Файл: Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf

нахождению собственных функций и собственных значе­ ний сопряженного оператора:

Собственные значения и собственные числа диффе­ ренциальных операторов обладают следующими основ­ ными свойствами:

1. Собственные значения оператора L и L* комплекс­ но сопряжены.

2. Собственные функции операторов L и L*, соответ­ ствующие собственным значениям Хп и Хп*, ортогональ­ ны, если кфп\

i

J т (х) lh(х) \п (х) dx = 0. (2.74)

о

3.Собственные значения Хи* и Хп* самосопряженного оператора действительны.

4.Собственные функции самосопряженного операто­

ра Ik* и In* ортогональны, если кфп: i

jj m(x)^h (х)|* (х)с?х = 0.

о

Из сформулированных свойств можно сделать выводы о характере колебаний несамосопряженных систем. Для самосопряженной задачи собственные частоты колеба­ ний всегда действительны. Для несамосопряженной за­ дачи могут встречаться комплексные значения, причем среди них обязательно найдется одно с положительной вещественной частью, так что амплитуды колебаний бу­ дут с течением времени увеличиваться по экспоненци­ альному закону, т. е. колебания будут нарастающими.

Величина X является непрерывной функцией силы Р. При небольших значениях Р величины X действительны и больше нуля, что соответствует существованию гармо­ нических колебаний системы. При некотором критиче­ ском значении Ркр происходит слияние двух различных собственных значений, после чего величины X становятся комплексными. Следовательно, границе устойчивости рассматриваемой неконсервативной системы соответст­ вует совпадение двух собственных частот колебаний.

120

Другой характерной особенностью неконсервативных систем является невыполнение условий ортогональности собственных функций lk(x) и |„(х), соответствующих действительным значениям КпФки’ - Условия ортогональ­ ности существуют только для собственных функций со­ пряженной задачи.

Собственные функции исходной &(х) и сопряженной задач £{*(*) образуют полные системы координатных функций {£j(x)} и Произвольная непрерывная функция F (х) на участке [0, /] может быть представлена в виде ряда из собственных функций двояким образом:

оо оо

Используя условия ортогональности (2.74), можно по­ лучить формулы для вычисления коэффициентов bi и Ь**:

i

j\ F(x)m(x) 1* (x)dx

самосопряженных задач вообще и задачи о колебаниях балки со следящей силой на конце, в частности, могут быть применены метод прогонки и метод Бубнова — Галеркина. Вариационные методы расчета к неконсерва­ тивным задачам не применимы, поскольку силы, дейст­ вующие на систему, не имеют потенциала.

На рис. 2.8 для однородной свободной балки со сле­ дящей силой Р на конце (х = 1) представлена зависи­ мость частот собственных поперечных колебаний первого

121

w/Ц

Рис. 2.8. Зависимость двух первых собственных частот изгибных колеба­ ний свободной балки от величины следящей силы

coi — частота изгибных коле­ баний первого тона при Р —О

Рис. 2.9. Формы изгибных колебаний первого тона свободной

балки со следящей силой, приложенной в точке-— = 1

122

Г л а в а III

УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ УПРУГОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

3.1. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА УПРУГИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫЙ АППАРАТ

Определение аэродинамических сил, действующих на упругий летательный аппарат в его возмущенном движе­ нии, представляет сложную математическую задачу, ме­ тоды решения которой определяются режимом обтекания. Характерные особенности этой задачи заключаются в следующем:

1) нестационарный характер аэродинамических сил, которые зависят не только от координат и скоростей воз­ мущенного движения в данный момент, но и от высших производных по времени, а также от характера пред­ шествующего движения;

2) большой диапазон скоростей полета летательного аппарата, в котором может резко меняться физическая картина обтекания. Характер обтекания в значительной степени зависит от числа M=V/a полета, где V — ско­ рость полета; а — скорость звука.

Интересующий нас диапазон скоростей можно услов­ но разбить на следующие основные области:

а) область малых дозвуковых скоростей полета, при которых можно пренебречь влиянием сжимаемости воз­

= 0,7-=-0,9). Следует отметить, что некоторые летатель­ ные аппараты именно в этой области чисел М достигают максимального скоростного напора q= pV2/2, где р — плотность воздуха.

124

Каждая из указанных областей требует применения специфических математических методов решения задачи об определении нестационарных аэродинамических сил;

3) большое многообразие форм летательных аппара­ тов, начиная от тел вращения (ракеты) и кончая самоле­

тами, например, типа В-52, имеющими крыло большого удлинения.

Изложение аэродинамических задач читатель может найти в соответствующей специальной литературе [5, 10, 36, 49]. Здесь же кратко рассмотрим некоторые методы приближенного вычисления аэродинамических сил на колеблющемся крыле и получим формулы, дающие яв­ ную зависимость аэродинамических сил от параметров возмущенного движения аппарата.

Рассмотрим крыло бесконечного размаха. При этом будем считать, что оно движется с постоянной скоростью V и совершает малые поперечные колебания. Распреде­ ление аэродинамических сил будет одинаково для любо­ го сечения, поэтому можно ограничиться изучением движения профиля (сечения) крыла в двумерном потоке газа.

Заменим профиль бесконечно тонкой пластиной (рис. 3.1), вертикальные перемещения которой у(х, t) можно представить в виде

N

y { ^ t ) = ^ y i { x ) q i { t ) ,

285=1

125

где yi(x) — t-я форма колебаний профиля, a qi{t) — со­ ответствующая ей обобщенная координата.

Скорость потока, нормальная к профилю,

В каждой точке профиля существует местный угол ата­ ки, который можно вычислить по формуле

а (я, ) = v(x, t) t

V

Обычно при расчетах профиль заменяют системой вихрей с интенсивностью ч\(х, t). Эта интенсивность вы­ бирается из условия, чтобы скос потока vu который она создает, в каждой точке профиля равнялся — v(x, t), т. е. чтобы на профиле выполнялось условие непротекания. При колебаниях профиля величина v(x, t) является переменной, поэтому должна изменяться и величина г\(х, t). Это изменение проявляется в возникновении сво­ бодных вихрей на профиле и в следе. Указанные особен­ ности учитывает нестационарная теория аэродинамиче­ ских сил, действующих на профиль [36].

В качестве первого приближения для расчета сил, действующих на колеблющийся профиль, можно исполь­ зовать более простую теорию, базирующуюся на гипоте­ зе стационарности [19].

Физически гипотеза стационарности соответствует пренебрежению в вихревой системе, интенсивностью сво­ бодных вихрей на крыле и в следе. Другими словами, аэродинамические силы, возникающие в каждый момент времени при неустановившемся движении профиля, сов­ падают с аэродинамическими силами, действующими в стационарном потоке на профиль, местные углы атаки которого в каждом сечении

V ( х , t )

а (х, t) =

V

Обобщенные аэродинамические силы Q,, соответству­ ющие t'-й обобщенной координате, для профиля опреде­ ляются из выражения [15]

126

ь

где ц(х, t) — вихревая интенсивность на крыле, yi(x) — возможное перемещение; b — длина профиля крыла.

В частном случае, когда yi(x) = \, соответствующая об­ общенная сила является подъемной силой, действующей на профиль,

ъ

Н. Е. Жуковского для подъемной силы крыла. Если yi(x) = (xо—х), то соответствующая обобщенная сила представляет момент аэродинамических сил относитель­ но точки Хо:

Если перемещение у(х, t) произвольной точки профиля представить как перемещение y(t) некоторой точки, от­ стоящей от носика профиля на величину Хо, и поворот вокруг этой точки на угол ф (/):

то выражение (3.1) можно проинтегрировать и формулы для подъемной силы Y и момента М относительно точки х = х0, возникающие при колебаниях профиля в потоке воздуха, представить в виде [19]:

8* ~2~ ~ У '

127