случае

существует

оптимальная

чистая

стратегия иг-

рока П.

4

Ъ

Итак, можно сформулировать следующую задачу теории игр:

найти такие стратегии

и

с

, что

*

км

к-1

т е х

m i n . J

[

j K (

x

)

- j ^

Cj £

(x)J

^ ( d x ) .

§ 6 - 5 . К р а т к и й

о б з о р

р а б о т

п о *2$ -оп-

т и м а л ь н ы м

п л а н а м

При изложении §§ 6 . 1 -

6 . 4 , мы использовали

обзор Т.И.Го-

ликогой и Н.Г.7Лшсешиной

[ в ]

, а так же работу [l7J

. Методика

построения S i -оптимальных

планов и каталог

таких планов

есть

в работе И.Н.Вучкова и Г.К.Круга [7]

. Здесь

мн приведем

крат­

кий обзор работ по с 2). -оптимальным планам, следуя

разделу

пос­

вященному

этим планам,

написанному Т.И.Голиковой

в книге ~[з2] .

Если

рассматривать

класс непрерывных планов,

то справедли­

ва следующая

т е о р е м а :

План

-оптимален тогда и только

тогда, когда

он G - оп­

тимален , и тогда и только тогда, когда

приведенное

к одному

статье

J47] . Сформулированная теорема значительно облегчает

задачу

построения непрерывных ^

-оптимальных планов. В рабо­

тах [ 4 5 , 4 6 , 4 8 , 50 ] непрерывные ^ -оптимальные планы постро­

ены для

полиномиальной регрессии при ограничениях на отрезке ;

для полиномиальной регрессии первого и второго порядка при

ограничениях на гиперкубе и К

-мерном шаре ; для тригонометри­