Файл: Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 177

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

X [.а а ь а а а + а х

О

2= 12=

1 О О

2— 1

I дЫ

d l

 

х А

+ 6" '

а ,

1 дх дх

о

Беря интеграл от бТ по переменной t по частям и учиты­ вая, что вариации на концах временного интервала обра­ щаются в нуль, получаем

г

г Г

г

д21

п

+

) bTdt =

— Ц 3

шт{ х )- ^ г Ы +

2

t o

t o

0

 

2= 1

 

 

+ ?гбГ1г +

Т1гб^г + 11гбг1г) ] dt.

 

Для преобразования выражения 6П, используем формулу Дирихле:

i

 

Г х ^

dbi

d x =

i

 

dbs

Г 1

1

j* mT{x)

Г А

-----dx

\А

дх

\ mT(x)dx

dx--

 

 

ч зъ __

дх

 

0

дх

 

 

 

 

1

 

i - fi

 

 

A

 

 

=

8t A - ^mT(x)dx

8E

dx

tnT{x) dx

dx.

 

 

 

 

о о

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кроме того, имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r д\ dbI ,

dl

 

-

У

 

д21 ,

 

 

 

\ i r ^ r dx = б^- f !

 

 

ы - Л < ь =

 

 

 

• dx dx

dx 1\

 

 

 

дх2

 

 

 

 

б?

 

С

 

 

дг1

,

 

 

 

 

 

3

^

^

 

2

dX’

 

 

 

 

дх

 

 

где

 

 

V» =

1,

0 <

х <

хи

 

 

 

 

 

 

 

 

\i =

0,

Xi

<

X

<

/.

 

Интегрируя по частям первый член выражения для 6П подобно тому, как это было сделано в предыдущей зада­ че (1.27), получаем

50

 

+ p ~t1 - i %

 

 

 

 

d x + %

 

 

 

 

 

 

dx2

 

 

i«al

 

 

 

 

 

г = 1

dx

 

 

t

^

d2l

 

 

— EJ

<n

 

 

 

\

n

 

X

X

EJ —

x,-o

dx2

 

 

-(- jtniT[iJ

2

 

 

dx2

 

 

 

x {+0

 

 

i— 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ■ У ( E J ~ i 1

 

 

- ~ [ e j — \

 

 

 

 

дх

\

 

dx2/

 

xr

t>

дх

\ дх2 ! x , + 0

 

 

 

 

 

dt

i

 

J

+ s (

 

M i

+

/m< T “ |

) бЛг —

 

 

l m i —

.

'

 

 

 

 

dx

,x

 

._.

 

 

OX i x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г = i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d6£

d2l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ( ■

ъ EJ

 

 

|х=0+

 

 

d

/ £ А И |

 

I

^

v

dx

'

(5x2 /

 

 

° ё Ух \

ax2 /

Ix=0+

dx

X

X ^

C>2S

 

-

8£

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

dx2

 

 

 

l

 

dx2)\x=i

 

 

 

 

X =1

 

 

dx

 

 

 

dx

x = l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x= 0

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9ё

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хб| +

/б£

 

dx

j

mr(x)dx

X=l

 

 

Последнее слагаемое в этом выражении тождественно равно нулю. Предпоследнее слагаемое, заключенное в фи­ гурные скобки, выражает равенство сил в проекциях на ось Ох, а именно:

j ( | т т(х)(/х|л-=о + 2 т\ = Р.

51

Группируя теперь в выражении для бУ члены при незави-

симых вариациях 6£, б£ь - - - и т. д. и приравнивая их ну-

ох

лю, получим дифференциальные уравнения движения:

д Ч

д%\

 

д Г д% /•

I

”

 

— ( £ / — ) — / —

—

mT(x)dx

— jV. niiVi - f - +

a.v2'

ax2'

'

<?x

i-. a* * ’

J

^

v ax2

 

 

 

 

d2l

d%

2 = 1

 

 

 

+

 

0;

(1.40)

 

 

P -r-^- + m T (x) — - =

 

 

 

 

dx2

y ’ dt2

 

 

т^1 + ^ 1 =

-

mt

 

(/= 1 ,2 ,.,., л) (1.41)

и соответствующ ие граничные условия и условия скачков

в точках Xj

Уравнение (1.40) есть уравнение поперечных колебаний балки с учетом сжимающих сил, а (1.41) — уравнение ко­ лебаний i-й подвижной массы на пружине. Соотношения (1.42) и (1.43) представляют скачки перерезывающих сил и изгибающих моментов в точках X; крепления подвиж­ ных масс, а (1.44) и (1.45) выражают граничные условия на верхнем и нижнем концах балки.

Полученными уравнениями непосредственно для вы­ числений пользоваться неудобно. Преобразуем эти урав­ нения таким образом, чтобы в них вместо т т(х) входила функция т(х) — полная погонная масса балки, вклю­ чающая в себя погонную массу конструкции и полную погонную массу жидкости.

52

Используя понятие 6 — функции Дирака, условия скачков (1.42) и (1.43) можно перенести в дифференци­ альное уравнение. Функции Дирака обладают следующи­ ми свойствами:

i

X ^ l i

\f(x )6(х

X < l i

о

 

I

d

 

[ д/ (х)

/ W

[8 {x — x ^ d x ^ l

дх

dx

 

\ О

О

 

 

/> д у

/< Х[.

Уравнение (1.40) и условия (1.42) и (1.43) эквивалентны следующему дифференциальному уравнению:

д2

 

+ т т(х)

 

П

 

EJ д х 2

 

2 6(Х — X i ) X

дх2

dtz

 

 

 

 

i = i

 

 

п

^

 

 

 

 

X k i T \ i — / ' 2 — [6 ( л : — Х г ) ] ! ЩЩ = 0,

(1 .4 6 )

г— 1

в котором

Г

^

д? "1

^

F { x , l ) = — — [ j

(J

tnT(x)dx^j — J

- / 2 V " < X

 

x

^

г=1

X

При помощи уравнения колебаний подвижной массы (1.41) преобразуем уравнение (1.46) к виду

д2

д2

/Д*,

?) + /' >

<?Л‘

dx2

<?Л'2

 

 

г=1

 

 

 

 

 

 

дЧ

П

 

 

П

“Ь

- f 2

т £ ( х — X i ) l ( X i t ) + 2 m i X

(х)

 

dt2

г=1

 

 

г=1

 

 

 

n

d

 

Хб ( Х — Xi)iii — / 2

^[б(Л:-Х,)]ОТгГ1г = 0.

г = 1

53

Смотрите также файлы