Файл: Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 171

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

I

w

ww

 

 

^

|

IAJ

1Л>

 

 

T — —

2

2

aihyi\h,

II — —

2

2

C»feYiYft-

(2.26)

i=—i/i——1

 

 

 

i—~1fe= —1

 

 

Коэффициенты аы,

cik зависят от распределения

масс и

характеристик

жесткости конструкции

и от

функций

fi ( z ) , c p i ( z ) ,

g i ( x ) .

Конкретный вид этих

коэффициентов

для различных случаев приводится далее.

 

 

Если для заданной механической системы система ко­

ординатных функций выбрана,

то функционал Ф будет

зависеть

только от значений коэффициентов у,-.

Условия

экстремума этого функционала

 

 

 

 

 

 

 

дф

=

0,

(/ =

-

1, 0, 1, 2,...).

 

 

 

- ^ -

 

 

 

ОУг

 

 

 

 

 

 

 

 

Легко видеть, что эти условия эквивалентны бесконечной системе однородных линейных алгебраических уравнений относительно \ч> / = е уравнение которой имеет вид

2 {сik — a2aik)yk = 0 (г = — 1, 0, 1, 2,...). (2.27)

f c = - i

Систему уравнений (2.27) ■удобно представить в матрич­ ной форме

(С -«> 2Л)у = 0,

(2.28)

где у — вектор-столбец вида

 

Y—1

 

Yo

.(2. 29

Yi

Y2

 

: /

 

а С = (с^) и A — (ctik) — квадратные матрицы

жесткости

и инерции, элементами которых являются коэффициенты

Cili ИO-ih-

Условием того, что вектор у не

равен тождественно

нулю, есть обращение в нуль детерминанта

|С — со2Л |= 0.

(2.30)

8 7

Величины cof, при которых детерминант (2.30), обращает­ ся в нуль, являются собственными значениями (частота­ ми) колебаний рассматриваемой системы. Каждому соб­ ственному значению соответствует собственный вектор \i:

 

Y—1/

 

Т/ =

Yo/

(2.31)

Уи

 

 

который удовлетворяет системе однородных уравнений

(С-о>2Л)гг = 0.

(2.33)

Форма собственных колебаний, соответствующая собст­ венной частоте ю,, характеризуется совокупностью трех функций {КДг), Ri(z), Qi{x)}, равных

СО

F i ( z ) =

2 УмЫ(г);

R i ( z ) = 2

Умук(г)\

 

й= —1

ft= —1

.

 

оо

 

Г (2.33)

 

 

 

Q i ( * ) =

2 Ум1к{х).

 

|

 

&=-1

 

При расчетах в рядах (2.25) приходится ограничи­ ваться конечным числом членов (/ = Ч-2). В этом случае быстрота сходимости решения и, следовательно, точность получаемых результатов зависят от конкретного выбора координатных' функций. При прочих равных условиях следует отдавать предпочтение системе координатных функций, удовлетворяющих большему числу граничных условий как геометрических, так и естественных.

Полученные результаты допускают простую механиче­ скую интерпретацию. Действительно, предположим, что перемещения упругой системы можно аппроксимировать следующим образом.:

N

N

y ( z , t ) = 2 Ы*)<7<(0; ф(2, 0 =

2 9i(z)?<(0;

г=—i

г= —1

88

Здесь

qi(t) — обобщенные координаты;

кото­

{fi(г),

ер,-(2), h (л;)} — координатные

функции, по

 

рым раскладывалось решение при

 

применении

вариационного

ме­

 

тода.

 

 

В рассматриваемом случае задача сводится к изуче­ нию собственных колебаний в механической системе с N + 2 степенями свободы. Уравнения движения такой си­ стемы можно получить с помощью уравнений Лагранжа второго рода:

d дТ

<Ш

дТ

ЛЛЛТ +

‘ Л---------:г = ° (* = - 1, 0, 1, 2,..).

dt dqi

dqi

dq

Выражения для кинетической и потенциальной энергии через обобщенные координаты можно представить в виде

j N

N

j

N

N

T = Y ^

2

п = —

2

2 с*ЯгЯи,

где коэффициенты а^

и сцг имеют тот же вид, что в фор­

мулах (2.26).

Уравнение движения системы в матричной форме

Aq + Cq = О,

где q — вектор-столбец вида

<7-1

<7о

Я=-~ Ях

При изучении колебаний с частотой со

q = Y cos соt.

Для нахождения со и у справедливы формулы (2.28) — (2.33), которые использовались в вариационном методе.

89

Естественно возникнет вопрос, зачем использовать ва­ риационный метод, если тот же самый результат можно получить, решая задачу о колебании механической систе­ мы с // + 2 степенями свободы. Однако не следует забы­ вать, что вариационный метод дает нам не только алго­ ритм решения соответствующей задачи (метод Ритца), но и позволяет установить сходимость приближенного ре­ шения к истинному решению для распределенных систем при Лг->-оо. Кроме того, вариационный метод позволяет сформулировать требования к системе координатных функций {fi(z), <Pi(z), li(x)}. После того как вопрос о выборе системы координатных функций решен, использо­ вание метода Ритца и уравнений Лагранжа приводит к одинаковым результатам.

Рассмотрим применение метода Ритца к решению ря­ да задач о собственных колебаниях упругих летательных аппаратов.

1. Колебания неоднородной свободной балки, схема­ тизирующей колебания ракеты. Функция изгибной жест­ кости EJ в точках Xi = li испытывает скачки второго рода.

Естественными граничными условиями рассматривае­ мой задачи являются

 

 

 

 

 

 

д21{х, t)

 

(2.34)

А [

£

/ а г »

х -

' > 1

О,

 

0, х = I;

EJ

при л: =

дх L

 

дх2

 

 

 

дх2

 

 

± - \ e j ^

x '. <>||

д_

EJ д\ {х, ty

(2.35)

дх

[

 

дх2

J |г._о

дх

дх2

 

U+0

 

 

EJ

д2Цх,

t)

 

£ / « М

г.+о

 

 

дх2

 

 

 

 

 

 

 

дх2

Геометрическими граничными условиями являются усло­ вия непрерывности перемещений и их производных в точ­ ках X{ = U:

т - о , t) = m + o ,

t),

дЦх,

t)

дх

г.-о

dl(x,

t)

1,+о

(2.36)

дх

 

 

 

9 0

Смотрите также файлы