Файл: Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf

й — C\Ui -f- C2U2.

Граничные условия в точке х = 1 эквивалентны следую­ щим равенствам:

С 1Ы31 (/) -J- С 2М зг(/) = 0; 1

С1Ы41 (/) -f- C2U42 (/) — 0. '

Постоянные Сi и Сг не равны нулю, если

Uzi{l) «32 ( 0

D( со) =

«41 ( 0 Uiz(l)

Поскольку величины ц,й(/) зависят от значения со, то и величина определителя £>(со) является функцией со.

Задавая различные со и повторяя при этом весь про­ цесс решения, вычислим значения функции D ( со), после чего можно определить корни этой функции, которые будут частотами собственных колебаний (щ. Для каждой соi из уравнения (2.53) находим

U3i(t) £

С2

После этого форма собственных колебаний может быть представлена в виде

Одним из преимуществ метода прогонки является воз­ можность определения i-й частоты и формы собственных колебаний без предварительного определения низших гармоник. В рассмотренном выше алгоритме решения учитывалась только одна упруго подвешенная масса. Легко видеть, что этот метод может быть распространен на любое число упруго подвешенных сосредоточенных масс. Когда сосредоточенная масса жестко закреплена на балке, в приведенных формулах п2 необходимо устре-

107

мить к бесконечности. В этом случае второе соотношение (2.51) будет иметь вид

U4(h — 0) — W4(h -(- 0) = u^tTih.

Метод прогонки можно использовать для расчета форм и частот собственных упругих колебаний самолета. Как показано в разделе 2.1 данной главы, соответствую­

Тогда первые два уравнения (2.8) будут эквивалентны системе линейных дифференциальных уравнений, кото­ рую можно представить в матричной форме:

Общее решение уравнений (2.54) может быть составле­ но из суммы трех линейно независимых решений

ф —•С1Ф1-|- Счфг ф- С3ф3,

удовлетворяющих условию (2.9).

Частные решения определяются интегрированием урав­

108

Третье уравнение (2.8) на отрезке [О А] заменяем системой уравнений

du

- — = Ли, (2.55) dx

где вектор и и матрица А определяются соотношениями

(2.50).

Для отрезка [—4, 0] вектор, аналогичный и, обозна­ чим через v. Тогда система уравнений, соответствующая третьему уравнению (2.8), примет вид

dx

Общие решения для м и v, удовлетворяющие граничным условиям (2.9), (2.10), можно представить в виде

й = Ctfi-i -\~ C5U2',

V = C6V1 + C-iV-L-

Частные решения уравнений (2.55) и (2.56) определяют­ ся интегрированием при следующих граничных условиях:

Для определения постоянных С* (i= l, 2, ..., 7) восполь­ зуемся граничными условиями (2.9). Получим систему однородных алгебраических уравнений относительно произвольных ПОСТОЯННЫХ Сг:

Таким образом, решение задачи по определению форм и частот собственных колебаний самолета может быть получено следующим путем: 1) задаем некоторое значе­ ние о;

109

ной и имеет производные по х до второго порядка вклю­ чительно. Выберем полную систему координатных функ­

X <7г + т (х ) 2 &(*)<7<(0‘- г=—1

Для истинного решения задачи правая часть этого ра­ венства должна обращаться в нуль при любом значении х, следовательно,

0 г'=—1

Проводя интегрирование по частям по переменной х, легко показать, что каждое из соотношений (2.61) экви­ валентно уравнению

2 (dijqi + Cirfi) = 0 / = — 1, 0, 1, 2 , ( 2 . 6 2 )

1

4 1 1

в котором коэффициенты ац и сц имеют следующий вид:

О

о

(2.64)

Пусть теперь система (£i(x)} используется в качестве системы координатных функций в вариационном методе. Нетрудно установить, что в этом случае коэффициенты flij будут одинаковы как в вариационном методе, так и в методе Бубнова — Галеркина, а коэффициенты сц бу­ дут несколько отличаться из-за дополнительных слагае­ мых в формуле (2.64), зависящих от значений функций 1г(х) и их производных на концах балки. Поскольку в вариационном методе имеется сходимость к точному ре­ шению, то, по-видимому, такая сходимость будет отсут­ ствовать в методе Бубнова — Галеркина, в той форме, в какой этот метод использован. Указанный недостаток будет устранен, если в методе Бубнова — Галеркина по­ требовать, чтобы координатные функции удовлетворяли и силовым граничным условиям задачи:

В этом случае условия (2.59) будут выполняться, и коэф­ фициенты сц в методе Бубнова — Галеркина будут та­ кими же, как и в вариационном методе.

система координатных функций удовлетворяла не толь­ ко геометрическим, но и силовым граничным условиям. Это требование, безусловно, затрудняет применение ме­ тода Бубнова — Галеркина в ряде задач. Если система координатных функций в методе Бубнова — Галеркина

112

удовлетворяет не всем силовым условиям, то о точности этого метода нельзя сделать никакого заключения.

Применение метода Бубнова — Галеркина для при­ ближенного решения уравнения математической физики заключается в следующем [33]:

1) пусть дано уравнение в частных производных для функции и(р, t) в некоторой области П

L(u, р, t) = 0.

Здесь буквой р обозначена произвольная точка области Q. На границе области S функция и(р, t) удовлетворяет геометрическим и силовым граничным условиям:

2) выбирается полная система координатных функ­ ций, удовлетворяющая всем граничным условиям (2.65);

3) приближенное решение находится в форме

N

u(p,t) « 2ifi(p)qi{t)\

2= 1

4) для определения обобщенных координат qi(t) по­ лучаем систему дифференциальных уравнений

Q~i= 1

5)при N-^-oo приближенное решение сводится в сред­ нем к точному решению задачи.

Рассмотрим применение метода Бубнова — Галерки­ на в задаче об упругих колебаниях самолета. Уравнения колебаний упругой конструкции самолета в частных про­ изводных можно представить с помощью трех операто­ ров:

113