Файл: Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 158

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2 .

Известно^что

функций

^ ( З с | С ! > в я а Д а е т с

одной^из

-акций

Y l

( х Д )

^ , 7 л ( х ,

е у

 

 

Размерность

векторов

8 1 ? . . . ,

8 ^

u o s e i быть

различна.

Требуется определить, какая из функций

®j)

явля­

ется истинной и найти неизвестные параметры.

 

 

Очеввдно, что чей меньше

У ,

тем выше уровень

апри­

орных

знаний.

 

 

 

 

 

3 .

 

Вид функций

t | ( х ) не

известен. Известно лишь, что

Функция t^( . x) в интересующей экспериментатора области

может быть достаточно хорошо аппроксимирована конечным ря­

дом по некоторой системе (или системам) наперед заданных

функций. Требуется найти наилучшее описание функции ^ ( & )

Хотя разбиение 1-3 довольно грубо,и можно найти приме­

ры, когда действительная экспериментальная ситуация зани­

жает промежуточное состояние между какими-либо двумя ука­

занными уровнями, оно удобно с точки зрения существующих

методов планирования эксперимента и в то же время хорошо

описывает большинство реальных случаев.

§ 7 - 2 . П л а н и р о в а % и е '

э к с п е р и м е н ­

т а

п о

о п р е д е л е н и ю

и л и

у т о ч н е н и ю

о ц е н о к

н е и з ­

 

в е с т н ы х

п а р а м е т р о в

Математический аппарат для этого случая 'Наиболее раз ­

вит и к настоящему времени его построение с идейной точки

зрения практически завершено.

Здесь развиты эффективные методы статистического и пос­

ледовательного планирования эксперимента.

- 1 8 1 -

 

 

Под с т а т и ч е с к и м

плакированием эксперимента

понимается априорное планирование

всего

эксперимента в

целом. Для широкого класса функций

^ ( * )

статическое

планирование эксперимента заключается, по существу, в- ис­ пользовании готовых таблиц, описывающих характеристики оп­

тимальных

планов.

 

Под

п о с л е д о в а т е л ь н ы м

планированием по­

нимается планирование эксперимента по этапам, т . е . планиру­ ется одно или несколько измерений, затем эти измерения реа­ лизуются, проводится обработка полученных данных и затем вновь приступают к планированию и т . д . Схематически структу­

ру последовательного

планирования можно представить в виде

схемы на рис.7.1.

 

 

оланиро&ание

эксперимент

яналиь

 

 

|ММИ*

Рис.7.1 Если в качестве критерия оптимальности эксперимента

выбрать "25 -оптимальность, то последовательное планирова­ ние будет заключаться в том, чтобы на каждом отдельном эта­ пе эксперимент проводить так, чтобы получать максимально возможное уменьшение определителя матрицы ошибок для оце­ нок неизвестных параметров.

§ 7 - 3 . П л а н и р о в а н и е

д н е к р и м и -

п и р у ю щ и х

э к с п е р и м е н т о в

уровне априорных знанийсоответствующих £ -му

- 1 в г -

случаю, на начальной этапе возникает необходимость в пос­ тановке экспериментов, позволяющих из некоторого набора математических моделей выбрать наиболее близкую к реаль­ ной. Такие эксперименты принято называть д и с к р и ­ м и н и р у ю щ и м и .

Планирование подобных экспериментов заключается в поиске точек, в которых сравниваемые модели были бы поставлены

вкритические условия, или говоря иными словами, нужно отыс­ кать такие точки, результаты измерений в которых не были бы инвариантны относительно замены одной проверяемой моде­ ли на другую.

Существует несколько методов планирования дискримини­ рующих экспериментов, каждый из которых является по своей природе последовательным. Эти методы отличаются друг от друга критериями оптимальности эксперимента, положенными

вих основу.

Рассмотрим м о д е л ь

д и с к р и м и н а ц и и

п о * , в з в е ш е н н ы м

с у м м а м

к в а д р а ­

т о в

о т к л о н е н и й .

Для простоты

ограничимся дву­

мя конкурирующими гипотезами:

Допустим, что в результате измерений, выполненных в точках

ос1 , х г

х л , получены выборочные значения ( ^ , , 1 ^ ,

ул

свесами

w , , w i v . . w , . .

Вычислим

взвешенные

суммы квадратов

—163 —

где

верхний индекс

(п.)

просто указывает,

что б

оце-

вена по первый к

наблюдениям.

 

 

 

Мы сможем, пользуясь

х *

- критерием,

выбрать

одну из

ух конкурирующих гипотез,

если суммы квадратов

SS^n)

и

S Ь г (п) достаточно сильно

отличаются друг от друга, Е С ­

Л И

разность между ниш мала,

то надо поставить (к*

I ) - "

эксперимент. Его, естественно, следует ставить в той точке,

где ожидается максимальное значение этой разности. Так фор­

мулируется простейший критерий для планирования дискримини­ рующих экспериментов.

Этот подход носит эвристический характер, его .трудно

увязать с общими идеями математическом статистики.

Значительно более обоснованным является алгоритм при­

нятия

решения, основанный на критерии о т н о ш е н и я

м а к с и м а л ь н о г о

п р а в д о п о д о б и я .

Напомним определение функции правдоподобия. Если ня имеем дело с выборкой объемом т. из генеральной совокуп­ ности с плотностью вероятностей р fy), то функцией прав­

доподобия называется выражение

 

 

-

т

-

 

для

выборки, задаваемоЗ уу. -мерным векюрок

.

 

Ограничимся анализом ситуаци:: с двумя конкурирующие

гипотезами,

найдем отношение

максимального

правдоподобия

для

первых

п наблюдений

 

 

 

где СэДх^и

б - ^ х ) -

квадратичные

ошибк;*, характеризующие

рассеяние случайных величин

у , ( х , 0,)}

и

 

^ T j - y a ( x ,

Э^^}

обычно

б ^ х }

и i>z{x)

приходится

заменять их

выборочными

оценками.

 

 

 

 

Первая гипотеза будет приниматься, если

<£>^%

>

вторая - если *С <

^

. Если

|

4

^ 4 ^

, ю

надо

поставить ( п + 1)-ый эксперимент. Выбор критических значе­

ний

!g

и ^^производится с учетом ошибок первого

и

второго

рода. Обозначим через cL вероятность ошибки первого рода,

то

есть

отвергнуть нуль-гипотезу (в данном случае у

 

) , ког-

да

она

верна. Через £ обозначим вероятность ошибки

второго

рода (принять нуль-гипотезу, когда в действчтельности

верна

- 1 о 5 ~

альтернативная гипотеза), вальд показал, что при последо­ вательной анализе можно принять

° * 1 - оС ' 5 i ~ л.

Абсолютная величина X служит здесь мерой точысти раз­ личения гипотез. Практически,удобнее в качестве меры брать

фланирование эксперимента заключается * отыска­ нии такой точки х~ , при которой среднее значение I"СИх Х-j максимально.

§ 7 - 4 . О б щ а я , с х е м а

п о с л е д о в а ­

т е л ь н о г о

п л а н и р о в а н и я

На кратко рассмотрели математические методы, которые позволяют формализовать процесс планирования эксперимента дль некоторых, вообще говоря, идеализированвкА ситуаций.

Чаще всего для достижения конечной цели эксперлмеР1а

недостаточно приведения экспериментов либо только, по опре­ делению (или уточнению) оценок неизвестных параметров, ли­ бо только дискриминирующих экспериментов (см., например, пункт 2 и особенно пункт 3 §7- l ) »

ррщение этой задачи ножнс свести к некоторой последо­ вательной процедуре, которая подразумевает чередование эксперинейгов (планирование и практическое осуществление) следующих видов:

в) функциональный вид поверхности, отклика ^ = у ( х , Iр} известен» Требуется определить иди уточнить параметры В .

-1 6 Б -

б) на основании теоретического анализа происходящих

.процессов или в результате предыдущих экспериментов выдви­ нуто 2 (ЕЛИ несколько) гипотезы о виде поверхности отклика;

Требуется найти зависимость

, наилучшим обра­

зом описывающую изучаемый объект.

Более подробно последовательный процесс поиска матема­

тической модели представим в виде схемы на рис.7.2.

г

Проьгрка. согла­

1

сия между мо­

+

делью и данными

 

Пересмотр мо­

 

 

дели. Ьыдьиже-

 

 

ние конкуриру­

 

 

ющей модели

 

Планирование

Обработка экспе­

риментальных

эксперимента

данных.-

Поиск,

по уточнению

оценок

искомых

пара-матрое»

i i

параметров

 

Планирование

 

дискриминирую­

ще го эксперимен-] та

Эксперимент

Рис.7.2

Смотрите также файлы