Файл: Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 174

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

d2

 

 

 

 

dz'л(

dz2

) -

«(z)co2/(z) + m (e)X

 

X aco2q>(2) =

0;

 

 

 

± ( 0 J vd- l M \ - J [ z ) »«*(*) +

(2.8)

 

d z \

d z

I

 

+ /n(z)aco2/(z) ~

0;

 

£ / ^

dz2

 

= o * ( w - ^ - U o ,

 

 

 

 

dz

'

 

dz2

'

 

 

GJp

^<p(z)

=

„

при

 

.

 

,

 

dz

 

0

z — l, z =

— /;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d4(x)

 

0, dA

 

£.4

 

 

 

£/ф dA2

 

 

dA 2

) -

 

при A =

/), A

 

-

4;

 

 

 

 

 

d 2/ ( z )

|

sin %— 2GJv

d c p (z )

 

2£7— —

~

T v /- I X

 

 

£fe2 ! -i-o

 

 

 

 

az

I+0.

 

 

 

 

 

d 2g ( A )

 

 

d 2EI

0;

X co sx + ^ /ф dA2

 

- £ / - ^

=

 

+o

d x 2 I_o

 

2 - fL ( £ / ^

<

z)

 

 

 

, d l F,

d4{x}

 

d z '

 

dz2

 

+„+ T x \

 

 

+0

 

 

 

d4(x)'

 

 

-0

= 0:

 

 

 

dx

 

 

dx2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф(0) =

 

dl (x)

 

COS A >

 

 

 

 

dx

i

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

df(z)

 

 

iiSW

 

 

sin a;

 

 

dz

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

i (a) 1+0 =

 

m

i-

 

 

 

<*£(*)'

I

d|jA)

 

 

 

f ( 0),

d A

l+ o

dx -o

(2.9)

(2.10)

69

Граничные условия (2.9) являются силовыми, а (2.10) — геометрическими, вытекающими из требования непрерыв­ ности деформаций в месте стыка балок, моделирующих упругие характеристики крыла и фюзеляжа.

Как и для поперечных колебаний свободной балки, си­ стема (2.8) — (2.10) имеет решения, при которых со = 0. Собственные функции при со = 0, соответствующие верти­ кальному перемещению самолета как твердого тела и по­ вороту его вокруг центра тяжести, есть

[/_i(z) = 1, (p_i(z) =

0, l - i ( x ) =

1];

[fo(z) — Хц.т — 2 sin x, фо(2) =

cos x, io =

ЛГц.т — x ] .

Здесь Хц.т— координата центра тяжести самолета. Упругие симметричные колебания самолета с частотой

Мг состоят из изгибных колебаний крыла и фюзеляжа и крутильных колебаний крыла. Распределение амплитуд колебаний частоты со; характеризуется формой колеба­ ний, т. е. совокупностью трех функций [/; (z), qp;(z), £г(х)]. Эта совокупность функций определяется с точностью до произвольного нормировочного множителя. Значение одной из трех функций fi(z), ф;(;г), li(x) в некоторой точке может быть выбрано произвольно, если только эта функция в данной точке не равна нулю. Обычно нормиро­ вочный множитель формы колебаний выбирается так,

чтобы fi(l) = 1.

Условия ортогональности двух форм собственных ко­ лебаний, соответствующих частотам со; и coj при i=£j, определяются выражением

и

 

I

lr4(x)li(x)lj(x)dx + 2 f

[m{z)fi(z)fj(z) -m(z)X

—1-2

О

 

X сгф; (г) fj (г) — т (г) ofг(г) ср3(z) - f / (z) ф; (z) ф3- (z) ] dz = 0,

(2.11)

или в другой, эквивалентной форме

/.

г

 

d2f; (z)d2fj(z )

 

T z W

70

I

 

d(f>i(z)

d 4>j{z) dz

 

+ 2 j GJ

0.

0

P

dz

dz

 

 

 

 

 

Формула Рэлея для определения частоты г-го тона симметричных колебаний самолета может быть представ­ лена в виде

 

 

2

k i пр

,

 

(2 .12)

 

 

т =

-----------ttli пр

 

где

 

 

 

 

 

 

kiг пр

\ e j ф (

d%j {х)

dx + 2 i N

dzfi{z)

\ 2

dx2

d&

'

 

-h

 

 

 

 

 

 

 

+ GJ.(

d<fi{z)

\2j

 

 

 

 

dz

/ J dz;

 

 

 

U

 

l

 

 

 

rtii np =

Цтф {x) li (x) dx +

2 j

[m (г) ff

(z) — 2m (г) X

 

-h

 

0

 

 

 

 

X

afi (г) фг(г) +

/ (2) ф? (z) ] dz.

 

Совокупность форм собственных колебаний самолета образует полную систему координатных функций

 

{fi(z), ф г (z), £ г ( * ) }

i =

— 1, 0, 1, 2,....

Пусть на отрезке [О,

/]

оси 2

и

на отрезке [— /2, /1]

оси х

заданы произвольные непрерывные функции F(z).

Ф(г)

и ф(х). Эти функции можно разложить в ряды

 

ОО

 

 

ОО

)

 

F ( z ) = ^ciifiiz);

Ф (г) =

2

Ффг(2);

 

г = —1

 

г = —1

(2.13)

 

 

 

 

 

 

Ф (х) — ^

{%) >

г= —1

вкоторых коэффициенты а* одинаковы и определяются следующим образом. Левые и правые части выражений

71

( 2. 13) у м н о ж а ю т с о о т в е т с т в е н н о н а 2 m ( z ) [ ] i ( z ) — 0 9 4 ( 2 ) ] ,

2 [ J ( z )(p i(z )— t n { z ) a j i (z ) ] , т ф ( х ) ^ ( х ) и и н т е г р и р у ю т п о 2

о т 0 д о / , п о .V о т — / 2 д о 1\. С к л а д ы в а я п о л у ч е н н ы е р е з у л ь ­ т а т ы в с и л у у с л о в и й о р т о г о н а л ь н о с т и ( 2 . 1 1 ) , п о л у ч и м

а [

г д е

а\ =

2 j

{F ( 2 ) m

( 2 )

[ / *

( 2 ) —

crcp, ( 2 )

] + Ф

( 2 ) X

 

 

0

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X [ /

( 2 ) ф г ( 2 )

— m ( 2 )

afi ( 2 )

] } dz +

§ ф

( x ) т ф( x )

li ( x ) dx\

 

 

l

 

 

 

-h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a'i =

2 J

[m ( z ) f i ( 2

) —

/ п ( 2 ) а / г ( 2

)

ф г ( 2 )

+

J ( z ) X

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

Х ф г ( 2 ) ] й ? 2 +

f\ m ^ { x ) l i { x ) d x .

 

 

 

 

 

 

 

 

-u

 

 

 

 

 

 

 

 

Е с л и с а м о л е т и м е е т н е с к о л ь к о н е с у щ и х п о в е р х н о с т е й , н а ­

п р и м е р , к р ы л о и с т а б и л и з а т о р , п р и ч е м

у п р у г и е к о л е б а ­

н и я с т а б и л и з а т о р а

с у щ е с т в е н н ы , т о

с ф о р м у л и р о в а н н ы е

р е з у л ь т а т ы м о г у т б ы т ь о б о б щ е н ы и н а э т о т с л у ч а й . Ф о р ­ м а с о б с т в е н н ы х к о л е б а н и й в ы р а ж а е т с я с о в о к у п н о с т ь ю п я ­

т и ф у н к ц и й [ / г ( г ) , ф г ( 2) , li ( х ) ,

ficт ( 20 ) , ф г с т ( 20 ) ] , В К О Т О ­

Р О Й ф у н к ц и и / г с т ( 2о ) и ф г-Ст ( 2о )

х а р а к т е р и з у ю т и з г и б н ы е

и к р у т и л ь н ы е к о л е б а н и я с т а б и л и з а т о р а , а 2 о — к о о р д и н а ­ т а в д о л ь о с и ж е с т к о с т и с т а б и л и з а т о р а .

2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

А н а л и т и ч е с к и е м е т о д ы р е ш е н и я з а д а ч и о б у п р у г и х к о ­ л е б а н и я х б а л о к , з а р е д к и м и с к л ю ч е н и е м , п р и в о д я т к ц е ­

л и т о л ь к о в т о м с л у ч а е , е с л и б а л к а о д н о р о д н а : £ 7 ( 2 ) =

= c o n s t , т ( 2 ) = c o n s t . Д л я р е ш е н и я з а д а ч и н е о д н о р о д н о й

б а л к и п р и х о д и т с я и с п о л ь з о в а т ь р а з л и ч н ы е п р и б л и ж е н н ы е

м е т о д ы . О д н и м и з н а и б о л е е р а с п р о с т р а н е н н ы х м е т о д о в

( у ж е д е с я т к и л е т и с п о л ь з у е м ы м в р а с ч е т а х ) я в л я е т с я м е ­ т о д п о с л е д о в а т е л ь н ы х п р и б л и ж е н и й [ 2 ] , п о з в о л я ю щ и й р е ­

72

Смотрите также файлы