Файл: Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf

шить задачу самыми простыми вычислительными сред­ ствами. Благодаря единообразию используемых операций на основе данного метода созданы экономичные, обла­ дающие высокой точностью алгоритмы решения задачи об упругих колебаниях на ЦВМ.

Сущность метода последовательных приближений можно проиллюстрировать на примере решения задачи о крутильных колебаниях консольной балки, имеющей жесткость на кручение GJv(z) и погонный момент инер­ ции J( г ).

Уравнение крутильных колебаний балки может быть приведено к виду

Граничными условиями задачи являются

Интегрируя (2.14) по z, получим

X

С?ф

G/p—- = — со2 С/ (г) ф (г) dz + С. (2.15) dz

Удовлетворяя граничному условию при z = l, найдем

i

С = (о2^ J (z)(p(z)dz.

о

Соотношение (2.15) для дальнейших вычислений удобно представить в виде

dz

z

Учитывая, что при 2 = 0 ф = 0, из уравнения (2.16) можно определить

73

Это соотношение выполняется тождественно, если cp(z) является собственной функцией, а со собственной частотой крутильных колебаний. Введем следующие обозначения:

Для определения частот и форм собственных крутильных колебаний процесс последовательных приближений стро­ ится следующим образом.

В качестве нулевого приближения формы крутильных колебаний первого тона возьмем произвольную функцию Фю(г), причем фю(/) = 1. Для быстроты сходимости про­ цесса вычислений эту функцию рационально выбрать наиболее близкой к искомой, например, в качестве фю(г) удобно задать форму крутильных колебаний балки посто­ янного сечения.

Первое приближение фп(^) определяется из соотно­ шения (2.17). С учетом (2.18) получим

Фи(г) = #(ф 10).

Первое приближение для собственной частоты колебаний

Через фп(г) обозначим первое приближение формы коле­ баний, нормированной на конце балки к единице

Произвольное п-е приближение решения задачи опреде­ ляется следующим образом:

фиг (2) = Н (фи—l) \

74

В. результате решения получаем последовательность соб­ ственных функций ф1П(г) и собственных частот coi„

Обе эти последовательности являются сходящимися, и

щт

Рис. 2.1. Формы крутильных колебаний пер­ вого тона консольной балки постоянного сече­ ния, соответствующие различным последова­ тельным приближениям

пределы их есть собственная функция и собственная ча­ стота крутильных колебаний первого тона. В расчетах для получения решения с приемлемой точностью обычно достаточно 3—4 приближений.

На рис. 2.1 представлены результаты расчета форм крутильных колебаний первого тона консольной балки постоянного сечения. В качестве нулевого приближения принималась функция фю ( г ) —г/1. Как видно из приве­ денных данных, форма колебаний и собственное значение

A . U = 1 , 7 3 2 ; А 12 =1,581; A,i3 = 1 , 5 6 5

начиная с третьего приближения практически не отлича­ ются от точного решения

75

Для получения форм и частот собственных крутиль­ ных колебаний высших тонов процесс последовательных приближений должен сопровождаться выполнением усло­ вий ортогональности. Например, для второго тона после­ довательность расчета будет следующей. Вначале опре­ деляем функцию

ф2п = Н (ф2п—l) •

Выражение для функции q>2n ищем в виде следующей ли­ нейной комбинации:

где ф1— форма крутильных колебаний первого тона. По­

требуем, чтобы функция ф2Пбыла ортогональной к форме колебаний первого тона

i

J j ( z ) < p 2n ( p i ( z ) d z = 0.

о

Отсюда с учетом равенства (2.19) находим

i

j / (z) ф2пф1(z) dz

I

^ J(z) ф1 (z)dz

0

Частота собственных колебаний второго тона ©2п(п = е приближение)

©2п = —---------------------

фin + С.ФДО

собственная функция

. . ф2п + С1ф1 (г )

Ф2п (г) = ----------------------- ■.

Ф*„ (/)+ С1ф1(0

76

Таким образом, характерной чертой применения метода последовательных приближений для определения форм и частот собственных колебаний высших тонов является не­ обходимость ортогонализации каждого приближения со всеми низшими гармониками. Процесс ортогонализации следует начинать с нулевого приближения. Прежде чем определять форму г-го тона собственных колебаний, надо определить все i— 1 собственные формы, с которыми функция q>i(z) должна быть ортогональна.

Аналогично строится метод последовательных прибли­ жений для определения форм поперечных колебаний кон­ сольной балки.

Интегрируя по г дифференциальное уравнение попе­ речных колебаний

Z Z

f (2) = CO2 j dz 3 -^T J dz Jm (2)f (2) dz.

77

запишем процесс последовательных приолижении для на­ хождения частоты и формы первого тона изгибных коле­ баний консольной балки в следующей форме:

i

/ in ( 2) — Н ( / in —l) ПЦП —

f i n { l )

h n { z )

fln{z)

f m { l )

При определении частот и форм колебаний высших тонов необходимо выполнять условия ортогональности со всеми низшими гармониками. Например, для второго тона по­ перечных колебаний имеем

fm (2) = Н (fzn-i); fin (2) — f 2п(2) + С1/1 (z);

1

\ in(z)J2n(z)fi{z)dz

0

Ci —

l

\ m(z)jl dz

0

1

~ / 2*n (0 + CiM 0 ;

_ f 2n (z ) + Cifi(z)

fin (0 + Cifi (/)

Формы собственных поперечных колебаний консольной балки представлены на рис. 2.2.

Рассмотрим теперь процесс последовательных прибли­ жений для определения форм и частот собственных нопе-

78

речных колебаний свободной балки. Уравнения попереч­ ных колебаний и граничные условия имеют вид

m

Рис. 2.2. Формы нзгибных колебаний первого и второ­ го тонов консольной балки постоянного сечения

Интегрируя уравнения и учитывая граничные условия, получаем:

Х [Л (х — Хц.т) + В].

79

Функция l(x) = l ( x ) j со2 определяется из следующего со­ отношения:

Е (я) = Н (|) А (х — Хц.т) -f- В,

в котором А, В — постоянные интегрирования; Хц.т— координата центра тяжести балки;

Алгоритм процесса последовательных приближений может быть следующим:

Eiп(я) = Н (|in—i) “Ь Ain(х — -^ц.т) “Ь Bin. (2.20)

Постоянные А\п и В\п определяются из условий уравно­ вешенности балки

1

^ m(x)dx

о

Следует отметить, что нулевое приближение Ею (я) так­ же должно удовлетворять равенствам (2.21), в противном случае не будут удовлетворены граничные условия при х=1. Поэтому нулевое приближение выбирается в виде

80